Формулы по математике (шпора на 1 листе)

Формулы сокращенного умножения и разложения на множители:
(a±b)2=a2±2ab+b2
(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
a2-b2=(a+b)(a-b)
a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)
xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+aІxn-3+...+an-1)
ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
где x1 и — корни уравнения
ax2+bx+c=0
Степени и корни:
am•an = am+n
am:an=a m-n
(am)n=a mn
am /bm = (a/b)m
ambm = abm
a0=1; a1=a
a-m = 1/am
m√a =b => bm=a
m√am√b = m√ab
√a≥ 0
m√(√(n&a)) = mn√a; mk√(a^nk ) = m√(a^n )
√(m&a/b)=√(m&a)/√(m&b); a1/m =m√a; m√(a^n )=am/n
Квадратное уравнение
ax2+bx+c=0; (a0)
x1,2= (-bD)/2a; D=b2 -4ac
D>0 x1x2 ;D=0 x1=x2
D<0, корней нет.
Теорема Виета:
x1+x2 = -b/a
x1 x2 = c/a Приведенное кв. Уравнение:
x2 + px+q =0
x1+x2 = -p
x1x2 = q
Если p=2k (p-четн.)
и x2+2kx+q=0, то x1,2 = -k(k2-q)
Логарифмы:
loga x = b => ab = x; a>0,a0
a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0
loga x = b; x=ab
loga b = 1/(log b a)
logaxy = logax + loga y
loga x/y = loga x - loga y
loga xk =k loga x (x >0)
logak x =1/k loga x
loga x = (logc x)/( logca); c>0,c1
Прогрессии:
Арифметическая
an = an-1 +d
2an= an-1 + an+1
an = a1 + d(n-1)
Sn = n(a1 + an )/2
Sn = (a1+d(n-1))n/2
Sn= a1 + a2 +...+an
Геометрическая
bn = bn-1  q
b2n = bn-1 bn+1
bn = b1qn-1
Sn= (bnq- b1)/(q-1)
Sn = b1 (qn-1)/(q-1)
S= b1/(1-q) Тригонометрия.
sin x = a/c; cos x = b/c
tg x = a/b=sinx/cos x
ctg x = b/a = cos x/sin x
sin (-) = sin 
sin (/2 -) = cos 
cos (/2 -) = sin 
cos ( + 2k) = cos 
sin ( + 2k) = sin 
tg ( + k) = tg 
ctg ( + k) = ctg 
sin2  + cos2  =1
tg  = cos / sin ,   n, nZ
tg  ctg = 1,   (n)/2, nZ
1+tg2 = 1/cos2 , (2n+1)/2
1+ ctg2 =1/sin2 ,  n
Формулы сложения:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )
x, y, x + y  /2 + n
tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)
x, y, x - y  /2 + n
Формулы двойного аргумента.
sin 2 = 2sin  cos 
cos 2 = cos2 - sin2 = 2cos2 -1= = 1-2 sin2
tg 2 = (2 tg)/ (1-tg2) 1+ cos  = 2 cos2 /2
1-cos = 2 sin2 /2
tg = (2 tg (/2))/(1-tg2(/2))
Ф-лы половинного аргумента.
sin2 /2 = (1 - cos )/2
cos2 /2 = (1 + cos)/2
tg /2 = sin/(1 + cos ) =
=(1-cos )/sin 
  + 2n, n Z
Ф-лы преобразования ‘+’ в ‘*’
sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)
sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2
cosx - cosy=-2sin(x+y)/2sin (x-y)/2
tg⁡x+tg⁡y=sin⁡〖(x+y)〗/(cos⁡x cos⁡y )
tg⁡x-tg⁡y=sin⁡〖(x-y)〗/(cos⁡x cos⁡y )
Формулы преобр. произв. в сумму
sin x sin y=(cos (x-y) - cos (x+y))/2
cosx cosy = (cos (x-y)+ cos (x+y))/2
sin x cos y = (sin (x-y)+ sin (x+y))/2
Соотнош. между ф-ями
sin⁡x=(2 tg⁡〖((x)⁄2〗))/〖1+tg^2〗⁡〖(x⁄(2))〗
cos⁡x=(1-tg^2⁡〖((x)⁄2〗))/〖1+tg^2〗⁡〖(x⁄(2))〗
tg⁡x=(2 tg⁡〖((x)⁄2〗))/〖1-tg^2〗⁡〖(x⁄(2))〗 Тригонометрические уравнения:
sin x = m ; |m| = 1
x = (-1)n arcsin m + k, k Z
sin x =1 ; sin x = 0
x = /2 + 2k ; x = k
sin x = -1: x = -/2 + 2 k
cos x = m; |m| = 1
x =  arccos m + 2k
cos x = 1 ; cos x = 0
x = 2k ; x = /2+k
cos x = -1: x = + 2k
tg x = m
x = arctg m + k
ctg x = m
x = arcctg m +k
Производные:
(С)’=0; (x^n )^=nx^(n-1)
(√x)^=1⁄(2√x)
(a^x )^=a^x ln a
(ln⁡x )^=1⁄x
(〖log〗_a⁡x )^=1⁄(x ln⁡a )
(sin⁡x )^=cos⁡x
(cos⁡x )^=-sin⁡x
(tg ax)^=a/(〖cos〗^2 ax)
(ctg ax)^=-a/(〖sin〗^2 ax)
(arcsin ax)^=a/√(1-a^2 x^2 )
(arccos ax)^=-a/√(1-a^2 x^2 )
(arctg ax)^=a/(1+a^2 x^2 )
(arcctg ax)^=-a/(1+a^2 x^2 ) Геометрия
Треугольники

 +  +  =180
Теорема косинусов:
c2= a2 + b2 - 2ab cos 
Теорема синусов:
a⁄sin⁡α =b⁄sin⁡β =c⁄sin⁡γ =2R
Медиана дели треуг. на два равновеликих.
Формула Герона :
p=Ѕ(a+b+c)
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c) )
S =1/2 ab sin 
Sравн.=(a2√3)/4
S = ah/2
S=abc/4R
S=pr
Трапеция.
S = (a+b)/2 h
Круг
S= R2
Sсектора=(R2)/360

Стереометрия
Параллепипед
V=SоснР; V=abc (прямоуг.)
Пирамида
V =1/3Sосн.H
Sполн.= Sбок.+ Sосн.
Усеченная :
V=H/3 (S1+S2+√(S_1 S_2 )), (S1иS2-Sосн.)
Sполн.=Sбок.+S1+S2
Конус
V=1/3 R2H
Sбок. =RL; Sполн.= R(R+L)
Усеченный
Sбок.= L(R1+R2)
V=1/3H(R12+R1R2+R22)
Призма
V=Sосн.H; прямая: Sбок.=Pосн.H
Sполн.=Sбок+2Sосн.
наклонная: Sбок.=Pпсa
V = Sпсa, а -бок. ребро.
Pпс - Pсеч.; Sпс - пл.⊥ сечения
Цилиндр.
V=R2H ; Sбок.= 2RH
Sполн.=2R(H+R)
Sбок.= 2RH
Сфера и шар .
V = 4/3 R3-шар; S = 4R3 - сфера
Шаровой сектор
V = 2/3 R3H; H - высота сегм.
Шаровой сегмент
V=H2(R-H/3); S=2RH