Магический квадрат

МОУ СОШ Города Ермолино.


Магический квадрат.










Выполнили:



Содержание.

1. Описание.
2. Исторически значимые магические квадраты.
2.1 Квадрат Ло Шу.
2.2 Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия).
2.3 Магический квадрат Ян Хуэя (Китай).
3. Квадраты с дополнительными свойствами.
3.1 Дьявольский магический квадрат.
4. Построение магических квадратов.
4.1 Метод террас.
4.2 Прочие способы.
5. Вывод.





Описание
Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от 1 до n2. Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n2 + 1.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой


Квадрат Ло Шу.
Ло Шу-Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200г. до н.э.






Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия).


Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо.





Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов
Магический квадрат Ян Хуэя (Китай).
В 13 в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем посл едний оказался почти ассоциативным.


Дьявольский магический квадрат
Дьявольский квадрат или пандиагональный квадрат — магический квадрат, в котором совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям в обоих направлениях.
1 12 7 14
8 13 2 11
10 3 16 5
15 6 9 4
1 8 11 14
12 13 2 7
6 3 16 9
15 10 5 4






1 8 13 12
14 11 2 7
4 5 16 9
15 10 3 6




Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений.
Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка или для любого порядка двойной чётности но не существуют для порядка одинарной чётности.
Пандиагональных квадратов пятого порядка 3600. С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов.







Если пандиагональный квадрат еще и ассоциативный, то он носит название идеальный.






Метод террас

Для заданного нечетного n начертим квадратную таблицу размером nxn. Пристроим к этой таблице со всех четырех сторон террасы (пирамидки). В результате получим ступенчатую симметричную фигуру.

Y
4 5
3 4 10
2 3 9 15
1 2 8 14 20
0 1 7 13 19 25
-1 6 12 18 24
-2 11 17 23
-3 16 22
-4 21
.
X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

После этого для получения классической матрицы N-го порядка числа, находящиеся в террасах, поставим на те места таблицы размером NxN, в которых они оказались бы, если перемещать их вместе с террасами до того момента, пока основания террас не примкнут к противоположной стороне таблицы.

3 16 9 22 15
20 8 21 14 2
7 25 13 1 19
24 12 5 18 6
11 4 17 10 23





Прочие способы.

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы. Найти все магические квадраты порядка n удается только для nle 4, поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при n>4. Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка.