Тригонометрические функции

Тригонометрические функции

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (τριγωνον - треугольник, а μετρεω- измеряю).

В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

Возникновение  тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.

Впервые способы решения треугольников, основанные на изависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н .э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Пожднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский  астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Теорему тангенсов доказал Региомонтан (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476)). Региомонтан составил также плдробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Постепенно тригонометрия органически вошла в математический анализ, механику, физику и технические дисциплины.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII в. Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греч. γωνια - угол,  μετρεω- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.

Изучение свойств тригонометрических функций и зависимостей между ними отнесено к школьному курсу алгебры, а решение треугольников – к курсу геометрии.

Тригонометрические функции острого угла

В прямоугольном треугольнике, имеющем данный угол α, отношения сторон не зависят от размеров треугольника. Рассмотрим два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1 (рис.1), имеющих равные углы ∠А=∠А1 =α. Из подобия этих треугольников имеем:

Если величину угла α измерить, то написанные равенства остаются справедливыми, а измениться

лишь числовое значение отношений                и т.д. Поэтому отношения                

можно рассматривать как функции угла α.

Рис.1.

Синусом острого угла называется отношение противоположного этому углукатета к гипотенузе. Обозначают это так:

sinα=

Значения тригонометрических функций (отношений отрезков) являются отвлеченными числами.

Приближенные значения тригонометрических функций острого угла можно найти непосредственно согласно их определениям. Построив прямоугольный треугольник с острым углом α и измерив его стороны, согласно определениям мы можемвычислить значение, например, sinα.

Пользуясь тем, что значения тригонометрических функций не зависят от размеров треугольника, для вычисления значений sin углов α=30°; 45°; 60° рассмотрим прямоугольный треугольник с углом α=30°; и катетом ВС=a=1, тогда гипотенуза этого треугольника с=2, а второй катет b=√3; рассмотрим также треугольник с углом α=45° и катетом a=1, тогда для этого треугольника c=√2 и b=1.

Полученные результаты запишем в таблицу.

Рис.2.

Приближенные значения тригонометрических функций для углов от 0° до 90° можно получить построив четверть круга, радиус которогопримем за 1, и его дугу разделимна 45 равных частей. Тогда градусная мера каждой части будет равна 2°.

90° N

  0,79

               а

А        b        С 0,62                0° M                         Рис.3.

Радиусы АМ и АN разделим на 100 равных частей. Построим прямоугольный треугольник с вершиной в центре круга и катетом совпадающим с радиусом АМ и гипотенузой АВ=1. Если угол ВАС=α, то по определению тригонометрических функций мы имеем:

sinα=а

Для угла 52° на шкале радиуса АN находим, что а=0,79, а на шкале радиуса АМ находим, что b=0,62., то есть sin52°=0,79.

Построив прямоугольные треугольники для углов α=2°, 4°, 6°, 8°,…, 88°, согласно рис.3., найдем значения (при аккуратных измерениях и вычислениях) с точностью до 0,01. Для углов 0° и 90° прямоугольных треугольников не существует. Однако, если гипотенуза АВ будет стремиться  по положению к радиусу АМ, то угол α→0, а катеты а→0 и b→1. В таком случае для полноты значений тригонометрических функций принимают, что

sin0°=а=0; cos0°=b=1.

Что касается значений tgα и ctgα, то при α→0 отношение        →0, т.е.                , а отношение          при α→0 неограниченно возрастает. Этот результат записывают как        →∞, где символ ∞ указывает, что величина        неограниченно возрастает и не может быть выражена никаким числом, так как знак ? не является каким-либо числом. Таким образом, принимают, что tg0°=0, а ctg0° не существует, что чаще записывают как ctg0°=?.

Рассуждая аналогично  при α→90° приходим к целесообразности принять что

sin90°=1; cos90°=0, tg90° не существует (tg90°→?) и ctg90°=0.

Приведем таблицу значений синусов для углов от 0° до 90° с шагом 2°, которую можно получить указанным выше способом.

Пользуясь значениями тригонометрической функции y=sinx из таблицы, построим график.

y

1

0            30°        60°        90°        x

               Рис.4.

Основные соотношения между тригонометрическими функциями острого угла

Для прямоугольного треугольника в соответствии с теоремой Пифагора

a2+b2=c2

или

По определению                                тогда

                                                                       (1)

Легко также найти следующие зависимости

                                                                       (2)

                                                                       (3)

                                                                       (4)

                                                                       (5)

Из соотношений (1)-(5), которые называют основными, можно вывести и другие вспомогательные соотношения, например:

                                                                       (6)

                                                                       (7)

                                                                       (8)

Соотношения (1)-(8) связывают все тригонометрические

функции так, что по значению одной из них для данного острого угла можно найти значения всех остальных функций для этого же угла.

