Министерство образования и науки Российской Федерации
Кубанский государственный технологический университет
Кафедра прикладной математики
МАТЕМАТИКА: ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
И ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения
первого курса экономических специальностей МИППС
Краснодар
2010
Составители: канд. техн. наук, доцент Л.М. Данович;
ст. преп. О.В. Коренева;
ст. преп. А.А. Хромых;
ст. преп. О.В. Пергун
УДК 512.642+514.12(07)
МАТЕМАТИКА: ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ: методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения первого курса экономических специальностей МИППС / Сост.: Л.М. Данович, О.В. Коренева, А.А. Хромых, О.В. Пергун: Кубан. гос. технол. ун-т. Каф. прикладной математики. – Краснодар.: Изд. КубГТУ, 2010 – 55 с.
Изложена программа дисциплины; приведен краткий теоретический материал в рамках программы курса. Предложены варианты контрольных индивидуальных заданий для самостоятельного решения, а также примеры выполнения; даны требования к оформлению контрольных работ и рекомендуемая литература.
Печатается по решению методического совета Кубанского государственного технологического университета.
Рецензенты: канд. техн. наук, доц. кафедры ПМ КубГТУ Н. А. Наумова;
зав. кафедрой математики и информатики КВВУЛ канд. физ.-
мат. наук, доцент В. В. Жучкова
© КубГТУ, 2010
Содержание
Введение
1. Программа дисциплины ..………………………………………….. 4
Тема 1. Теория вероятностей ………………………………………….. 4
Тема 2. Элементы математической статистики ……………………… 12
Тема 3. Линейное программирование ………………………………... 14
2. Задания к контрольной работе …………………………………..…. 37
3. Содержание и оформление контрольной работы…………………. 54
4. Вопросы для подготовки к экзамену (зачету)……………………... 54
Список литературы ………………………………………………….... 56
Введение
В процессе изучения курса «Математика: элементы теории вероятностей, математической статистики и линейного программирования» студент должен знать математические методы и их применение:
в теории вероятностей и математической статистике;
в линейном программировании.
Приобрести знания, умения и выработать навыки в соответствии со следующими требованиями:
знать основные элементы теории вероятностей – случайные события и величины, операции над ними;
знать основные понятия и формулы математической статистики;
знать алгоритмы решения задач линейного программирования.
1 Программа дисциплины
Тема 1. Теория вероятностей
Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и операции над ними. Полная группа случайных событий. Определение вероятности. Комбинаторика.
Свойства вероятностей. Теорема сложения. Статистическое определение вероятности. Условная вероятность. Теорема умножения. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Схема Бернулли повторных испытаний, наивероятнейшее число появлений событий. Локальная и интегральная предельные теоремы и их применение.
Тема 2. Элементы математической статистики
Основные понятия. Генеральная и выборочная совокупности. Оценки параметров распределения выборки, методы их получения.
Тема 3. Линейное программирование
Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. Постановка задачи линейного программирования (ЗЛП). Графический способ решения ЗЛП. Алгоритм решения ЗЛП симплекс-методом. Транспортная задача.
Тема 1. Теория вероятностей
Элементы комбинаторики
Комбинаторика – наука, изучающая количества комбинаций, подчиненных определенным условиям.
Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающихся только порядком их следования. Число всех перестановок без повторений равно
Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в число один раз?
Решение. .
Ответ: 6 чисел (123, 213, 231, 132, 312, 321).
Размещениями называются комбинации, составленные из элементов по элементов в каждой, которые отличаются либо составом, либо их порядком.
Число всех размещений без повторений равно
.
Пример 2. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если каждая цифра входит в изображение числа один раз?
Решение. .
Ответ: 12 чисел (12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43).
Сочетаниями называются комбинации, составленные из элементов по элементов в каждой, которые отличаются только составом.
Число всех сочетаний без повторений равно
.
Пример 3. Сколькими способами можно выбрать две цифры из четырех?
Решение. (первая и вторая, первая и третья, первая и четвертая, вторая и третья, вторая и четвертая, третья и четвертая).
Ответ: шестью способами.
Правило суммы. Если множество можно выбрать n способами, а множество – способами, то множество «либо , либо » можно выбрать способами.
Пример 4. Если в комнате находятся два кресла и три стула, то вошедший может присесть 2 + 3 = 5 способами: либо на первое кресло, либо на второе, либо на первый стул, либо на второй, либо на третий.
Правило произведения. Если множество можно выбрать n способами, а множество – способами, то пара может быть выбрана (nm) способами (одновременное выполнение).
