Аналитическая геометрия на плоскости

Раздел2: Аналитическая геометрия на плоскости.
1.Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости.
1.1 Метод координат
Аналитическая геометрия обладает общим методом решения задач и этот метод называется методом координат.В основе МК лежит понятие системы координат. Под системой координат понимают способ, позволяющий численно описать положение точки на плоскости.Одной из таких систем является прямоугольная декартава система координат. Введение прямоугольной системы координат позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и парой действительных чисел – их координат. Ох – абсцисса, Оу – ордината. Это дает возможность при решении геометрических задач применять алгебраические методы.
1.2 Расстояние между двумя точками.
Если точка А(ах,ау) и точка В(вх,ву), то расстояние между А и В равно АВ=sqrt((вх-ах)^2+(ву-ау)^2).
1.3 Деление отрезка в данном отношении.
Пусть на плоскости в декартовой системе координат задан произвольный отрезок и пусть М – любая точка этого отрезка отличная от М2. Число d=(М1М)/(М1М2) называется отношением, в котором точка М делит отрезок М1М2.
Теорема Пусть точка М1 – имеет координаты (х1,у1) и М2(х2,у2). Если точка М(х0,у0) делит отрезок М1М2 в отношении d, то х0=(х1+dx2)/(1+d) и у0=(у1+dу2)/(1+d).
Следствие Пусть точка М1(х1,у1), М2(х2,н2) и если М(х0,у0) – середина отрезка М1М2, то х0=(х1+х2)/2 и у0=(у1+у2)/2.
Теорема Пусть А(х1,у1), В(х2,у2), С(х3,у3), тогда S(АВС)=1/2|(х2-х1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)|.
 
2.Виды уравнений прямой на плоскости.
Теорема Всякая прямая в некоторой ПДСК-2 определяется уравнением первой степени Ax+By+C=0, где A, B, C — некоторые действительные числа, удовлетворяющие условию A^2 + B^2 != 0.
Определение Уравнение первой степени Ax + By + C = 0, где A, B, C — некоторые действительные числа, удовлетворяющие условию A^2+B^2 != 0 называется общим уравнением прямой на плоскости.
Особые случаи общего уравнения прямой:
1) A=0—уравнение имеет вид: By+C=0 — прямая параллельна координатной оси OX;
2) B=0 — уравнение имеет вид: Ax+C=0 — прямая параллельна координатной оси OY;
3) C=0 — уравнение имеет вид: Ax+By=0 — прямая проходит через начало координат;
4) A=C=0 — уравнение имеет вид: By=0 — прямая совпадает с координатной осью OX;
5) B=C=0 — уравнение имеет вид: Ax=0 — прямая совпадает с координатной осью OY.
Пусть дана некоторая прямая a, не параллельная оси ординат. Обозначим k=tg α, где α — угол между этой прямой и положительным направлением оси OX. Пусть M(x0, y0) — некоторая фиксированная точка этой прямой. Тогда прямая a определяется уравнением y − y0 = k(x − x0), которое называется уравнением прямой по угловому коэффициенту и точке.э
Если B(0, b) — точка пересечения прямой a с осью OY , то прямая определяется уравнением y = kx + b, которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Если прямая a проходит через две различные точки — A(x1, y1) и B(x2, y2), то она определяется уравнением (x−x1)/(x2−x1)=(y−y1)/(y2−y1), которое называется уравнением прямой по двум точкам.
Если A(a, 0) — точка пересечения прямой a с осью OX, а B(0, b) — точка пересечения с осью OY , то прямая определяется уравнением x/a+y/b=1, которое называется уравнением прямой в отрезках по осям.
Если a(a1, a2) — направляющий вектор прямой a, а M0(x0, y0) — некоторая её фиксированная точка, то прямая определяется уравнением (x−x0)/a1=(y−y0)/a2, которое называется каноническим уравнением прямой на плоскости.
Определяется так же прямая и двумя уравнениями x=(a1t+x0); y=(a2t+y0), которые называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости. Число t называется параметром.
Пусть α — угол между нормальным вектором прямой a и положительным направлением оси OX, p — расстояние от прямой до началакоординат. Тогда прямая определяется уравнением xcosα + ysinα − p = 0, которое называется нормальным уравнением прямой. Для того, чтобы получить из общего уравнения прямой её нормальное уравнение, необходимо это общее уравнение умножить на множитель µ=±1/sqrt(A^2+B^2), который называется нормирующим множителем. Знак этого множителя выбирается противоположным знаку C из общего уравнения.

