5. Определение переходной и импульсной характеристик

5. Определение переходной и импульсной характеристик:

1. Аналитический метод:
Для аналитического расчета переходной и импульсной характеристик используем операторный метод. Применим теорему разложения:
H(s)=(1,1s^2+2,5)/(s^3+4,25s^2+4,5s+5)=(1,1s^2+2,5)/(s+3,332)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) =
=A_1/(s+3,332)+A_2/(s+0,446-1,14j)+A_3/(s+0,446+1,14j)
Находим коэффициенты разложения A_k:
A_1=├ (1,1s^2+2,5)/(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) ┤|_(s=-3,332)=1,528
A_2=├ (1,1s^2+2,5)/(s+3,332)(s+0,446+1,14j) ┤|_(s=-0,446+1,14j)=-0,214-0,111j=0,241∙e^(-2,663j)
A_3=A_2^*=-0,214+0,111j
Импульсная характеристика:
h(t)=(1,528e^(-3,332t)+0,482e^(-0,446t)∙cos⁡(1,14t-2,663))∙δ_1 (t)
Найдём переходную характеристику:
H_1 (s)=H(s)/s=(1,1s^2+2,5)/s(s+3,332)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) =
=A_1/s+A_2/(s+3,332)+A_3/(s+0,446-1,14j)+A_4/(s+0,446+1,14j)
Находим коэффициенты разложения A_k:
A_1=├ (1,1s^2+2,5)/(s+3,332)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) ┤|_(s=0)=0,5
A_2=├ (1,1s^2+2,5)/s(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) ┤|_(s=-3,332)=-0,459
A_3=├ (1,1s^2+2,5)/s(s+3,332)(s+0,446+1,14j) ┤|_(s=-0,446+1,14j)=-0,021+0,196j=0,197∙e^1,678j
A_4=A_3^*=-0,021-0,196j
Переходная характеристика:
h_1 (t)=(0,5-0,459e^(-3,332t)+0,394e^(-0,446t)∙cos⁡(1,14t+1,678))∙δ_1 (t)
Значения h_1 (0+)=0 и h_1 (∞)=0,5, полученные по этому выражению и по схемам замещения цепи совпадают.
Графики переходной и импульсной характеристик:


2) Численный метод:
Уравнения состояния в матричной форме:
[■(i_L1^@u_C1^@u_C2^ )]=[■(0&1,125&0@-2&-2&-2@0&-1,111&-2,222)][■(i_L1@u_C1@u_C2 )]+[■(0@2@1,111)]∙u_вх
Входное воздействие u_вх=δ_1 (t), начальные условия – нулевые.
Для нахождения переходной характеристики используем явную форму алгоритма Эйлера:
[f_2k ]=[f_(2(k-1)) ]+∆t[A][f_(2(k-1)) ]+∆t[B][f_(1(k-1)) ]
Шаг расчёта выбирается из условия:
∆t≤1/5 min{τ_min; T_min/4}
τ_min=1/max⁡{|Re s_1 |;|Re s_2 |;|Re s_3 | } =1/3,332=0,3; T_min/4=1/4∙2π/w=1/4∙2π/1,14=1,38
∆t≤0,3/5=0,06
Выбираем ∆t=0,01


Оценка точности численного расчёта: для переходной характеристики:
1) k=100; ∆t∙k=1;h_(1_аналитически )=0,244462; h_(1_числ )=0,245087;ошибка: 0,000624
2) k=400; ∆t∙k=4;h_(1_аналитически )=0,56611; h_(1_числ )=0,567413;ошибка: 0,001303
3) k=700; ∆t∙k=7;h_(1_аналитически )=0,483107; h_(1_числ )=0,482638;ошибка: 0,000469
Точность численного метода высока. Точность численного метода повышается с уменьшением ∆t.
6. Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе:

Для упрощения записи примем, что t_и=15,7≈5π
1) Аналитический метод:
Для нахождения изображения по Лапласу U_1 (s) входного одиночного сигнала представим u_1 (t) в виде разности двух синусоидальных функций, смещённых по оси времени на интервал t_и:

u_1 (t)=sin⁡(w_o t)⁡〖δ_1 (t)〗-sin⁡(w_o (t-t_и ) ) δ_1 (t-t_и ),где w_o=2π/t_и =2π/5π=2/5=0,4
Тогда получим изображение входного сигнала:
U_1 (s)=w_0/(s^2+w_o^2 ) (1-e^(-t_и s) )=0,4/(s^2+(0,4)^2 ) (1-e^(-5πs) )
Изображение реакции:
U_2 (s)=H(s)∙U_1 (s)=(1,1s^2+2,5)/(s^3+4,25s^2+4,5s+5)∙0,4/(s^2+(0,4)^2 ) (1-e^(-5πs) )=
=(0,44s^2+1)/(s-0,4j)(s+0,4j)(s+3,332)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) ∙(1-e^(-5πs) )^
(U_2 ) ̃(s)=(0,44s^2+1)/(s-0,4j)(s+0,4j)(s+3,332)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) =
=A_1/(s-0,4j)+A_2/(s+0,4j)+A_3/(s+3,332)+A_4/(s+0,446-1,14j)+A_5/(s+0,446+1,14j)
Найдём коэффициенты разложения A_k:
A_1=├ (0,44s^2+1)/(s+0,4j)(s+3,332)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) ┤|_(s=0,4j)=-0,093-0,232j=0,25e^(-1,952j)
A_2=A_1^*=-0,093+0,232j
A_3=├ (0,44s^2+1)/(s-0,4j)(s+0,4j)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) ┤|_(s=-3,332)=0,054
A_4=├ (0,44s^2+1)/(s-0,4j)(s+0,4j)(s+3,332)(s+0,446+1,14j) ┤|_(s=-0,446+1,14j)=0,066-0,024j=0,07∙e^(-0,349j)
A_5=A_4^*=0,066+0,024j
(u_2 ) ̃(t)=(0,5∙cos⁡(0,4t-1,952)+0,054e^(-3,332t)+0,14e^(-0,446t)∙cos⁡(1,14t-0,349))∙δ_1 (t)
Сигнал на выходе цепи:
u_2 (t)=(u_2 ) ̃(t)∙δ_1 (t)-(u_2 ) ̃(t-5π)∙δ_1 (t-5π)
u_2 (t)=(0,5∙cos⁡(0,4t-1,952)+0,054e^(-3,332t)+0,14e^(-0,446t)∙cos⁡(1,14t-0,349))∙δ_1 (t)-
-[0,5∙cos⁡(0,4(t-5π)-1,952)+0,054e^(-3,332(t-5π) )+0,14e^(-0,446(t-5π) )∙cos⁡(1,14(t-5π)-0,349)]∙δ_1 (t-5π)
График реакции u_2 (t) и изменённого в A(0) раз воздействия u_1 (t):

2) Численный метод:
Воспользуемся явной формой алгоритма Эйлера, аналогично п.5:


Графики реакции, полученные численным и аналитическим методами, в выбранном масштабе практически совпадают. Амплитуда выходного сигнала примерно равна половине амплитуды входного сигнала. Время задержки равно 0,93.
Площадь выходного сигнала: S_вых=∫_0^∞▒〖u_2 (t) 〗 dt≅0= 1/2 S_вх=0, сигнал на выходе непрерывен. Оценки, сделанные в п.3. корректны.

7. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия:

Спектральная плотность входного одиночного сигнала:
U_1 (jw)=├ U_1 (s) ┤|_(s=jw)=0,4/(0,16-w^2 ) (e^2,5πjw/e^2,5πjw -e^(-2,5πjw)/e^2,5πjw )^ =0,8j/(0,16-w^2 ) sin⁡(2,5πw)e^(-2,5πjw)=
=0,8/(0,16-w^2 ) sin⁡(2,5πw)e^j(π/2-2,5πw)
Амплитудный спектр: A(w)=|U_1 (jw)|=|0,8/(0,16-w^2 ) sin⁡(2,5πw)|
Фазовый спектр: Ф_1 (w)=π/2-2,5πw+arg⁡((sin⁡(2,5πw))/(0,16-w^2 ))
,где arg⁡((sin⁡(2,5πw))/(0,16-w^2 ))={█(0,если w∈[0;4/5]∪[6/5;8/5]∪[2;12/5]∪…@π,если w∈[4/5;6/5]∪[8/5;2]∪[12/5;14/5]∪…)┤
Найдём узлы амплитудного спектра: sin⁡(2,5πw)=0 □(⇒┴ ) w_УК=2k/5 ; k=0;±1;±2;±3…
При k=1, т.е. при w_ =0,4 получается неопределённость вида [0/0]. Для определения значения A(0,4) используем правило Лопиталя:
A(0,4)=[0/0]=lim┬(w→0,4)⁡〖(0,8∙sin⁡(2,5πw))/(0,16-w^2 )〗=lim┬(w→0,4)⁡〖(〖2π∙cos〗⁡〖(2,5πw)〗⁡)/(-2w^ )=5π/2=2,5π〗
Значение A(0) равно площади входного сигнала: S_вх=0
Графики амплитудного и фазового спектров:


Ширину спектра входного одиночного сигнала определяем по 10% критерию: 〖∆w〗_СП=[0 ; 1,042]
├ ■(Полоса пропускания: 〖∆w〗_ПП=[0 ;1]@Ширина спектра: 〖∆w〗_СП=[0 ;1,042] )┤| □(⇒┴ ) спектр сигнала попадает в полосу пропускания цепи. Сигнал на выходе цепи будет с небольшими искажениями. Т.к. значение АЧХ при w→∞ равно нулю, то сигнал на выходе цепи будет непрерывным. Так как значение АЧХ на нулевой частоте равно 0,5, а площадь входного сигнала равна нулю, то и площадь выходного сигнала будет равна нулю. Это подтверждает график выходного сигнала из п.6.
8. Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе:

Спектр реакции можно найти как:
U_2 (jw)=H(jw)∙U_1 (jw)
Амплитудный спектр реакции:
|U_2 (jw)|=|H(jw)|∙|U_1 (jw)|=|2-0,88w^2 |/√((4-3,4w^2 )^2+(3,6w-0,8w^3 )^2 )∙|0,8/(0,16-w^2 ) sin⁡(2,5πw)|
Фазовый спектр:
Ф_2 (w)=Ф_H (w)+Ф_1 (w)=arg⁡(2-0,88w^2 )-arctg⁡〖w/3,332-〗 arctg⁡〖(w-1,14)/0,446-〗 arctg⁡〖(w+1,14)/0,446〗+
+π/2-2,5πw+arg⁡((sin⁡(2,5πw))/(0,16-w^2 ))
Графики амплитудного и фазового спектров реакции:

9. Приближённый расчёт реакции по спектру при одиночном импульсе воздействия:

Будем искать реакцию по амплитудному и фазовому спектру. Для этого используем формулы связи спектра одиночного импульса u_2 с дискретным спектром периодического сигнала u_2п, составленного из периодической последовательности импульсов u_2 (t):
U_2mk=2/T∙├ |U_2 (jw)| ┤|_(w=k∙w_1 )=2/T∙|2-0,88(kw_1 )^2 |/√((4-3,4(kw_1 )^2 )^2+(3,6kw_1-0,8(kw_1 )^3 )^2 )∙|0,8/(0,16-(kw_1 )^2 ) sin⁡(2,5πkw_1)|
Ф_2k=├ Ф_2 (w)┤|_(w=k∙w_1 )=arg⁡(2-0,88(kw_1 )^2 )-arctg⁡〖(kw_1)/3,332-〗 arctg⁡〖(kw_1-1,14)/0,446-〗 arctg⁡〖(kw_1+1,14)/0,446〗+
+π/2-2,5πkw_1+arg⁡((sin⁡(2,5πkw_1))/(0,16-(kw_1 )^2 ))
Для более точного расчёта, период T=2π/w_1 надо выбрать достаточно большим: возьмём T=17π.
Запишем ряд Фурье для сигнала u_2п:
u_2п (t)=U_20/2+∑_(k=1)^50▒〖U_2mk cos⁡(kw_1 t+Ф_2k ) 〗=0,082∙cos⁡(0,118t+0,541)+
+0,138∙ cos⁡(0,235t-0,491)+0,153∙cos⁡(0,353t-1,529)+0,128∙cos⁡(0,471t-2,579)+
+0,079∙cos⁡(0,588t-3,646)+...
Строим график суммы ряда Фурье в пределах периода – это приближённый график u_2 (t) и график реакции, рассчитанной операторным методом в п.6.:
u2(t) – реакция, рассчитанная операторным методом в п.6; u2pr(t) – приближённый расчёт реакции

Из графика видно, что приближённый расчёт реакции по спектру достаточно точен. Точность увеличивается при увеличении числа гармоник и увеличении периода.
10. Определение спектра периодического входного сигнала:

Для получения спектральных характеристик входного периодического сигнала используем связь спектральных характеристик одиночного и периодического сигналов:
Амплитудный спектр: U_1mk=2/T∙├ |U_1 (jw)| ┤|_(w=k∙w_1 )=|(1⁄π)/(1-0,25k^2 ) sin⁡(πk/2) |
Фазовый спектр: Ф_1k=├ Ф_1 (w)┤|_(w=k∙w_1 )=π/2-πk/2+arg⁡((sin⁡(0,5πk))/(1-0,25k^2 )) , где k=0,1,…K_ф ; K_ф – число гармоник ряда Фурье, определяется по ширине спектра: K_ф=⌈w_сп/w_1 ⌉=⌈1,042/0,2⌉=6; w_1=2π/T=2π/10π=0,2 – частота основной гармоники.
Запишем отрезок ряда Фурье для входного периодического сигнала:
u_1 (t)≈U_10/2+∑_(k=1)^6▒〖U_1mk∙cos⁡(kw_1 t+Ф_1k )=〗 0,424 cos⁡〖(0,2t)+0,5 cos⁡〖(0,4t-π/2)+〗 〗 0,255 cos⁡(0,6t-π)+
+0,061cos⁡(t-π)
Амплитудный и фазовый дискретные спектры воздействия:


Графики исходного входного периодического сигнала (u1(t)) и после аппроксимации его отрезком ряда Фурье (u1k(t)), а также графики некоторых отдельных составляющих:

11. Приближённый расчёт реакции при периодическом воздействии:

Выходной сигнал u_2 (t) представляем в виде отрезка ряда Фурье:
u_2 (t)=U_20/2+∑_(k=1)^6▒〖U_2mk cos⁡(kw_1 t+Ф_2k ) 〗; w_1=2π/T=0,2
Амплитудный дискретный спектр реакции:
U_2mk=|H(jkw_1)|∙U_1mk=|2-0,88(0,2k)^2 |/√((4-3,4(0,2k)^2 )^2+(3,6∙0,2k-0,8(0,2k)^3 )^2 )∙|(1⁄π)/(1-0,25k^2 ) sin⁡(πk/2) |
Фазовый дискретный спектр реакции:
Ф_2k=Ф_H (kw_1 )+Ф_1k=arg⁡(2-0,88(0,2k)^2 )-arctg⁡〖0,2k/3,332-〗 arctg⁡〖(0,2k-1,14)/0,446-〗 arctg⁡〖(0,2k+1,14)/0,446〗+
+π/2-πk/2+arg⁡((sin⁡(0,5πk))/(1-0,25k^2 ))
Отрезок ряда Фурье реакции имеет вид:
u_2 (t)=U_20/2+∑_(k=1)^6▒〖U_2mk cos⁡(kw_1 t+Ф_2k ) 〗=0,212 cos⁡〖(0,2t-0,182)+0,25 cos⁡〖(0,4t-1,951)+〗 〗
+0,126cos⁡(0,6t-3,759)+0,024 cos⁡(t-4,494)
Амплитудный и фазовый дискретные спектры реакции:


График ряда Фурье реакции u_2 (t):

Из графика видно, что периодический сигнал при его прохождении через цепь искажается не значительно, что вызвано тем, что в полосу пропускания попадают первые 5 гармоник спектра, несущее основную энергию сигнала. Время задержки равно 0,911.

12. Определение в «замкнутой» форме вынужденной составляющей реакции при периодическом входном сигнале:

Для t>0 запишем изображение входного сигнала u_1 (t) в предположении что u_1=0 при t<0: U_1 (s)=(U_11 (s))/(1-e^(-10πs) ),где U_11 (s)=0,4/(s^2+0,16) (1-e^(-5πs) )÷u_1 (t) в интервале 0<t<T=10π - изображение условного первого периода входного сигнала.
Найдём изображение реакции цепи:
U_2 (s)=H(s)∙U_1 (s)=U_2св (s)+U_2вын (s)=
=((0,44s^2+1)∙(1-e^(-5πs) )^ )/(s-0,4j)(s+0,4j)(s+3,332)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j)(1-e^(-10πs) ) =
=A_1/(s+3,332)+A_2/(s+0,446-1,14j)+A_3/(s+0,446+1,14j)+(U_21 (s))/(1-e^(-10πs) ),где U_21 (s)-
изображение условного первого периода искомой установившейся реакции. Свободная составляющая равна: U_2св (s)=A_1/(s+3,332)+A_2/(s+0,446-1,14j)+A_3/(s+0,446+1,14j) , вынужденная составляющая равна: U_2вын (s)=(U_21 (s))/(1-e^(-10πs) )
A_1≅0; A_2=(1,772-6,056j)∙〖10〗^(-5)≅0; A_3=A_2^*≅0
Отделим свободную составляющую от полной реакции и найдём U_21 (s). Слагаемые содержащие множитель e^(-10πs) в расчёт принимать не будем. По изображению U_21 (s) найдём оригинал, т.е. точное описание искомой периодической реакции в интервале 0<t<T=10π
U_21 (s)=(U_2 (s)-U_2св (s) )∙(1-e^(-10πs) )=((0,44s^2+1)∙(1-e^(-5πs) )^ )/(s-0,4j)(s+0,4j)(s+3,332)(s+0,446-1,14j)(s+0,446+1,14j) =
=(A_1/(s-0,4j)+A_2/(s+0,4j)+A_3/(s+3,332)+A_4/(s+0,446-1,14j)+A_5/(s+0,446+1,14j))(1-e^(-5πs) )
A_1=-0,093-0,232j=0,25e^(-1,952j);
A_2=-0,093+0,232j
A_3=0,054; A_4=0,066-0,024j=0,07∙e^(-0,349j); A_5=A_4^*=0,066+0,024j
Вычислим для 0<t<T=10π точное описание периодической реакции (ряд Фурье в «замкнутой» форме), т.е. всю сумму ряда Фурье:
u_2уст (t)=u_2вын (t)=u_21 (t)=(0,5∙cos⁡(0,4t-1,952)+0,054e^(-3,332t)+0,14e^(-0,446t)∙cos⁡(1,14t-0,349))∙δ_1 (t)-
-[0,5∙cos⁡(0,4(t-5π)-1,952)+0,054e^(-3,332(t-5π) )+0,14e^(-0,446(t-5π) )∙cos⁡(1,14(t-5π)-0,349)]∙δ_1 (t-5π),
для 0<t<T=10π
Этот результат можно периодически продолжить для -∞<t<+∞
Построим график реакции, продолженной на несколько периодов, и сравним его с данными п.11:

u21(t) - график реакции найденной в «замкнутой» форме
u2(t) - график реакции найденной в п.11
Графики реакции, найденные в п.11 и в замкнутой форме в выбранном масштабе практически совпадают.
 
Выводы:

В результате выполнения курсовой работы для заданной цепи была определена реакция при воздействиях вида:
а) сигнала вида единичной ступенчатой и импульсной функции
б) одиночного импульса
в) периодической последовательности импульсов

Собственные частоты цепи: p_1=-3,332; p_2,3=-0,446±1,14j , следовательно, переходный процесс в цепи носит затухающий колебательный характер. Время переходного процесса: t_ПП=6,73.
Значение A(0)=0,5 □(⇒┴ ) площадь реакции равна половине площади входного воздействия
Значение A(∞)=0 □(⇒┴ ) сигнал на выходе непрерывен
Результат, полученный операторным методом в п.6 совпадает с этими предположениями: площадь выходного сигнала примерно равна нулю, выходной сигнал непрерывен.
├ ■(Полоса пропускания: 〖∆w〗_ПП=[0 ;1]@Ширина спектра: 〖∆w〗_СП=[0 ;1,042] )┤| □(⇒┴ ) спектр сигнала попадает в полосу пропускания цепи.
Сигнал на выходе цепи имеет небольшие искажения. Время задержки выходного сигнала t_з=0,93. Входной периодический сигнал при его прохождении через цепь также искажается незначительно, так как в полосу пропускания цепи попадают первые 5 гармоник спектра сигнала, несущие основную энергию. Время задержки периодического сигнала t_з=0,911.
 
Список используемой литературы:

Учебное пособие «Курсовое проектирование по теории электрических цепей».
Ю.А. Бычков, В.М. Золотницкий, Э.П. Чернышёв «Сборник задач и практикум по основам ТЭЦ».
Ю.А. Бычков, В.М. Золотницкий, Э.П. Чернышёв «Основы теоретической электротехники».