Задача 1. В таблице приведены показатели качества четырех типов термоактивной опалубки

Задача 1.
В таблице приведены показатели качества четырех типов термоактивной опалубки для бетонирования при низких температурах. Определите комплексные показатели качества. Составьте ранжированный ряд оборудования.
Показатели качества различных типов термоопалубки
Оборудование Единичные показатели качества
Напряжение, В (П1) Удельная мощность, Вт/м2 (П2) Температура нагрева опалубки, °С (П3) Коэффициент теплопередачи, Вт/м2 град (П4)
ТО 1 682 3100 279 7,75
ТО 2 682 2480 279 6,975
ТО 3 341 2480 310 6,2
ТО 4 341 3100 310 7,75
Базовый показатель 682 2480 279 7,75
Весовые коэффициенты 0,05 0,35 0,5 0,1

Решение.

Для каждого оборудования рассчитаем по единичным показателям качества коэффициенты соотношения с базовым показателем. В результате получим следующую таблицу:

Оборудование Единичные показатели качества
Напряжение, В (П1) Удельная мощность, Вт/м2 (П2) Температура нагрева опалубки, °С (П3) Коэффициент теплопередачи, Вт/м2 град (П4)
ТО 1 1 1,25 1 1
ТО 2 1 1 1 0,9
ТО 3 0,5 1 1,111 0,8
ТО 4 0,5 1,25 1,111 1
Базовый показатель 1 1 1 1
Весовые коэффициенты 0,05 0,35 0,5 0,1

Затем умножим каждый показатель на соответствующий весовой коэффициент и рассчитаем их сумму:
– для оборудования ТО 1: 1 • 0,05 + 1,25 • 0,35 + 1 • 0,5 + 1 • 0,1 = 1,0875
– для оборудования ТО 2: 1 • 0,05 + 1 • 0,35 + 1 • 0,5 + 0,9 • 0,1 = 0,99
и т.д. получим для ТО 3 – 1,0105, для ТО 4 – 1,118.

Таким образом, ранжировать оборудование можно следующим образом:
ТО2, базовый показатель, ТО3, ТО1, ТО4.







Задача 2.

Назначив весовые коэффициенты к единичным показателям, дать сравнительную оценку уровня качества легковых автомобилей.
№ п/п Модель автомобиля Показатели качества
Масса, кг Время разгона до 100 км/ч, сек. Выхлоп CO2, г/км Расход топлива (в городе), л на 100 км Мощность, л. с.

1 Форд Фокус 1869 13,58 216 10,92 190
2 Ниссан Альмера 1959 13,72 235 11,34 193
3 Рено Симбол 1980 13,16 272 13,86 218
4 Митцубиси Лансер 1848 13,3 238 15,12 210
5 Мазда 5 2065 14,28 227 14,84 204
6 Ситроен С4 1744 12,88 230 13,72 210

Для оценки уровня качества необходимо одну из моделей рассматривать в качестве базового показателя. Будем в качестве такого рассматривать автомобиль «Форд Фокус». Рассчитаем относительные показатели качества по отношению к этой модели и назначим каждому из них весовые коэффициенты таким образом, чтоб в сумме они давали единицу.
№ п/п Модель автомобиля Относительные показатели качества
Масса, кг Время разгона до 100 км/ч, сек. Выхлоп CO2, г/км: Расход топлива, л. на 100 км. Мощность, л.с.

1 Форд Фокус 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
2 Ниссан Альмера 1,0477 1,0103 1,0947 1,0385 1,0133
3 Рено Симбол 1,0585 0,9691 1,2604 1,2692 1,1467
4 Митцубиси Лансер 0,9884 0,9794 1,1065 1,3846 1,1
5 Мазда 5 1,1048 1,0515 1,0533 1,3590 1,0733
6 Ситроен С4 0,9333 0,9485 1,0651 1,2564 1,1
Весовой коэффициент 0,1 0,15 0,25 0,3 0,2