 
3.Углы и расстояние на плоскости.
Пусть две прямые — a1 и a2 заданы своими общими уравнениями A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0 соответственно. Тогда A1/A2=B1/B2 — условие параллельности, A1A2+B1B2=0 — условие перпендикулярности.
◭ Если прямые параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны. Следовательно, существует единственное число λ такое, что λ(A2, B2) = (A1, B1). Перейдя к координатам и исключив λ получаем условие параллельности. Перпендикулярность же прямых равносильна ортогональности нормальных векторов, т.е. равенства нулю их скалярного произведения. ◮
Углом ϕ между прямыми a1 и a2 называется наименьший угол поворота на который нужно повернуть прямую a1 вокруг некоторой её точки так, чтобы прямая a1 совпала с прямой a2 или стала ей параллельной. Этот угол считается положительным, если поворот происходит против часовой стрелке и отрицательным в противном случае.
Если k1 и k2 — угловые коэффициенты прямых a1 и a2, то получим формулу угла между прямыми — tgϕ=(k2−k1)/(1 + k1k2).
◭ Пусть α1, α2 — углы, которые с осью абсцисс образуют прямые a1, a2 соответственно. Как видно ϕ = α2 − α1. По данному выше определению углового коэффициента, k1 = tg α1, k2 = tg α2.
Поэтому tg ϕ = tg(α2−α1) = (tg α2 − tg α1)/(1 + tg α1 tg α2)=(k2 − k1)/(1+k1k2).
Из формулы следуют условие параллельности k1 = k2 и условие перпендикулярности k1 = −1/k2 через угловые коэффициенты.
◭ Если прямые параллельны, то tg ϕ = 0, поэтому k2 − k1 = 0 и отсюда следует условие параллельности. Если же прямые перпендикулярны, то ϕ=π/2, поэтому tg ϕ не существует, значит 1+k1k2 = 0, откуда условие перпендикулярности очевидно. ◮
Угол между прямыми на плоскости равен углу между их нормальными векторами, поэтому этот угол может быть найден как угол между нормальными векторами, т.е. по формуле
cosϕ=(A1A2+B1B2)/(sqrt(A1^2+B1^2)sqrt(A2^2 + B2^2)).
ТеоремаПусть в некоторой ПДСК-2 дана некоторая точка M(x1, y1) и задана некоторая прямая a своим общим уравнением Ax + By + C = 0. Тогда расстояние от точки M до прямой a находится по формуле d =|Ax1 + By1 + C|/sqrt(A^2 + B^2).