Пример 5. Из Киева до Чернигова можно добраться пароходом, поездом, автобусом или самолетом. Из Чернигова до Ново-Северского пароходом или автобусом. Таким образом, путешествие из Киева до Ново-Северского можно осуществить 4 2 = 8 способами:
пароход
Киев поезд пароход
Чернигов Ново-Северский
автобус автобус
самолет
Случайные события
Классическое определение вероятности
Основными понятиями в теории вероятностей являются понятия события и вероятности события.
Событие – это такой результат эксперимента или наблюдения, который при реализации данного комплекса условий может произойти или не произойти. События будем обозначать буквами , , …
Пример 6. Стрелок стреляет по мишени.
Тогда – «выстрел» – это испытание, а ={попадание} – это событие.
Если событие неизбежно произойдет при любых условиях, то оно называется достоверным. Если событие не может произойти при любых условиях, то его называют невозможным.
Если событие при реализации некоторых условий может произойти, а может не произойти, то оно называется случайным.
Сумма (объединение) двух событий и – это событие , состоящее в наступлении или , или , или и одновременно (хотя бы одного из них). Обозначается .
Произведение (совмещение) двух событий и – это событие , состоящее в наступлении и , и (оба наступают). Обозначается .
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Полной группой событий называется несколько попарно несовместных таких событий, что в результате испытания появится одно и только одно из этих событий (как правило, это всевозможные исходы испытания). Обозначается .
Пример 7. Бросают две монеты.
Тогда множество состоит из трех событий – , , :
= {обе выпали орлом},
= {обе выпали решкой},
= {одна выпала орлом, а другая – решкой}.
Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными. Обозначают и .
Пример 8. Подбрасывают одну монету. Тогда = {выпал орел}, а
= {выпала решка}.
Замечание. Событие – достоверное событие, а событие – невозможное.
Для количественной оценки появления случайного события А вводится понятие вероятности.
Вероятностью события называют отношение числа благоприятных для исходов испытания к общему числу исходов. Если обозначить – число благоприятных для исходов, а – число всевозможных, то
(классическое определение вероятности).
Пример 9. Найти вероятность выпадения «герба» при одном бросании монеты.
Решение. (так как при одном бросании «герб» может выпасть только один раз), а (общее количество исходов испытания).
Значит, .
Ответ: 0,5.
Свойства вероятности:
1. Пусть – достоверное событие, тогда любой исход испытания благоприятен наступлению , т. е. , тогда .
2. – невозможное событие, тогда ни один исход испытания не будет благоприятствующим, т. е. , тогда .
3. – случайное событие, , тогда , т. е. .
4. .
Замечание. Вероятности противоположных событий удобнее обозначать буквами и : , .
Пример 10. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть один черный шар?
Решение. Вообще один шар можно достать 12 способами , а черный шар можно достать 4 способами . Тогда , где ={достали черный шар}.
Ответ: .
Пример 11. В урне 5 белых и 8 черных шаров. Вынули сразу два шара. Какова вероятность того, что оба они белые.
Решение. Число всевозможных исходов испытания равно
(взять 2 из 13),
а число благоприятных для события = {оба шара белые} равно
(взять 2 белых из 5 белых).
Тогда .
Ответ: .
Пример 12. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам отобраны 7 человек. Какова вероятность того, что среди отобранных лиц будут три женщины.
Решение. Число всевозможных исходов испытания равно:
(выбрать 7 человек из 10);
а число благоприятных для А={из 7 отобранных 3
женщины} равно:
(выбрать трех женщин из четырех и четырех мужчин из
шести). Тогда .
Ответ: 0,5.
Теоремы сложения и умножения
Условная вероятность
Теорема 1 (сложения)
Если события и несовместны, то вероятность наступления хотя бы одного из событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
.
Эта теорема обобщается на случай произвольного числа попарно несовместных событий: .
Теорема 2 (сложения)
Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления: .
Событие называется независимым от события , если появление события не зависит от появления события . В противном случае события называются зависимыми.
Условной вероятностью называется вероятность события , вычисленная в предположении, что событие уже произошло.
Теорема 3 (умножения)
Вероятность совместного появления двух событий и равна
(причем неважно, которое из событий считать первым, а которое – вторым).
Если события и независимы, то теорема умножения примет вид:
.
Аналогично теорема умножения распространяется на случай нескольких событий:
для зависимых: ,
для независимых: .
Пример 13. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения первым равна 0,8, а вторым – 0,7.
Решение. Обозначим: А={поражение первым орудием}, В={поражение вторым орудием}. Тогда = 0,8 0,7= 0,56 по теореме умножения для независимых событий.
Ответ: 0,56.
Пример 14. Два орудия произвели залп по цели. Вероятность поражения цели одним из них равна 0,8, а вторым – 0,7. Найти вероятность того, что цель была поражена только одним орудием.
Решение. По условию = 0,8 = 0,2; = 0,7 = 0,3.
Очевидно, что , где ={цель поражена только одним орудием}, ={цель поражена только первым}, ={цель поражена только вторым}. По теореме сложения для несовместных событий . Причем , a – по теореме умножения для независимых событий. Тогда = 0,8 0,3 + 0,2 0,7 = 0,38.
Ответ: 0,38.
Пример 15. Студент разыскивает формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула окажется в первом, втором, третьем справочниках соответственно равны 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула окажется:
1) только в одном справочнике;
2) только в двух справочниках;
3) во всех трех справочниках.
Решение. По условию ;
;
.
1. Пусть ={формула только в одном справочнике}, тогда
=0,6 0,3 0,2 + 0,4 0,7 0,2 + 0,4 0,3 0,8= = 0,188.
2. Пусть ={формула только в двух справочниках}, тогда =0,6 0,7 0,2+0,4 0,7 0,8 + 0,6 0,3 0,8 = =0,452.
3. Пусть ={формула во всех трех справочниках}, тогда
= 0,6 0,7 0,8 = 0,336.
Ответ: 1) 0,188; 2) 0,452; 3) 0,336.
Теорема 4 (вероятность появления хотя бы одного события).
Пусть известны вероятности появления каждого из независимых событий: , , …, , тогда вероятность появления хотя бы одного из них равна , где .
Пример 16. Студент разыскивает формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула окажется в первом, втором, третьем справочниках соответственно равны 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что формула окажется хотя бы в одном справочнике.
Решение. По условию ;
;
.
Пусть ={формула хотя бы в одном справочнике}, тогда
=1 – 0,4 0,3 0,2 = 0,976.
Ответ: 0,976.
Формула полной вероятности. Формула Байеса
Если известно, что событие может произойти вместе с одним из событий (гипотез), образующими полную группу событий, то вероятность события равна
.
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Пример 17. Литье в болванках для дальнейшей обработки поступает из двух цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что одна наудачу взятая болванка не имеет дефектов.
Решение. Введем обозначения: ={болванка без дефектов},
={материал из 1-го цеха},
={материал из 2-го цеха}.
Тогда по условию = 0,7, = 1 - 0,1 = 0,9;
= 0,3, = 1 - 0,2 = 0,8.
Значит, по формуле полной вероятности получаем:
= 0,7 0,9 + 0,3 0,8 = 0,87.
Ответ: 0,87.
Условная вероятность события в предположении, что событие уже произошло, определяется по формуле Байеса:
,
где вычисляют по формуле полной вероятности.
Пример 18. Литье в болванках для дальнейшей обработки поступает из двух цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что наудачу взятая не имеющая дефектов болванка из первого цеха.
Решение. Введем обозначения: ={болванка без дефектов},
={материал из 1-го цеха},
={материал из 2-го цеха}.
Тогда по условию = 0,7, = 1 - 0,1 = 0,9;
= 0,3, = 1 - 0,2 = 0,8.
И значит, по формуле Байеса проверим первую гипотезу: , где вычислили в примере 17.
Ответ: 0,724.
Повторные испытания. Формула Бернулли
Если производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события одна и та же и равна ( ), то вероятность того, что событие появится в этих испытаниях ровно раз можно вычислить по формуле Бернулли:
, где .
Пример 19. Вероятность выиграть по лотерейному билету равна . Найти вероятность выиграть по двум билетам из пяти.
Решение. По условию = , значит = ; = 5, = 2. Тогда по формуле Бернулли получаем
P5(2) = = = 0,1285.
Ответ: 0,1285.
Замечание: если число испытаний n велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. В таких случаях пользуются предельными теоремами Лапласа.
Тема 2. Элементы математической статистики
Основные понятия и определения
Современная статистика разрабатывает планирование эксперимента, занимается последующим анализом и др. Если требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого признака, то на практике не изучают каждый элемент, а случайно отбирают ограниченное число объектов и изучают их.
Выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.
Генеральной называется совокупность объектов, из которых производится выборка.
Объем совокупности – это число объектов этой совокупности.
Наиболее удобно выборку записывать в виде таблицы:
…
…
где наблюдаемые значения называются вариантами (каждое из наблюдалось раз), а указанная последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом, – частоты.
Выборочной средней называется среднее арифметическое значение признака выборки
,
где – объем выборки.
Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения :
,
где – объем выборки.
Выборочное среднее квадратическое отклонение .
Исправленная дисперсия .
Исправленное среднее квадратическое отклонение .
Аналогично теории вероятностей справедлива теорема о формуле для подсчета дисперсии.