Тригонометрические функции произвольного угла

Пусть в прямоугольной системе координат x0y задан радиус-вектор                образующий с положительным направлением оси 0x угол α. Будем считать, что ось 0x – начальная сторона, а вектор            - конечная сторона угла α. Проекция вектора  на координатные оси соответственно обозначим ax и ay.

Можно показать, что отношения                 где а – длина вектора    , зависят только от

величины угла α и не зависят от длины вектора    . Поэтому эти отношения можно рассматривать как функции произвольного угла α.

Синусом угла α,образованного осью 0x и произвольным радиусом-вектором       , называется отношение проекции этого вектора на ось 0y к его длине:

               y

A

                                x        

       Рис. 6.

Если не указано сколько оборотов совершил вектор вокруг точки 0, то положение вектора определяет угол с точностью до целого оборота, т.е углу с начальной стороной 0x и конечной стороной       соответствует бесчисленное множество углов, которые выражаются формулой

360°•n+α, где n=0; ±1; ±2; ±3; ±4; …

 и sin(α+360°• n)=sinα

Длина радиуса-вектора всегда число положительное. Проекция его на координатные оси величины алгебраические и в зависимости от координатных четвертей имеют следующие знаки:

В I четверти ax>0; ay>0;

Во II четверти ax<0; ay>0;

В III четверти ax<0; ay <0;

В IV четверти ax>0; ay<0/

График функции y=sinx

До сих пор аргументами тригонометрических функций рассматривались именованные величины – углы (дуги), измеренные в градусах или радианах. Значения тригонометрических функций, как отношения отрезков, являются абстрактными величинами (числами). При изучении свойств тригонометрических функций приходится сравнивать изменения функции в связи с изменениями аргумента, а сравнивать можно только однородные или, что еще лучше, абстрактные величины.

Кроме того, введение тригонометрических функций от абстрактного аргумента дает возможность применять эти функции в различных вопросах математики, физики, техники и т.д.

Вместо именованного значения аргумента тригонометрических функций в x (радианов) будем рассматривать абстрактное число                где r обозначает радианы, ии по определению принять что

 sinx, где x – абстрактное число, равен sinx, где x измерен в радианах.

Тригонометрические функции являются периодическими, то есть существует число а, отличное от 0, такое, что при любом целом nтождественно выполняется равенство:

f(x+na)=f(x), n=0; ±1; ±2 ...

Число а называется периодом функции. Период функции sinx равен 2π. Для нее имеет место формула:

sin(x+2πn)= sinx, где n=0; ±1; ±2 ...

График функции y=sinx называют синусоидой. Для построения графика можно взять значения аргумента x с определенным интервалом и составить таблицу значений y=sinx, соответствующих выбранным значениям x, а затем по точкам, как это часто делается в алгебре, построить график.

Строим в системе координат x101y1 единичную окружность R=1 с центром 01 на оси абсцисс x1. Дугу этой окружности начиная от точки                 начиная от точки оси абсцисс x1 =+1, делим на n равных частей:                                                

Затем строим вторую систему координат x0y, ось которой 0x совпадает с осью 01 x1 , но сначало координат 01(x1 =0) и 0(x=0) у етих систем различные. В новой системе координат отрезок оси абсцисс от x=0 до x=2π делим на n равных частей:                        Из точек деления окружности проводим прямые параллельные оси 0x, а из точек деления отрезка [0, 2π] проводим прямые, перпендикулярные этой осм. Точки пересечения соответствующих прямых будут точками графика y=sinx, так как ординаты этихточек равны значениям синуса, соответствующим значениям аргумента в точках деления отрезка [0,  2π].

                                                                               Рис.8.

Некоторые свойства функции y=sinx

1. Непрерывность.

Функция y=sinx существует при всех действительных значения x, причем, график ее является сплошной кривой линией (без разрывов), т.е. функция sinx непрерывна.

2. Четность, нечетность.

Функция y=sinx нечетная и ее график симметричный относительно начала координат.

3. Наибольшие и наименьшие значения.

Все возможные значения функции sinx ограничены неравенствами

-1≤ sinx ≤+1,

причем sinx=+1, если

и sinx=-1, если

4.Нулевые значения (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).

sinx=0, если x=πn (n=0; ±1; ±2;…).

5. Интервалы возрастания и убывания.

Функция  возрастает, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции на интервалах

                                       (n=0; ±1; ±2;…).        

И убывает, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции на интервалах

                                       (n=0; ±1; ±2;…).