 
4.Окружность и эллипс.
ОпределениеЭллипсом называется множество точек плоскости для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.
Постоянную величину, входящую в определение эллипса обозначим через 2a, а расстояние между фокусами через 2c. Пусть F1, F2 — фокусы эллипса. Выберем систему координат таким образом, чтобы ось абсцисс проходила через точки F1, F2, а начало координат находилось на середине отрезка F1F2. Тогда очевидно, что F1(−c, 0) и F2(c, 0).
Определение Фокальными радиусами точки M(x, y) эллипса называются величины r1 = F1M и r2 = F2M.
ТеоремаДля того, чтобы точка M(x, y) принадлежала эллипсу, необходимо, чтобы её координаты удовлетворяли уравнению X^2/a^2+y^2/b^2= 1, Где b^2=a^2–c^2, называется каноническим уравнением эллипса.
СвойствоКоординатные оси являются осями симметрии эллипса. Начало координат является центром симметрии эллипса.
Свойство Эллипс пересекает координатные оси в точках A1(−a, 0), A2(a, 0), B1(0, −b), B2(0, b).
Свойство Для любой точки эллипса M(x, y) выполняются соотношения: −a < x < a, −b < y < b.
Свойство Для любых точек эллипса, расположенных в первой координатной четверти, с возрастанием их абсциссы, их ордината убывает.
Определение Отрезок A1A2 и его длина 2a называется большей осью, а отрезок OA2 и его длина a называется большей полуосью.
Определение Отрезок B1B2 и его длина 2b называется меньшей осью, а отрезок OB2 и его длина b называется меньшей полуосью.
Определение Отрезок F1F2 и его длина 2c называется фокусным расстоянием.
Определение Точки A1(−a, 0), A2(a, 0), B1(0, −b), B2(0, b) называются вершинами эллипса.
ОпределениеОтношение фокусного расстояния эллипса к длине его большей оси называется эксцентриситетом эллипса и обозначается через ε: ε =c/a. Фокальные радиусы для эллипса могут быть вычислены через эксцентриситет: r1 = a + εx1, r2 = a − εx1.
Эллипс может быть задан уравнениями x = a cost; y = b sin t, которые называются параметрическими уравнениями эллипса, t — угол между радиус-вектором OM и осью абсцисс.
Окружность радиуса r с центром в точке M(a, b), называется множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние r от центра.
Пусть М(х,у) – произвольная точка окружности, тогда по формуле расстояния между двумя точками r=M0M=sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2). По определению окружности r=M0M. Получаем уравнение окружности r=sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2 или (x − a)^2 + (y − b)^2 = r^2. Это уравнение называется каноническим уравнением окружности.
Пусть в некоторой ПДСК-2 некоторая окружность задана своим уравнением x^2 + y^2 = a^2. Произведём преобразование сжатия к оси абсцисс по формулам x = X и y =(a/b)Y.Подставив в уравнение окружности и преобразовав, получим: X^2/a^2+Y^2/b^2= 1.

5.Гипербола и парабола.
Определение Гиперболой называется множество точек плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между фокусами. Постоянную величину, входящую в определение гиперболы обозначим через 2a, а расстояние между фокусами — через 2c. Пусть F1, F2 — фокусы. Систему координат выберем таким образом, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы, а начало координат находилось на середине отрезкаF1F2.Очевидно,чтоF1(−c,0)и F2(c,0). ПустьM—произвольная точка гиперболы. Из определения следует, что |F1M−F2M|=2a.
Определение Фокальными радиусами точки M(x, y) гиперболы называются величины r1 = F1M и r2 = F2M.
Теорема Для того, чтобы точка M(x, y) принадлежала гиперболе, необходимо, чтобы её координаты удовлетворяли уравнению X^2/a^2−y^2/b^2= 1, где b^2 = c^2 – a^2,называется каноническим уравнением гиперболы.
Теорема Если координаты точки M(x1, y1) удовлетворяют уравнению x^2-a^2−y^2b^2= 1, где b^2 = c^2 – a^2, то эта точка принадлежит некоторой гиперболе.
Свойство Координатные оси являются осями симметрии гиперболы. Начало координат является центром симметрии гиперболы.
Свойство Гипербола пересекает координатную ось OX в точках A1(−a, 0), A2(a, 0) и не пересекает ось OY .
Свойство Для любой точки гиперболы M(x, y) выполняется: |x|>=a.
Свойство Для любых точек гиперболы, расположенных в первой координатной четверти, с возрастанием их абсциссы, их ордината возрастает.
Свойство Отрезок A1A2 и его длина 2a называется действительной осью, а отрезок OA2 и его длина a называется действительной полуосью.
Свойство Отрезок B1B2 и его длина 2b называется мнимой осью, а отрезок OB2 и его длина b называется мнимой полуосью.
Определение Отрезок F1F2 и его длина 2c называется фокусным расстоянием.
ОпределениеТочки A1(−a, 0), A2(a, 0) называются вершинами гиперболы.
ОпределениеПрямые, проходящие через начало координат и имеющие угловые коэффициенты b/a и –b/a называются асимптотами гиперболы.
Асимптоты гиперболы определяются уравнениями y=(b/a)x; y=−(b/a)x.
Теорема Точки гиперболы неограниченно приближаются к асимптотам, но не пересекают их.
ОпределениеОтношение фокусного расстояния гиперболы к длине ее действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается через ε: ε =c/a/
Замечание Начав изучать гиперболу, мы выбрали систему координат таким образом, чтобы фокусы лежали на оси абсцисс. Возможен и другой часто используемый выбор системы координат, когда фокусы лежат на оси ординат.

ОпределениеПараболой называется множество точек плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки, называемой фокусом равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой.
Обозначим фокус параболы через F, а директрису через d. Систему координат выберем таким образом, чтобы фокус лежал на положительном направлении оси абсцисс, директриса была параллельна оси ординат и начало координат находилось посередине между фокусом и директрисой. Расстояние между фокусом и директрисой обозначим через p. Тогда очевидно, что F(p/2, 0) и директриса имеет уравнение x = −p/2.
ТеоремаДля того, чтобы точка M принадлежала параболе, необходимо, чтобы её координаты удовлетворяли уравнению y^2 = 2px, где p — некоторое действительное положительное число.
Теорема Если координаты некоторой точки M удовлетворяют уравнению y^2 = 2px,где p — некоторое действительное положительное число, то эта точка принадлежит некоторой параболе.
ОпределениеУравнение y^2 = 2px, где p — некоторое действительное положительное число, называется каноническим уравнением параболы.

Свойство Абсцисса любой точки параболы неотрицательна.
СвойствоПарабола проходит через начало координат.
Свойство Парабола симметрична относительно оси абсцисс.
СвойствоПри неограниченном возрастании абсциссы, ордината возрастает по абсолютной величине.
Свойство Отрезок FM называется фокальным радиусом, а величина p — параметром параболы.
Определение Ось абсцисс называется осью симметрии параболы, а точка пересечения параболы с осью абсцисс, которая совпадает сна чалом координат — вершиной параболы.
Замечание Если систему координат выбрать другим образом, то уравнение параболы будет иметь другой вид.

 
6.Преобразование системы координат на плоскости.(Общее уравнение 2-го порядка и линии на плоскости).
Параллельный перенос, поворот и общее преобразование системы координат на плоскости
Определение Пусть даны две ПДСК-2 — OXY и O′X′Y′ и пусть точки O и O′ различны, а оси OX и O′X′; OY и O′Y′ попарно сонаправлены. Преобразование системы OXY в систему O′X′Y′ называется преобразованием параллельного переноса прямоугольных координат на плоскости. При этом система OXY называется старой системой, а система O′X′Y′ — новой системой.
Если (a, b) — координаты точки O′ в системе OXY , то формулы перехода от новой системы координат к старой при преобразовании параллельного переноса имеют вид x = x′ + a; y = y′ + b, а формулы перехода от старой системы к новой — x′ = x − a; y′ = y − b.
ОпределениеПусть даны две ПДСК-2 — OXY и OX′Y′, и пусть α — угол между осями OX и OX′. Преобразование системы OXY в систему OX′Y′ называется преобразованием поворота прямоугольных координат на плоскости на угол α. При этом система OXY называется старой системой, а система OX′Y′ — новой системой.
При преобразовании поворота на плоскости на угол α формулы перехода от новой системы к старой имеют вид x = x′cos α − y′sin α;y = x′sinα + y′cosα,
а от старой к новой — x′ = x cos α + y sin α; y′ = −x sin α + y cos α.
Определение Пусть на некоторой плоскости даны две произволь-
ные ПДСК-2 — OXY и O′X′Y′. Преобразование системы OXY в систему O′X′Y′ называется общим преобразованием прямоугольных координат на плоскости. При этом система OXY называется старой системой координат, а O′X′Y′ — новой системой.
Пусть точка O′в системе OXY имеет координаты (a, b), а угол между осями OX и O′X′ равен α. Тогда формулы перехода от новой системы к старой при общем преобразовании имеют вид x = x′cos α − y′sin α + a; y = x′sin α + y′cos α + b,а формулы обратного перехода —
x′ = (x − a) cos α + (y − b) sin α; y′ = −(x − a) sin α + (y − b) cos α.
Общим уравнением линии второго порядка на плоскости называется уравнение вида Ax^2 + Bxy + Cy^2 + D13x + E23y + F = 0, A^2 + B^2 + C^2 != 0.
Уравнением линии на плоскости называется такое уравнение F(x,y)=0 с двумя переменными x, y, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и только они.