Теорема: , где вычисляют по формуле:
.
Для упрощения счета числовых характеристик можно воспользоваться следующими формулами:
, , , , , где с – варианта, имеющая максимальную частоту, h – шаг таблицы, т.е. интервал между соседними вариантами.
Модой называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.
Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.
При этом если , то ,
если , то .
Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки , ,…, , где – варианты выборки, – соответствующие частоты.
Пример 20. По данной выборке решить следующие подзадачи:
1. Получить статистическое распределение выборки;
2. Найти среднюю арифметическую , дисперсию и среднеквадратичное отклонение ;
3. Найти моду и медиану .
1 4 9 10 2 2 2 1 5 7
2 2 1 0 3 5 7 7 5 2
2 10 0 1 7 5 2 5 2 5
7 9 1 1 2 5 3 5 3 5
2 10 1 7 2 5 7 9 1 7
Решение. Составим вариационный ряд:
0 1 2 3 4 5 7 9 10
2 8 12 3 1 10 8 3 3
Объем выборки равен: .
Найдем выборочную среднюю:
.
Найдем выборочную дисперсию:
.
Дисперсия : .
Среднеквадратичное отклонение : .
Мода: . Медиана: .
Тема 3. Линейное программирование
Решение систем методом Жордана–Гаусса
Задание 1. Решить систему линейных уравнений методом Жордана–Гаусса.
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными
,
где – неизвестные, – коэффициент при неизвестном , – свободный член i-го уравнения ( , ).
Все расчеты по методу Жордана–Гаусса будем проводить в таблице.
Алгоритм метода Жордана–Гаусса
1. В таблице записываем свободные члены, матрицу коэффициентов
при неизвестных. Дополняем таблицу контрольным столбцом, элементы
которого получены суммированием элементов строки, т.е. .
…
…
…
…
…
…
…
…
…
… … … … … … … … … …
…
…
…
… … … … … … … … … …
…
…
…
… … … … … … … … … …
…
…
…
2. Во внутренней части таблицы выбираем отличный от нуля
разрешающий элемент, например .
3. Все элементы разрешающей строки (с номером p ) делим на .
4. Остальные элементы разрешающего столбца (с номером )
заменяем нулями.
5. Все остальные элементы, включая и элементы контрольного
столбца, вычисляем по правилу прямоугольника .
6. После заполнения всей таблицы осуществляем контроль: все
новые элементы контрольного столбца должны быть равны сумме всех элементов строки.
Этот процесс продолжается до тех пор, пока все строки не побывают разрешающими.
Замечание
1. Для удобства вычислений обычно выбирают .
2. Если в процессе решения какая-нибудь строка полностью
обнулится, то её вычеркиваем.
3. Если в процессе решения получим строку, у которой все
элементы кроме свободного члена, отличного от нуля, равны нулю, то такая система решения не имеет.
4. Если в разрешающей строке какой-либо элемент равен нулю,
то весь столбец, в котором стоит этот элемент, в новую таблицу переписывается без изменения.
5. Если в разрешающем столбце какой-либо элемент равен нулю,
то строка, в которой стоит этот элемент, в новую таблицу переписывается без изменений.
Переменные, которым соответствуют единичные векторы, называют базисными.
Переменные, которые не входят в базис, называют свободными.
Решения, полученные при приравнивании к нулю свободных переменных, называются базисными.
Те базисные решения, которые не содержат отрицательных переменных ( ) называются опорными.
Теорема
1. Если число базисных переменных равно общему числу переменных системы, то система имеет единственное решение.
2. Если число базисных переменных меньше общего числа переменных системы, то система имеет бесконечное множество решений.
Пример. Решить систему методом Жордана–Гаусса
Решение.
1-й шаг. По данным системы составим таблицу. Выбираем разрешающий элемент , для удобства вычислений берем . Все элементы первой строки делим на этот разрешающий элемент. Все элементы разрешающего столбца , кроме элемента , обнуляем.
Все остальные элементы таблицы вычисляем по правилу прямоугольника.
базис
2 2 -1 1
4
-2 3 2 2 5
1 1 -2 1 1
2 2 -1 1 4
-6 -1
4 0 -3
-1 -1 -1 0 -3
-10 0 7 1 -2
6 1 -4 0 3
5 0 -5
0 0
-3 0 0 1 -2
2 1 0 0 3
-1 0 1 0 0
Записываем полученные данные в таблицу. Осуществляем контроль:
Поскольку элементы контрольного столбца, вычисленные по правилу прямоугольника, равны элементам контрольного столбца, вычисленным суммированием элементов по строке, то полученная таблица составлена верно. Выбранному разрешающему элементу соответствовала переменная , следовательно, переменную записываем в базис. Переходим к следующему шагу.