Далее рассчитаем комплексный показатель качества как сумму произведений относительных показателей и весовых коэффициентов:
– для Ниссан: 1,0477 • 0,1 + 1,0103 • 0,15 + 1,0947 • 0,25 + 1,0385 • 0,3 + 1,0133 • 0,2 = 1,0442
– для Рено: 1,0585 • 0,1 + 0,9691 • 0,15 + 1,2604 • 0,25 + 1,2692 • 0,3 + 1,1467 • 0,2 = 1,1764
– для Митцубиси – 1,1577, для Мазды – 1,1539, для Ситроена – 1,0988.
Таким образом, по комплексному показателю качества наилучшей является модель Рено Симбол. Однако следует заметить, что при других весах ей могла быть и другая модель (при назначении весов больший вес придавался экологичности и экономичности, но если бы большее значение имели мощность и скорость, результат был бы другим).
Задача 3.

В таблице приведены результаты групповой экспертизы некоторых объектов. Каждый эксперт пользовался собственной балльной шкалой оценок. Требуется представить результаты в нормированном виде.

Объекты экспертизы Оценки экспертов
Э1 Э2 Э3 Э4 Э5 Э6
1 55 8 36 3,7 19 0,9
2 66 9 28 4,9 17 0,5
3 86 5 47 2,6 20 0,85
4 43 6 35 3,3 12 0,7

Решение.
Данные оценки могут быть нормированы двумя способами:
1) присвоением рангов для каждого объекта;
2) приведением к единой величине оценки (он возможен в случае, если известны минимальная и максимальная оценка в собственной шкале эксперта).

Метод рангов неэффективен, поскольку не дает представления о том, насколько лучше или насколько хуже оцениваемый объект по сравнению с остальными. Т.е. «расстояние» в оценке одинаковое. Поэтому используем вторым методом.
Будем предполагать, что эксперты пользуются следующими системами оценивания:
1й – 100-балльной, 2й – 10-балльной, 3й – 50-балльной, 4й – 5-балльной, 5й – 20-балльной, 6й – оценка в долях единицы.

Тогда привести к единой нормированной форме можно делением каждой оценки на максимальный балл и последующим умножением на максимальный балл новой системы оценивания, к которой они приводятся. Тогда нормированные оценки будут следующими:

Объекты экспертизы Оценки экспертов
Э1 Э2 Э3 Э4 Э5 Э6
1 5,5 8 7,2 7,4 9,5 9
2 6,6 9 5,6 9,8 8,5 5
3 8,6 5 9,4 5,2 10 8,5
4 4,3 6 7 6,6 6 7

Задача 4.
При оценке качества 3 объектов 12 экспертами по 10-балльной шкале отношений были получены следующие результаты:

Номер объекта экспертизы Оценки экспертов
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 6 9 8 4 2 6 7 9 10 5 3 7
2 9 10 6 4 2 3 7 8 8 3 4 8
3 8 8 7 5 3 4 6 10 9 4 4 8

Обработать результаты групповой экспертизы методом медианы и определить оценки, полученные каждым объектом.
Решение.

Ранжируем оценки, полученные каждым объектом:
– для 1го объекта: 2,3,4,5,6,6,7,7,8,9,9,10
– для 2го объекта: 2,3,3,4,4,6,7,8,8,8,9,10
– для 3го объекта: 3,4,4,4,5,6,7,8,8,8,9,10

Найдём медиану данного ранжированного ряда. Поскольку число экспертов – четное, то медиану определяют как среднее арифметическое между 6м и 7м рангом в ранжированном ряду. Медиана составит:
– для 1го объекта: (6+7) / 2 = 6,5
– для 2го объекта: (6+7) / 2 = 6,5
– для 3го объекта: (6+7) / 2 = 6,5

Таким образом, по методу медианы все объекты получили одинаковую оценку.

Задача 5.
Три эксперта высказали свои предпочтения (в произвольной балльной шкале отношений) относительно трех показателей качества в следующем виде.
Номер объекта экспертизы Оценки экспертов
1 2 3
1 6 55 24
2 8 76 19
3 9 64 22

Обработать результаты групповой экспертизы методом ранга и определить весовые коэффициенты показателей качества в нормированном виде.

