Шпаргалки по алгебре (11 класс)

Производная

геометрический смысл: тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент касательной прямой )

физический смысл: скорость изменения функции

пр:

скорость - производная от координаты по времени, ускорение - производная от скорости по времени

производная (функция): функция, которая в каждой точке равна значению производной от «первообразной» функциив этой точке

дифференцирование- нахождение производной

правила дифференцирования:

можно пользоваться таблицей производных

пр:

уравнение касательнойк функциив точке

приближенные вычисления

пр:

Интеграл

интегрирование - нахождение функции (первообразной) по ее производной

правила интегрирования:

можно пользоваться таблицей интегралов

пр:

пр:

пр:

формула интегрирования по частям:

пр:

определенный интеграл (формула Ньютона-

площадь фигуры между графиками функций:

если

физический смысл интеграла:сумма

пр:

перемещение - интеграл от скорости,

работа - интеграл от силы

свойства определенного интеграла:

таблица производных и интегралов

предел функции в точке (или на бесконечности) - величина, к которой стремится значение функции, когда аргумент стремится к этой точке (слева или справа)

пр:

«замечательные» пределы:

Равносильностьуравнений и неравенств

с модулем

распадающиеся, дробные

сокращение

иррациональные

показательные

логарифмические

равносильные уравнения/неравенства/системы - имеют одинаковые множества корней

использование формул (свойств корней, логарифмов, тригонометрических функций) может привести к неравносильным преобразованиям

Исследование функций

1. область определения, непрерывность

- значения аргумента, для которых функция определена (выражение имеет смысл)

2. четность/нечетность, периодичность

3. точки пересечения с осями, промежутки знакопостоянства

точка пересечения с осью y:

точки пересечения с осью x: (нули функции)

4. критические точки,промежутки возрастания/убывания

   не опр. или имеет разрыв пр:
   не опр.	критическая точка пр:
   	критическая точка пр: точка экстремума, если меняет знак
   	промежуток возрастания пр:
   	промежуток убывания пр:

5. точки перегиба, промежутки выпуклости/вогнутости

   не опр.или и меняет знак	точка перегиба (меняется выпуклость/вогнутость) пр:
   	промежуток вогнутости пр:
   	промежуток выпуклости пр:

6. область значений, ограниченность сверху/снизу, экстремумы

- множество значений, которые может принимать функция

нахождение минимума/максимума функции: сравнить значения функции в критических точках и на границах области определения, в точках разрыва

7. асимптоты (прямые, к которым стремится функция)

   вертикальные
   горизонтальные
   наклонные

8. график(для более точного построения можно найти значения функции в некоторых точках)

Преобразования графиков функций