2-й шаг. Выбираем разрешающий элемент из второй и третьей строчки, для удобства вычислений берем . Все элементы второй строки делим на этот разрешающий элемент. Все элементы разрешающего столбца , кроме элемента , обнуляем. Все остальные элементы таблицы вычисляем по правилу прямоугольника.
Третий столбец в новую таблицу можно переписать без изменений, так как в разрешающей стоке в третьем столбце стоит ноль. Записываем полученные данные в таблицу. Осуществляем контроль:
Поскольку элементы контрольного столбца, вычисленные по правилу прямоугольника, равны элементам контрольного столбца, вычисленные суммированием элементов по строке, то полученная таблица составлена верно. Выбранному разрешающему элементу соответствовала переменная , следовательно, переменную записываем в базис. Переходим к следующему шагу.
3-й шаг. Выбираем разрешающий элемент из третьей строчки, т.к. в этой третьей строке только один элемент отличный от нуля, то в качестве разрешающего элемента выбираем этот элемент . Все элементы третьей строки делим на этот разрешающий элемент. Все элементы разрешающего столбца , кроме элемента , обнуляем. Все остальные элементы таблицы вычисляем по правилу прямоугольника.
Первый, третий и контрольный столбцы в новую таблицу можно переписать без изменений, так как в разрешающей стоке в первом, третьем и контрольном столбцах стоят нули. Записываем полученные данные в таблицу. Осуществляем контроль:
Поскольку элементы контрольного столбца, вычисленные по правилу прямоугольника, равны элементам контрольного столбца, вычисленным суммированием элементов по строке, то полученная таблица составлена верно. Выбранному разрешающему элементу соответствовала переменная , следовательно, переменную записываем в базис.
Поскольку все строки побывали разрешающими и система приведена к единичному базису, то выписываем ответ:
Ответ: .
Графический метод решения задачи линейного программирования
Задание 2. Решить графически задачу линейного программирования.
(неравенства в системе ограничений могут содержать знаки или ).
Так как задача задана в стандартной форме (все ограничения– неравенства), то решение задачи происходит по следующим этапам:
1. Строят три прямые, уравнения которых получаются в результате
замены в ограничениях задачи знаков неравенств на знаки равенств, т. е.
2. Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений
задачи. Для этого в первое, например, неравенство подставляют координаты любой точки, не лежащей на этой прямой . Если координаты этой точки удовлетворяют первому неравенству, то заштриховывают ту полуплоскость, где находится точка, а если нет, то противоположную относительно прямой полуплоскость.
3. Пересечение всех полуплоскостей дает область возможных
решений (ОВР).
4. Из этой области выделяем область допустимых решений (ОДР), т.е.
пересечение области допустимых решений и первой четверти, где и . Таким образом, находим ОДР. Если ОДР пуста, то задача линейного программирования решений не имеет.
5. Строим вектор-градиент целевой функции , равный
.
6. Строим линию уровня , перпендикулярно вектору
градиенту (k -константа).
7. Передвигая линию уровня в направлении вектора , находим
точку «входа» в ОДР – это точка минимума, и точку «выхода» из ОДР – это точка максимума.
8. Определяем координаты точки минимума или максимума (в
зависимости от условия задачи) аналитически и вычисляем значение целевой функции в этой точке.
Пример. Решить задачу линейного программирования графическим методом
Решение. Построим область допустимых решений. Каждое неравенство в системе ограничений заменяем на равенство. В прямоугольной декартовой системе координат строим четыре прямые
Для того чтобы построить прямую, достаточно знать координаты двух точек этой прямой. Прямые зададим таблично.
0 -2
2 0
0 2
-3 0
0 1
2 0
прямая параллельна оси
Построив прямые, определяем полуплоскости, определяемые данными неравенствами.
Так как первая прямая не проходит через начало координат, то подставив координаты точки О(0;0) в первое неравенство, получим , (верно), следовательно, первое неравенство определяет полуплоскость, лежащую ниже прямой (1).
Так как вторая прямая не проходит через начало координат, то подставив координаты точки О(0;0) во второе неравенство, получим , (верно), следовательно, второе неравенство определяет полуплоскость, лежащую выше прямой (2).
Рисунок 1
Поскольку третья прямая не проходит через начало координат, то подставим координаты точки О(0;0) в третье неравенство, получим , (не верно), следовательно, третье неравенство определяет полуплоскость, лежащую выше прямой (3).
Четвертое неравенство определяет полуплоскость, лежащую ниже прямой (4).
Находим общую часть полуплоскостей решений, учитывая при этом условия неотрицательности. Заштрихованный многоугольник является областью допустимых решений (ОДР) (рисунок 1).
