Відрізок

Відрізок — частина прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, котрі лежать між двома даними точками, які називаються кінцями відрізка. Відрізок позначається двома велики­ми латинськими літерами, що відповідають кінцям відрізка.

Рівність і нерівність відрізків

Два відрізки вважаються рівними, якщо вони можуть бути суміщені своїми кінцями.

Якщо на даному відрізку взяти дві точки, з яких хоча б одна не збігається з кінцем даного відрізка, то відрізок, обмежений цими точками, називається частиною даного відрізка. Якщо один відрізок дорівнює частині другого, то про ці відрізки кажуть, що перший є меншим, від другого, а другий — більшим від першого.

Відрізок вважається орієнтованим, якщо домовилися про те, де його початок і кінець.

Додавання і віднімання відрізків

Додаванням (відніманням) відрізків називається графічна операція, за допомогою якої на деякій прямій можна побудувати відрізок, який є сумою даних відрізків — доданків (або відрізок — різниця відрізків зменшуваного і від’ємника).

Додавання відрізків слід відрізняти від додавання довжин відрізків.

Сумою двох або декількох відрізків називається відрізок, побудо­ваний на деякій прямій за даними відрізками без їх взаємного накладання, і без проміжків між ними.

Сума відрізків має переставну і сполучну властивості.

Різницею двох відрізків називається такий третій відрізок, який в сумі з меншим відрізком дорівнює більшому відрізку.

Приклад 1.

Знайти (побудувати) відрізок АВ + NМ + PQ, де АВ, NM і PQ — дані відрізки.

Розв’язання.

На довільній прямій від довільної точки К відкладаємо в будь-яку сторону один з даних відрізків АВ, NМ або PQ. Далі на цій же прямій відкладаємо будь-який з відрізків, що залишились, так, щоб один з його кінців сумістився з яким-небудь кінцем відкладеного відрізка, але без накладання цих відрізків. Те ж саме робимо з дальшим відрізком.

Множення і ділення відрізків на число

Помножити відрізок на ціле додатне число n — значить знайти суму n таких відрізків. Одержаний в результаті відрізок буде відрізком — добутком.

Поділити відрізок на ціле додатне число n — значить знайти такий відрізок, після множення якого на число n одержимо даний відрізок.

Помножити відрізок на додатний раціональний дріб m/n — значить помножити цей відрізок на число m і одержаний відрізок поділити на n частин.

Можна також виконати спочатку ділення на n, а потім множення на m.

Для швидкої побудови відрізків виду a • m/n за даним відрізком a існує спеціальний прилад — пропорціональний (подільний) циркуль. Цей прилад складається з двох рівних за довжиною ніжок з про­різами, які дають можливість змінювати довжину ніжок, коли ослаблено скріплюючий гвинт (рис. 1).

Рис.1. Пропорціональний (подільний) циркуль.

Відношення віддалі між вістрями верхніх ніжок до віддалі між вістрями нижніх ніжок дорівнює відношенню довжини верхніх ніжок до довжини нижніх ніжок. Тому, установивши за шкалою гвинт так, щоб довжини верхніх і нижніх ніжок знаходилися в даному відно­шенні і вимірявши нижніми ніжками даний відрізок, одержуємо шука­ний відрізок як віддаль між кінцями верхніх ніжок.

Особливо зручно користуватися пропорціональним циркулем, коли необхідно змінювати в одному і тому самому відношенні велику кількість відрізків.

Сумірні і несумірні відрізки

Вимірювання відрізків основано на твердженні, яке носить назву аксіоми Архімеда: якщо дано два будь-які відрізки AB і CD (AB > CD),то на прямій ABможна від точки Aвідкласти відрізок CD послідовно стільки разів, що одержуємо відрізок більший або рівний відрізку AB, тобто можна знайти таке ціле число n, що будуть виконані нерівності

n• CD? AB, (n - 1) CD < AB.

Це очевидне твердження не доводиться і прийняте як аксіома.

Спільною мірою двох відрізків називається відрізок, який міститься в кожному з даних ціле число разів (без остачі). Не кожні два відрізки мають спільну міру, наприклад сторона і діагональ квадрата її не мають.

Два відрізки, що мають спільну міру, називаються сумірними, а які її не мають — несумірними.

Довжина відрізка

Виміряти відрізок, сумірний з деяким відрізком, який прийнято за одиницю довжини, значить узнати скільки разів в ньому міститься ця одиниця або яка-небудь частина її. Число, яке одержуємо в результаті вимірювання, називається довжиною відрізка. Таким чином, довжиною відрізка сумірного з одиницею довжини, називається число, на яке треба помножити одиницю довжини, щоб одержати даний відрізок.

Відношення  відрізків

Відношенням двох відрізків називається відношення їх довжин, виміряних за допомогою однієї і тієї самої одиниці довжини. Якщо відрізки AB і CDмають довжини m і n, це записують так: AB/CD = m/n.

Зокрема, відношення відрізка до одиниці довжини вимірювання дорівнює довжині відрізка. Відношення двох відрізків не залежить від одиниці вимірювання.

Рівність двох відношень називається пропорцією. Дві пари відрізків називаються пропорціональними, якщо відношення відрізків однієї пари дорівнює відношенню відрізків другої пари.

Відрізок a називається середнім пропорціональним відрізків b і c, якщо a/b = c/a.

Приклад 2.

Відрізок довжиною 24 смподілено на три рівні частини. Знайти віддаль між серединами першої і третьої частин.

Розв’язання.

Віддаль між серединами першої і третьої частин буде дорівнювати довжині відрізка без суми довжин двох половин третьої частини всього відрізка, тобто дорівнює довжині всього від­різка без його третьої частини. Отже, віддаль між вказаними серединами дорівнює

24 см - 24/3 см = 16 см.

Приклад 3.

За даною різницею двох відрізків і меншому з них побудувати більший відрізок.

Розв’язання.

Шуканий відрізок знаходиться як сума даної різниці і даного меншого відрізка.