Решение.
1) Произведем ранжирование объектов:

Номер объекта экспертизы Оценки экспертов (ранги)
1 2 3
1 3 3 1
2 2 1 3
3 1 2 2

2) Весовые коэффициенты gj определяются как отношение суммы мнений экспертов по j-му показателю к сумме мнений экспертов по всем показателям. Сумма мнений по всем показателям: 3 • (1+2+3) = 18.
Сумма мнений
по 1му объекту: 3 + 3 + 1 = 7,
по 2му объекту: 2 + 1 + 3 = 6,
по 3му объекту: 1 + 2 + 2 = 5.
Тогда весовые коэффициенты будут следующими:
g1 = 7 / 18 = 0,388; g2 = 6 / 18 = 0,333; g3 = 5 / 18 = 0,277

Ответ: весовой коэффициент для 1го объекта – 0,388, для 2го объекта – 0,333, для 3го объекта – 0,277

Задача 6.
Определить степень согласованности мнений пяти экспертов, которые высказали свои предпочтения по шкале рангов (чем выше ранг, тем предпочтительней объект) относительно трех объектов. Результаты экспертизы сведены в таблицу.

Номер объекта экспертизы Оценки экспертов
1 2 3 4 5
1 2 1 2 2 1
2 1 3 1 3 3
3 3 2 2 1 2

Решение.
Согласованность мнений оценим с помощью коэффициента конкордации Кендалла. Он рассчитывается в несколько этапов:
1) определяется сумма рангов для каждого объекта по каждому эксперту:
– для 1го объекта: Σr1 = 2 + 1 + 2 + 2 + 1 = 8
– для 2го объекта: Σr2 =1 + 3 + 1 + 3 + 3 = 11
– для 3го объекта: Σr3 =3 + 2 + 2 + 1 + 2 = 10
Обозначим: d – число экспертов, m – число объектов.
2) Определим средний ранг для всех объектов: rср. = (1 + 2 + 3) • 5 / 3 = 9,67
3) Определим дисперсию ранга:
D = Σ(Σr1 – rср.)2 / m–1 = ((8 – 9,67)2 + (11 – 9,67)2 + (10 – 9,67)2) / 2 = 2,99835
4) Определим максимальное значение дисперсии:
Dmax = d2 (m3 – m) / 12(m–1) = 25•(27 – 3) / 12•2 = 25
5) Определим коэффициент конкордации: W = D / Dmax = 2,99835 / 25 = 0,119934

Коэффициент близок к нулю, следовательно, мнения экспертов не согласованы.

Задача 7.
Путем попарного сопоставления методом расстановки приоритетов экспертом высказаны следующие предпочтения (2 – предпочтение, 1 – равноценность, 0 – отрицание) среди 4 объектов.

Объекты 1 2 3 4
1 2 1 2 1
2 1 2 1 0
3 0 0 0 0
4 1 0 1 2

Проранжировать объекты по предпочтению, основываясь на вычислениях итерированных сил 1го, 2го и, если требуется, 3го порядка.

Решение.
1) Определим итерированные силы 1го порядка для каждого объекта: Pi = Σi Aij
где Pi – итерированная сила для i-го объекта, Aij – элемент матрицы оценок.
Р11 = 2 +1 + 2 + 1 = 6
Р21 = 1 + 2 + 1 + 0 = 4
Р31 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Р41 = 1 + 0 + 1 + 2 = 4
2) Определим нормированную итерированную силу для каждого объекта как отношение итерированной силы к их общей сумме:
НС11 = 6 / (6+4+0+4) = 0,42857
НС21 = 4 / 14 = 0,285715
НС31 = 0
НС41 = 4 / 14 = 0,285715

3) Определим итерированную силу 2го порядка. Она определяется умножением итерированной силы 1го порядка на соответствующую нормированную итерированную силу:

Р12 = Р11 • НС11 = 6 • 0,42857 = 2,57142
Р22 = Р21 • НС21 = 4 • 0,28571 = 1,142857
Р32 = Р31 • НС31 = 0
Р42 = Р41 • НС41 = 4 • 0,28571 = 1,142857

4) Вновь определяем нормированные итерированные силы, для 2го порядка:

НС12 = 2,57142 / (2,57142 + 1,142857 + 0 + 1,142857) = 0,52941
НС22 = 1,142857 / 4,857137 = 0,2353
НС32 = 0
НС42 = 1,142857 / 4,857137 = 0,2353

Проведенных расчётов достаточно для того, чтобы проранжировать объекты по предпочтению для эксперта. Порядок будет следующим: 1, 2 и 4, 3. Т.е. 3й объект наименее предпочтителен, 1й – наиболее, а 2й и 4й – равнопредпочтительны.

Задача 8.
Определить требуемую численность экспертной группы, если в результате предварительной экспертизы объекта получены оценки 4 экспертов.
0,25 0,6 0,4 0,36

Решение.
Определим численность экспертой группы статистическим методом. Для этого необходимо определить предельную ошибку оценки экспертов и вероятность, с которой ошибка оценки не превысит предельной.
Предельную ошибку установим равной 0,1, а вероятность – 0,997.
Рассчитаем среднюю оценку по данной выборке из 4х экспертов и её дисперсию:
– средняя оценка: (0,25 + 0,6 + 0,4 + 0,36) / 4 = 0,4025
– дисперсия:
((0,25 – 0,4025)2 + (0,6 – 0,4025)2 + (0,4 – 0,4025)2 + (0,36 – 0,4025)2) / 4 = 0,02136
Для вероятности p = 0,997 коэффициент доверия t равен 3.Тогда необходимая численность экспертной группы определяется по формуле:
n=(t^2 s^2)/∆^2 =(9•0,02136)/(0,1•0,1)=19,224
Таким образом, численность экспертной группы должна составить 19 человек.








Задача 9.
Определить требуемую численность экспертной группы, если в результате предварительной экспертизы объекта получены оценки 5 экспертов.
2,2 2,8 3,1 4,3 3,6

Решение.
Найдем численность экспертной группы аналогично предыдущей задаче. Предельную ошибку примем равной 0,6, а вероятность – 0,95. Для данной вероятности коэффициент доверия t = 2.
Средняя оценка экспертов: (2,2 + 2,8 + 3,1 + 4,3 + 3,6) / 5 = 3,2
Дисперсия: ((2,2 – 3,2)2 + (2,8 – 3,2)2 + (3,1 – 3,2)2 + (4,3 – 3,2)2 + (3,6 – 3,2)2) / 5 = 0,635
Необходимая численность экспертной группы:
n=(t^2 s^2)/∆^2 =(3,8416•0,635)/(0,6•0,6)=6,7228≈7
Таким образом, чтобы обеспечить предельную ошибку экспертной оценки, не превышающей 0,6 с вероятностью 0,95, численность экспертной группы должна составить 7 человек.

Задача 10.
Определить степень согласованности мнений 5 экспертов, которые высказали свои предпочтения по шкале рангов (чем выше ранг, тем предпочтительней объект) относительно 3 объектов. Результаты экспертизы сведены в таблицу.

Номер объекта экспертизы Оценки экспертов
1 2 3 4 5
1 1 2 3 2 1
2 3 3 2 1 3
3 2 1 1 3 2

Решение.
Для оценки согласованности мнений экспертов используется коэффициент конкордации Кендалла. Рассчитаем сумму рангов для каждого объекта:
r_1=1+2+3+2+1=9
r_2=3+3+2+1+3=12
r_3=2+1+1+3+2=9
Определим суммарный средний ранг: r ̅=(9+12+9)/3=10
Дисперсия среднего ранга:
D=(∑▒〖(r_i-r ̅)〗^2 )/(n-1)=(〖(9-10)〗^2+〖(12-10)〗^2+〖(9-10)〗^2)/2=3
где: n – число объектов, m – число экспертов.
Коэффициент конкордации составит:
W=(12•(n-1))/(m^2•(n^3-n))•D=(12•(3-1))/(4•(27-3))•2=0,5
Коэффициент конкордации равен 0,5, следовательно, в оценках экспертах средняя степень согласованности (коэффициент изменяется в пределах от 0 до 1).






