Дифференциальные уравнения и передаточные функции

Дифференциальные уравнения и передаточные функции линейных систем.

Исходным математическим описанием (МО) системы часто является совокупность уравнений описывающих элементы системы и связи между ними.
В теории АУ используется понятие звена, под которым понимают какой-либо физический элемент системы, либо формально выделенную часть её математической модели, для которой указаны входные и выходная величина. Звено преобразует входные переменные в выходную переменную.
(ДС) – динамическая система определена как математический объект, для которого указаны входные и выходные переменные и существует однонаправленная причинно-следственная связь, это означает, что:
1. выход (следствие) не может появиться раньше (причина).
2. Текущие значения не зависят от будущих.
3. не могут быть изменены в последующей динамической системе.

Математическое описание (ДС) в виде связи входных и выходных переменных называется моделью “вхож выход”. К этим моделям относятся:
1. Передаточные функции
2. Операторная передаточная функция
3. Коэффициент передачи
4. Частотные характеристики
5. Временные характеристики:
• Переходная
• Весовая функция
6. Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение линейной непрерывной системы n-го порядка.

(4.1)
n,m – натуральные числа, причём (условие реализуемости); на практике почти всегда (условие строгой реализуемости).
Введём оператор дифференцирования:
; (4.2)
Тогда
Перепишем (4.1) с учётом (4.2)
(4.3)
где полиномы от
Назовём функцию (4.4)
такую, что (4.5)
операторной передаточной функцией (ОПФ).
Выражения (4.4) и (4.5) образуют сокращенную запись дифференциального уравнения (4.3). Эта запись является условной, т.к. не определено, что понимать под операцией деления на операторный полином.
Уравнение (4.1) по Лапласу при нулевых начальных условиях (ННУ)
,
полином от , то , поэтому из (4.1) получаем:
(4.6)
Тогда передаточная функция:
(4.7)
равна (4.8)
Из сравнения (4.4) и (4.8) получаем (4.9)
Вывод: Передаточная функция может быть найдена по ОПФ при помощи формальной замены на . В дальнейшем будем использовать универсальную форму записи