Строим вектор градиент .
Строим линию уровня перпендикулярно вектору .
По условию задачи нужно найти максимум и минимум функции Z. Передвигая линию уровня параллельно самой себе в направлении возрастания вектора градиента, находим точку «входа» в ОДР– это точка (см. рисунок 1). Найденная точка является точкой минимума. Найдем координаты точки аналитически. Эта точка является пересечением прямых (3) и . Решим систему:
Следовательно, . Вычислим значение целевой функции в
этой точке. .
Аналогично, находим точку «выхода» из ОДР – это точка (см. рисунок 1). Найденная точка является точкой максимума. Найдем координаты точки аналитически. Эта точка является пересечением прямых (2) и (4). Решим систему:
Следовательно, . Вычислим значение целевой функции в этой точке. .
Ответ: , .
Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
Задание 3. Решить симплексным методом задачу линейного программирования (ЗЛП).
1. Прежде чем решать задачу симплексным методом, надо
проверить, что правые части системы ограничений неотрицательны, т.е. . Если это не так, то в соответствующем ограничении меняем знак.
2. Далее исходную задачу надо записать в канонической форме,
если она не имеет такой формы записи. Для этого каждое ограничение неравенство вида « » надо превратить в равенство добавлением дополнительной неотрицательной (балансовой) переменной, а каждое ограничение неравенство вида « » превратить в равенство вычитанием балансовой переменной. Таким образом, все ограничения в задаче будут уравнения с неотрицательными правыми частями.
3. Далее систему уравнений при помощи симплексных
преобразований надо привести к единичному базису, т.е. найти исходное опорное решение .
4. Для того чтобы проверить, будет ли это решение
оптимальным, надо составить оценочную строку (Z-строку) по следующему правилу: ,
где искомый элемент Z-строки;
столбец коэффициентов целевой функции при базисных переменных;
столбец коэффициентов при неизвестном ;
столбец свободных членов;
скалярное произведение указанных столбцов – векторов;
коэффициент целевой функции при неизвестном .
5. Для задачи на максимум.
Если в Z-строке все элементы положительные, , то найдено
оптимальное решение . Если же в Z-строке есть хотя бы один отрицательный элемент, то найденное решение не оптимально. Есть возможность его улучшения. Для этого среди отрицательных элементов Z-строки находим минимальный (например ). Столбец с номером p становится разрешающим. Разрешающую строку выбираем по симплексным преобразованиям (для этого в симплексной таблице заводится последний столбец). В столбце с номером p в качестве разрешающего элемента берется положительный элемент, если он один. Если в этом столбце положительных элементов несколько, то берется тот из них, для которого отношение свободных членов к этим положительным элементам будет наименьшее. Если в столбце с номером p вообще нет положительных элементов, то задача не имеет оптимального решения и . После того как разрешающий элемент найден, производим расчеты по методу Гаусса, включая и элементы Z-строки. Получаем новое опорное решение. После этого возвращаемся к началу пункта 5.
6. Для задачи на минимум. Если в Z-строке все элементы ,
то найдено оптимальное решение . Если же в Z- строке есть хотя бы один положительный элемент, то найденное решение не оптимально. Для улучшения решения среди положительных элементов Z-строки находим максимальный (например ). Столбец с номером q становится разрешающим. Разрешающую строку ищем по симплексным преобразованиям (смотреть задачу на максимум). Если в столбце с номером q нет положительных элементов, то задача не имеет оптимального решения и . После того, как разрешающий элемент выбран, выполняем расчеты по методу Гаусса, включая и элементы Z-строки, и получаем новое опорное решение. Переходим к началу пункта 6. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение или мы не убедимся, что его нет.
Пример. Решить задачу линейного программирования симплексным методом
Решение. Приведем задачу к каноническому виду. Для этого в левую часть каждого неравенства типа « » добавляем новые дополнительные переменные , , (новые балансовые переменные). Таким образом, задача примет вид
Составляем симплекс-таблицу.
базис 7 -5 10 0 0 0
0
12 2 -2 3 1 0 0 –
0
2 -1 1
-1 0 1 0 2:1=2 – min
0
24 2 1 2 0 0 1 24:1=24
0 -7 5 -10 0 0 0
16 0 0 1 1 2 0
2 -1 1 -1 0 1 0
22 3 0 3 0 -1 1
-10 -2 0 -5 0 -5 0
Так как есть исходное опорное решение, то составляем оценочную
Z-строку по следующему правилу: .
Так как среди есть одно положительное число, то столбик, в котором содержится этот элемент, выбираем в качестве разрешающего. Разрешающий элемент выбираем по методу минимального элемента ( ). Далее вычисления производим по методу Жордана–Гаусса.
