Линейная алгебра

Раздел 7: Линейная алгебра: Тема 4.
1.Квадратичная форма и виды её записи. Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы, линейное преобразование переменных, их произведение.
В этой теме под полем Р будем понимать либо поле R либо поле С
Опред1,1 Кв-ая ф-ма от переменных x_1,x_2,…,x_n над Р наз многочлен f(x_1,x_2,…,x_n) c коэф из поля Р,каждый член кот имеет степень 2 т.е многочлен f(x_1,x_2,…,x_n)=а_11 x_1^2+а_12 x_1 x_2+⋯+а_1n x_1 x_n+а_21 x_2 x_1+⋯+а_nn x_n^2
Кв-ая ф-ма над полем Rназ действит кв-ой ф-ой,а над С,комплексной кв-ой ф-ой.
Будем считать,что в записи кв-ой ф-мы выполн условие a_ij=a_ji,∀i=1,2,…,n. Если в первонач записи кв-ой ф-мы коэф при x_i x_j и x_j x_i≠,то их можно сложить,разделить на 2 и получ =ые между собой коэф-ты a_ij и a_ji. Такую запись кв-ой ф-мы будем называть симметричной.
Опред1,2 Матрица А с элем А=(a_ij) порядка nсост из коэф кв-ой ф-мы f(x_1,x_2,…,x_n),запис в симметрич виде наз матрицей кв-ой ф-мы т.к выполн условие a_ij=a_ji,∀i=1,2,…,n ,то матр А-симметрич. Ранг этой матр А наз рангом кв-ой ф-мы.
Иногда кв-ую ф-му удобно запис в виде двойной суммы f(x_1,x_2,…,x_n)=∑_(i=1)^n ∑_(j=1)^n▒〖a_ij x_i x_j 〗
Опред1,3. Линейным преобразованием переменных x_1,x_2,…,x_n над Р наз переход от перем x_1,x_2,…,x_n к перем у_1,у_2,…,у_n по формулам x_1=α_11 у_1+α_12 у_2+⋯+α_1n у_n
x_2=α_21 у_1+α_22 у_2+⋯+α_2n у_n
……………………………………...
x_n=α_n1 у_1+α_n2 у_2+⋯+α_nn у_n где α_ij∈Р
Матри В с элем α_ijсоставленная из коэф при у_1,у_2,…,у_nназ матр этого лин преобраз,если матр В невырождена,то лин преобраз наз невырожденным.
Если через Х=(x_1,x_2,…,x_n) через У=(у_1,у_2,…,у_n),то указанное лин преобраз переменных можно запис в виде матричного рав-ва Х^Т=ВУ^Т
Если это лин преобраз невырожнено т.е определитель |B|≠0,то ∃В^(-1) и тогда У^Т=В^(-1) Х^Т это рав-во явл невырожденным лин преобраз перем-ых у_1,у_2,…,у_n и наз обратным к предыд преобраз.
Опред1,4 Под произведением двух лин преобраз понимают их последовательное выполнение.
Пусть лин преобраз перем x_1,x_2,…,x_n задано рав-вом Х^Т=ВУ^Т,а лин преобраз перем у_1,у_2,…,у_n задано рав-ом У^Т=CZ^Т,где Z=(z_1,z_2,…,z_n)
Найдем произвед этих лин преобраз:Х^Т=ВУ^Т=В(CZ^Т)=(ВС)Z^Т т.о матрицей произвед лин преобраз явл произвед матриц этих преобраз.