Задача 11.
Три эксперта высказали свои предпочтения (в произвольной балльной шкале отношений) относительно трех показателей качества в следующем виде.
Номер объекта экспертизы Оценки экспертов
1 2 3
1 18 6,8 55
2 23 5,4 71
3 15 6 50

Обработать результаты групповой экспертизы методом ранга и определить весовые коэффициенты показателей качества в нормированном виде.

Решение.
1) Произведем ранжирование объектов:
Номер объекта экспертизы Оценки экспертов (ранги)
1 2 3
1 2 1 2
2 1 3 1
3 3 2 3

2) Весовые коэффициенты gj определяются по следующей формуле:
g_j=(∑_(i=1)^n▒A_ij )/(∑_(j=1)^m▒∑_(i=1)^n▒A_ij )
где: A_ij – элемент матрицы оценок, ∑_(i=1)^n▒A_ij – сумма оценок по j-му объекту, ∑_(j=1)^m▒∑_(i=1)^n▒A_ij – сумма оценок по всем объектам.
∑_(i=1)^n▒A_i1 =2+1+2=5
∑_(i=1)^n▒A_i2 =1+3+1=5
∑_(i=1)^n▒A_i3 =3+2+3=8
∑_(j=1)^m▒∑_(i=1)^n▒A_ij =5+5+8=18
Весовые коэффициенты:
g_1=(∑_(i=1)^n▒A_i1 )/(∑_(j=1)^m▒∑_(i=1)^n▒A_ij )=5/18=0,2777
g_2=(∑_(i=1)^n▒A_i2 )/(∑_(j=1)^m▒∑_(i=1)^n▒A_ij )=5/18=0,2777
g_3=(∑_(i=1)^n▒A_i3 )/(∑_(j=1)^m▒∑_(i=1)^n▒A_ij )=8/18=0,4444

Ответ: весовой коэффициент для 1го и 2го объектов – 0,277, для 3го объекта – 0,444.



Задача 12.
При оценке качества 3 объектов 12 экспертами по 10-балльной шкале отношений были получены следующие результаты:

Номер объекта экспертизы Оценки экспертов
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 3 5 8 9 6 10 4 5 10 9 8 7
2 6 7 9 10 9 8 9 7 6 10 8 6
3 5 5 7 8 6 7 8 6 10 10 7 9
Обработать результаты групповой экспертизы методом медианы и определить оценки, полученные каждым объектом.
Решение.

Метод медианы заключается в том, что по значениям оценок экспертов рассчитывается медианная оценка, которая является устойчивой к оценкам экспертов-«диссидентов». В этом и заключается основной смысл расчёта такой оценки.
Медиана для дискретного ряда определяется следующим образом: производится ранжирование ряда по возрастанию и затем определяется то значение, которое по порядку находится на (n+1) / 2 месте. Если число значений – четное, то медиана определяется как средняя из значений, находящихся на n/2 и n/2+1 месте. В данном случае 12 экспертов, поэтому медиана будет определяться вторым способом.

Ранжируем оценки, полученные каждым объектом:
– для 1го объекта: 3,4,5,5,6,7,8,8,9,9,10,10
– для 2го объекта: 6,6,6,7,7,8,8,9,9,9,10,10
– для 3го объекта: 5,5,6,6,7,7,7,8,8,9,10,10

Найдём медиану данного ранжированного ряда. Поскольку число экспертов – четное, то медиану определяют как среднее арифметическое между 6м и 7м рангом в ранжированном ряду. Медиана составит:
– для 1го объекта: (7+8) / 2 = 7,5
– для 2го объекта: (8+8) / 2 = 8
– для 3го объекта: (7+7) / 2 = 7

Таким образом, по методу медианы объекты по предпочтительности можно ранжировать следующим образом: 2, 1, 3