Составление и решение систем линейных уравнений при расчете электрических цепей по правилу Кирхгофа

Реферат
по дисциплине
Элементы высшей математики

Составление и решение систем линейных уравнений при расчете электрических цепей по правилу Кирхгофа


Выполнил:
Проверил:





Иркутск, 2014
 
Введение
Правила Кирхгофа — соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи. Правила Кирхгофа позволяют рассчитывать любые электрические цепи постоянного, переменного и квазистационарного тока. Имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения многих задач в теории электрических цепей и практических расчётов сложных электрических цепей. Применение правил Кирхгофа к линейной электрической цепи позволяет получить систему линейных уравнений относительно токов или напряжений, и соответственно, найти значение токов на всех ветвях цепи и все межузловые напряжения. Сформулированы Густавом Кирхгофом в 1845 году. Название «Правила» корректнее потому, что эти правила не являются фундаментальными законами природы, а вытекают из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля (третье уравнение Максвелла при неизменном магнитном поле). Эти правила не следует путать с ещё двумя законами Кирхгофа в химии и физике. Данный закон применим к любому узлу электрической цепи.
Для формулировки правил Кирхгофа вводятся понятия узел, ветвь и контур электрической цепи.
Ветвью называют любой двухполюсник, входящий в цепь, например, на рис. отрезок, обозначенный R1, I1 есть ветвь. Узлом называют точку соединения трех и более ветвей (на рис. обозначены жирными точками). Контур — замкнутый цикл из ветвей. Термин замкнутый цикл означает, что, начав с некоторого узла цепи и однократно пройдя по нескольким ветвям и узлам, можно вернуться в исходный узел. Ветви и узлы, проходимые при таком обходе, принято называть принадлежащими данному контуру. При этом нужно иметь в виду, что ветвь и узел могут принадлежать одновременно нескольким контурам.
Значение: Правила Кирхгофа позволяют однозначно и полно рассчитать любую электрическую цепь. Широкое применение этих правил объясняются тем, что систему уравнений цепи по ним достаточно легко составить и решить, применяя стандартные способы линейной алгебры, такие, как метод Гаусса или метод Крамера. Теперь вы знакомы с правилами Кигхгофа.
Правила записи системы уравнений цепи
Для цепи из p узлов необходимо составить p-1 уравнений токов. Для цепи из m ветвей (в mi из которых есть источники тока) необходимо составить m-mi-(p-1) уравнений напряжений. Все эти уравнения образуют систему линейных уравнений цепи, позволяющую определить все напряжения и токи в цепи. Прежде чем составить уравнения, произвольно выбирают:
Положительное направление тока для каждой ветви. Из нужно обозначить на схеме цепи.
Положительное направление обхода каждого контура. Для простоты рекомендуют выбирать для всех контуров одно направление.
Если направление тока совпадает с направлением обхода контура (которое выбирается произвольно), падение напряжения считается положительным, в противном случае — отрицательным.
При записи уравнений напряжений нужно стараться выбирать контуры так, чтобы в каждом новом контуре была хотя бы одна ветвь, не входящая в контуры, для которых уже написаны уравнения. Для сложных цепей, в которых трудно обнаружить все узлы и контуры, прибегают к теории графов для подсчета числа независимых контуров.
При записи линейно независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону (достаточное, но не необходимое условие).
В сложных непланарных графах электрических цепей человеку трудно увидеть независимые контуры и узлы, каждый независимый контур (узел) при составлении системы уравнений порождает ещё 1 линейное уравнение в определяющей задачу системе линейных уравнений. Подсчёт количества независимых контуров и их явное указание в конкретном графе развит в теории графов.


На рисунке изображена схема сложной электрической цепи, содержащей 4 узла и 6 ветвей (k=4, l=6). Для расчета цепи необходимо составить систему из 6 линейных уравнений. Предварительно выберем направления токов в каждой из ветвей. По первому закону Кирхгофа составляем 3 уравнения (k-1=4-1=3), например, для узлов A, B и C. Вместо любого из этих узлов для составления уравнения можно взять узел D, на результат расчетов это не повлияет. Оставшиеся 3 уравнения (l-k+1-m=6-4+1-0=3) придется составлять по второму закону Кирхгофа.
 
Решение системы уравнения по правилу Кирхгофа

Полученные уравнения объединяем в систему уравнений. Количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных. Далее решаем систему уравнений любым известным способом.


Для умножения нам необходимо сначала найти обратную матрицу A, она равняется:

Умножаем A-1*B, получаем ответ:

Получаем ответ: I1 = 20 mA; I2 = 10 mA; I3 = 10 mA; I4 = -30 mA; I5 = 40 mA
 
Список использованной литературы
1. Википедия — свободная энциклопедия (http://ru.wikipedia.org/)
2. Электротехника решение задач (http://toe.ho.ua/)