Находим, что все , значит найденное решение оптимально, при этом , . Исходная задача имела три переменных, поэтому в ответе в оптимальном решении последние три дополнительные переменные не записываем.
Ответ: , .
Транспортная задача
Задание 4. Решить транспортную задачу.
Транспортная задача - это задача о перевозке некоторого груза от m поставщиков к n потребителям. Обычно условия транспортной задачи задаются в таблице.
АВ
……
……..
…….
…… ……. ……. ……. ……. …….
…….
В этой таблице:
- запас груза у поставщика , где i=1, 2,…, m;
- потребность в грузе у потребителя , где j=1, 2,…, n;
- стоимость перевозки единицы груза от i-го поставщика к j-му
потребителю (тариф перевозки).
Если суммарный запас равен суммарным потребностям, т.е. , то имеем закрытую модель транспортной задачи. Если нет, то открытую модель.
Рассмотрим решение закрытой модели транспортной задачи.
1. Как и при решении ЗЛП симплексным методом, определение оптимального плана транспортной задачи начинают с нахождения исходного опорного плана. Этот план наиболее рационально находить методом минимального элемента (существуют и другие методы его нахождения). Для этого в таблице тарифов выбираем минимальный (например ) и в клетку, которая ему соответствует, помещаем наименьшее из чисел и . Затем из рассмотрения исключаем либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены. Так на каждом шаге исключается либо один поставщик, либо один потребитель. При этом если клетка подлежит заполнению, но запасы равны нулю, то на этом шаге в соответствующую клетку заносится базисный нуль (0*). Из оставшейся части таблицы снова выбираем минимальный тариф и т.д. до тех пор, пока все запасы не будут распределены, а потребители удовлетворены. Если минимальных элементов несколько, то выбираем ту клетку, которой соответствует наибольшая перевозка. Таким образом, находим исходный опорный план. Этот опорный план должен содержать занятую клетку.
2. Для проверки найденного плана на оптимальность используется метод потенциалов.
2.1 Для «занятых» клеток составляем систему уравнений
, где - потенциалы поставщиков, - потенциалы потребителей. Получаем линейных уравнений с неизвестными. Такая система имеет множество решений. Чтобы найти любое из них, надо одной из переменных дать произвольное значение (например ). Находим значения остальных потенциалов.
2.2 Для «свободных» клеток находим числа .
Если все , то найденный опорный план будет оптимальным. Если есть хотя бы один , то найденное решение не оптимально. Среди всех положительных находим одно максимальное (например ) и делаем перераспределение поставок груза относительно свободной клетки . Если среди всех положительных имеется несколько одинаковых максимальных, то выбираем любое.
Перераспределение поставок в таблице условий транспортной задачи производится по циклу.
Цикл – это цепь, многоугольник, все вершины которого находятся в занятых клетках, углы прямые, число вершин четное. После того как цикл пересчета построен, в вершинах цикла, начиная со свободной клетки , ставим поочередно «+» и «–». Далее в «–» клетках находим минимальный груз , который прибавляем к грузам в «+» клетках и отнимаем от грузов в «–» клетках. Таким образом, свободная клетка становится занятой с грузом, а одна занятая клетка освобождается. Общее число занятых клеток в новом опорном плане должно сохраняться, т.е. .
Этот новый план распределения поставок проверяем на оптимальность (переходим к пункту 2). Процесс продолжаем до тех пор, пока не получим, что все . После того как оптимальный план перевозок будет найден, выписываем опорный план и находим минимальную стоимость перевозок.
Пример. Имеются четыре пункта поставки однородного груза , , , , в каждом из которых находится груз соответственно в количестве , , , тонн и пять пунктов потребления этого груза , , , , . В пункты , , , , требуется доставить соответственно , , , , тонн груза. Транспортные расходы при перевозке единицы груза из пункта в пункт равны , где i=1, 2, 3, 4, j=1, 2, 3, 4, 5. Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками, чтобы затраты по перевозкам были минимальными, при условии: – пункты поставки груза,
– пункты потребления,
– тарифы.
Решение. По условию задачи составим таблицу:
6 11 20 17 8 12
1 25 3 18 17 17
9 39 16 30 31 18
23 15 4 3 28 13
10 8 12 14 16
1. Найдем суммарный запас и суммарные потребности:
, .
Так как суммарный запас равен суммарным потребностям, т.е. , то имеем закрытую модель транспортной задачи.
2. Находим исходный опорный план методом минимального элемента. Число занятых клеток должно равняться: .