2.Канонический вид квадратичной формы, метод Лагранжа, приведение квадратичной формы к каноническому виду (Т.2.1).
О.2.1.Кв. ф. наз канонической ,если она не содержит произв. различных переменных. Канонич. видом кв. ф. f(x_(1,),x_2,…,x_n) наз. любая канонич. кв .ф. g(y_(1,),y_2,…,y_n) полученная в результате применения невырожденного лин. Преобразования переменных x_(1,),x_2,…,x_n.
Т.2.1.Любую кв. ф. над полем P, с помощью некоторого невырожденного лин преобразования переменных можно привести к каноническому виду
3.Индекс инерции квадратичной формы (Т.3.1 и определение 3.1).
Теорема Число ненулевых коэф-в в каноническом виде квадратичной формы над полем , не зависит от способа приведения к квадратичной формы к этому виду и равно рангу квадратичной формы.
Число ненулевых коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы называется индексом инерции этой квадратичной формы. Одним из наиболее простых способов приведения квадратичной формы к каноническому виду является так называемый метод Лагранжа.
Теорема. Для любой действительной квадратичной формы f(x1, x2, . . . , xn) существует линейное преобразование переменных x1, x2, . . . , xn с ортогональной матрицей, приводящее эту форму к каноническому виду. При этом коэффициентами при квадратах переменных будут корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы f(x1, x2, . . . , xn).
Пусть А матрица квадратичной формы f(x1, x2, . . . , xn). Так как А симметрична , то существует матрица С с элементами Cij такие что СА С -1=В –диагональная матрица. На диагонали которой расположены корни характеристического многочлена матрицы А.Применим линейное приобразование переменных (x1, x2, . . . , xn) с матрицей Ст , т.е ХТ=СТ УT. Тогда f(x1, x2, . . . , xn)=ХАХт=(Хт )т АХ =(С т У т)АС т У т=У(САС т)У т=g (x1, x2, . . . , xn). Получаем квадратичную форму g (x1, x2, . . . , xn) с матрицей САС т
Т.как матрица С ортонормир., то С Т=С-1 , Поэтому матрица СА С -1=В является матрицей квадратичной формы.

4.Другой способ приведения квадратичной формы к каноническому виду (Т.3.2).
Теор. Для любой действит. квадр. Формы f(x1….xn) сущ. Линейное преобразование переменных x1…xnc ортогональной матрицей приводящую эту форму к каноническому виду при чем коэффициент при квадратах переменных в каноническом вудут корни характеристического многочлена матрицы этой квадратичной формы(x1….xn)
Док-во пусть А кв-я матрица от (x1….xn) т.к. матрица А симметричка по сущ. Ортогональная матрица С=(cij) такая что CA*C-1=B есть диагонализированная матрица на диагонали которой расположен корень характеристического многочлена матрицы А применим линейное преобразование переменных (x1….xn) с матрицей CT то есть преобразование XT=СТYT,тогда f(x1….xn)=XA*XT=(XT)T*АXT=(СTYT)TA*(CTYT)YT=Y(CACT)YT получим квадратную форму g(y1….yn) с матрицей CACT т.к. матрица С ортогональна.то СТ=С-1 поэтому матрица САС-1=В является матрицей квадратичной формы g(y1….yn) поскольку C диагонально g(y1….yn)=ℷ1y12+….+ℷnyn2 есть канонический вид кв-й формы f(x1….xn) при чем коэффициент ℷ1.. ℷn есть корни характеристического многочлена матрицы А.

5.Нормальный вид квадратичной формы над полем C (определение 4.1 и Т.4.1).
Опр: нормальный вид квадратичной формы f(x_1…x_n) на С называется такой её канонический вид в котором все не нулевые коэффициенты равны 1.
Т: любая квадратичная форма над R с помощью некоторого не вырожденного преобразования переменных может быть приведена к нормальному виду.


6.Нормальный вид квадратичной формы над полем R (определение 4.2 и Т.4.2).
Опр: нормальный видквадратичной формы f(x_1…x_n) на R называется такой её канонический вид в котором все не нулевые коэффициенты равны либо 1 , либо -1.
Т: любая квадратичная форма над R с помощью некоторого не вырожденного преобразования переменных может быть приведена к нормальному виду.







7.Положительные и отрицательные индексы инерции квадратичной формы.
Опр:Главным минором матрицы А порядка n называются определители определитель квадратной матрицы порядка формула, составленной из элементов матрицы А, которые находятся в заранее выбранных n строках и n столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется.
Лемма:значит определитель матрицы действительной к.ф не меняется при применении к этой к.ф линейного преобразования переменных.
Следствие: определитель матрицы отрицательно отр. к.ф положителен если число переменных четно и отрицателен если число переменных не четно .
Т. число положительных и число отрицательных коэффициентов в нормальном виде десств. К.ф не зависит от выбора невырожденного линейного преобразования переменных приводящих эту форму к нормальному виду.

8.Знакоопределение квадратичной формы.
Т. Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры матрицы квадратичной формы положительны.
Следствие. Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров матрицы A квадратичной формы чередуются, начиная со знака «минус»

9.Критерий Сильвестра для знакоопределения квадратичной формы.
Теорема (критерий Сильвестра). Пусть A – матрица квадратичной формы
I. Квадратичная форма ƒ(x) положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы A положительны.
II. Для того, чтобы квадратная форма была отрицательно определенной необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чередовали знаки.