Векторы и действия над ними

Раздел1: 1.Векторы и действия над ними.

Величины, которые полностью определяются своим числовым значением, такие как масса, объем, площадь, длинна и т.д. называются скалярными величинами.
Другие величины, такие как сила, скорость и ускорение определяются не только числовыми значениями, но и направлением, называются векторами.
Вектором будем называть направленный отрезок, т.е. отрезок имеющий определённую длину и направление. Если точкаА начало, а точка В конец, то его изображают отрезком с направлением и обозначают А̅В с чертой. Вектор, длина которого равна 0, называют нулевым вектором и обозначают 0̅ . Считается что 0̅ не имеет направления. Вектор длина которого равна 1 называется единичным вектором. Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на параллельных прямых.
Нулевой вектор считают коллинеарным, любому вектору. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково и противоположно. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.
Действие над векторами:
1) Сложение векторов (правило треугольника). Суммой нескольких векторов называется вектор, соединяющий начало первого вектора и конец последнего, если каждый последующий вектор, начиная со второго отложен из конца предыдущего. Свойства:
1) Сложение векторов коммутативно, т.е. a+b=b+a.
2) Сложение векторов ассоциативно, т.е. (a+b)+c=a+(b+c).
3) Есликвекторуa+o=a=o+a.
2)Произведение вектора на число.
Произведением вектора а на число α называют вектор αa, который удовлетворяет след.условие:
1) Длина вектора |αa|=|α|*|a|.
2) αa||a.
3) Векторы αa и a одинаково направлены, если α>0 и противоположно направлены если α<0.
Вектор (-1)а=-а называется противоположным а.
Отметим так же ещё некоторые свойства:
1) 1*a=a.
2) (α*β)*a=α*(β*a).
3) (α+β)*a=α*a+β*a.
4) α*(a+b)=α*a+α*b.
Свойства:
1. 2 вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда а=tв.
2. 3 вектора коллинеарны когда а=qb+wc.
3)Разность векторов.
Разностью векторов a,b будем назыв. такой вектор с, который в сумме с вектором b даёт вектор a.



2.Координаты вектора, разложение вектора по ортам координатных осей.
Пусть в пространстве или на плоскости задана ось L и вектор A,B. Пусть проекция точки А на ось L есть точка A1, а проекция точки B это точка B1. Проекция вектора AB на ось L называется число длина вектора |AB| взятая со знаком +, если вектор АВ и ось L направленно одинаково и со знаком – если вектор АВ направлена противоположно.
Координаты вектора в пространстве удовлетворяют след, св-вам:
1)Если a=(Ax, Ay, Az) b=(Bx, By, Bz), то a+b=(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz).
2)a-b=(Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz).
3)αa=(αAx,αAy,αAz).
Теорема Если точка A(x₁,y₁,z₁) B(x₂,y₂,z₂) являются началом и концом вектора АВ, то вектор АВ=(x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁).
i,j,k- называются ортами координатных осей. На координатных осях изобразим единичные вектора, совпадающие по направлению с координатными осями и имеющими начало в точке 0. Пусть задан а=(ах,ау,аz). Изобразим вектор а исходящий из начала координат. Нетрудно заметить, что ов=аyj, oc=axi, oo1=azk. Надо выразить 0А1 через орты. Такое разложение а называется разложением по ортам координатных осей.




3.Скалярное произведение векторов.
Определение Скалярное произведение двух ненулевых векторов a,bназывают число равное произведению длин этих векторов на Cos угла между ними т.еa*b=|a|*|b|*Cosα, где α угол между a,b.
Свойства:
1)Скалярное произведение коммутативно a*b=b*a.
2)Ненулевые векторы a и b перпендикулярны (ортогональны) друг к другу  их скалярное произведение = 0.
3)(a+b)*c=a*c+b*c
4)(k*a)*b=k*(a*b)=a*(k*b)
5)Скалярное произведение вектора а т.е. a*a=a²=|a|*|a|*Cos0 = |a|² =>|a|=sqrt(a*a).
ТеоремаЕсли a=(Ax,Ay,Az) b=(Bx,By,Bz) то a*b=Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz.
Д. заменить разложением по ортам.
Следствие 1 a=(Ax,Ay,Az) b=(Bx,By,Bz) то соsа между ними вычисляется по формуле соsа=(ахвх+анвн+фзвз)/(sqrt(ax^2+ay^2+az^2)sqrt(bx^2+by^2+bz^2)).










4.Векторное произведение векторов.
Определение три некомпланарных вектора a,b,c взятые в указанном порядке правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от перового вектора а ко второму вектору b виден совершающейся против часовой стрелки, если же указанный поворот осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов называется левой тройкой.
Определение векторным произведением называется вектор с, который удовлетворяет следующим 3 условиям:
1)c ортогонален a, c ортогонален b.
2)a,b,c правая тройка.
3)|c|=|a|*|b|*Sinα, α-угол между a и b.
Свойства векторного пространства:
1)a*a=0.
2)a||ba*b=0.
3)a*b=-(b*a).
4)(a+b)*c=a*c+b*c.
i j k
Ax Ay Az
Bx By Bz
5)(k*a)*b=k*(a*b)=a*(k*b).
Ay Az
By Bz
ТеоремаЕсли a=(Ax,Ay,Az) b=(Bx,By,Bz) => a*b= =i* -

Ax Az
Bx Bz
Ax Ay
Bx By
-j* + k*


Д. Заменим разложение векторов а и в по ортам координатных осей.


5.Смешаное произведение векторов.
Рассмотрим произведение 3 векторов a,b,cсоставленная следующим образом (a*b)*c. Очевидно что такое произведение является числом и называется смешанным произведением векторов a,b,c.
Геометрический смысл смешанного произведения состоит в том, что произведение (a*b)*c=V параллелепипеда построенному на векторах a,b,c и взято со знаком + если 3 вектора правая тройка и со знаком – если 3 вектора левая тройка. Объем треугольной пирамиды равен 1/6 * |abc|.
Свойства смешанного пространства:
1) Смешанное произведение не меняется при циклической перестановки сомножителей т.е. (a*b)*c=a→b→c=(c*a)*b=(b*c)*a.
2) Смешанное произведение не меняется, если поменять знаки произведения т.е. (aхb)*c=a*(bхc).
3) Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов сомножителей т.е. a*b*c=-b*a*c=-c*b*a.
4) Смешанное произведение ненулевых векторов равно 0  они компланарны.
Ax Ay Az
Bx By Bz
Cx Cy Cz
ТеоремаЕсли a=(Ax,Ay,Az) b=(Bx,By,Bz) c=(Cx,Cy,Cz) => a*b*c=