6
11 20
17
8
12 12
1
10 25
3
7 18
17
17
9
39
8 16
5 30
1 31
4 18
23 15
4 3
13 28
13
10 8 12
14 16
Среди всех тарифов перевозки находим наименьший. В нашей задаче , в клетку пишем наименьшее из чисел: запас поставщика или потребности потребителя , т.е. . Так как потребность первого потребителя полностью удовлетворили, то его исключаем из дальнейшего рассмотрения, а запас у поставщика остался равным . Далее из оставшейся части таблицы снова выбираем наименьший тариф перевозки, и т.д. до тех пор, пока все запасы не будут распределены, потребители удовлетворены.
3. Проверяем найденный план на оптимальность методом потенциалов:
3.1 Для «занятых» клеток составляем уравнения :
3.2 Для «свободных» клеток находим :
Строим в таблице цикл пересчета относительно клетки (3, 1). Он пойдет следующим образом (3, 1) (2, 1) (2, 3) (3, 3).
Расставляем знаки «+» и «–» в вершинах цикла, начиная с клетки (3, 1). В «–» клетках ищем минимальный груз .Этот груз прибавляем к грузам в «+» клетках и отнимаем от грузов в «–» клетках. Получаем новый план перевозок:
6 11 20 17 8
12 12
1
5 25 3
12 18 17
17
9
5 39
8 16 30
1 31
4 18
23 15 4 3
13 28 13
10 8 12 14 16
4. Проверяем найденный план на оптимальность методом потенциалов.
4.1 Для «занятых» клеток:
4.2 Для «свободных» клеток:
Строим в таблице цикл пересчета относительно клетки (2, 5). Он пойдет следующим образом (2, 5) (2, 1) (3, 1) (3, 5).
Расставляем знаки «+» и «–» в вершинах цикла, начиная с клетки (2, 5). В «–» клетках ищем минимальный груз .Этот груз прибавляем к грузам в «+» клетках и отнимаем от грузов в «–» клетках. Получаем новый план перевозок:
6 11
20 17 8
12 12
1
1 25 3
12 18 17
4 17
9
9 39
8 16 30
1 31
18
23 15 4 3
13 28 13
10 8 12 14 16
5. Проверяем найденный план на оптимальность.
5.1 Для «занятых» клеток:
5.2 Для «свободных» клеток:
Строим в таблице цикл пересчета относительно клетки (1, 2). Он пойдет следующим образом (1, 2) (1, 5) (2, 5) (2, 1) (3, 1) (3, 2).
Расставляем знаки «+» и «–» в вершинах цикла, начиная с клетки (1, 2). В «–» клетках ищем минимальный груз . Этот груз прибавляем к грузам в «+» клетках и отнимаем от грузов в «–» клетках. Получаем новый план перевозок:
6 11
1 20 17 8
11 12
1
25 3
12 18 17
5 17
9
10 39
7 16
30
1 31
18
23 15 4 3
13 28 13
10 8 12 14 16
6. Проверяем найденный план на оптимальность.
6.1 Для «занятых» клеток:
6.2 Для «свободных» клеток:
Строим в таблице цикл пересчета относительно клетки (3, 3). Он пойдет следующим образом (3, 3) (2, 3) (2, 5) (1, 5) (1, 2) (3, 2).
Расставляем знаки «+» и «–» в вершинах цикла, начиная с клетки (3, 3). В «–» клетках ищем минимальный груз .Этот груз прибавляем к грузам в «+» клетках и отнимаем от грузов в «–» клетках. Получаем новый план перевозок:
6 11
8 20 17 8
4 12
1
25 3
5 18 17
12 17
9
10 39
7 16 30
1 31
18
23 15 4 3
13 28 13
10 8 12 14 16
7. Проверяем найденный план на оптимальность.
7.1 Для «занятых» клеток:
7.2 Для «свободных» клеток:
Так как все , найденный план является оптимальным.
8. Найдем минимальную стоимость перевозок:
Ответ:
2 Задания к контрольной работе
Вариант 1
Задание 1
Вероятности землетрясения в каждом из трех городов соответственно равны 0,1; 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что землетрясение произойдет хотя бы в одном городе.
Задание 2
В корзине три сорта яблок: 20 – первого, 15 – второго и 25 – третьего. Вероятность высокого содержания сахара в каждом из них соответственно равна 0,5, 0,6, 0,7. Наудачу взятое яблоко оказалось с высоким содержанием сахара. Найти, что это яблоко 1 сорта.
Задание 3
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака . Требуется найти:
1) выборочную среднюю;
2) выборочное среднее квадратическое отклонение;
3) моду и медиану.
102 112 122 132 142 152 162
4 6 10 40 20 12 8
Задание 4
Решить методом Жордана–Гаусса систему линейных уравнений:
Задание 5
Решить графически задачу линейного программирования:
Задание 6
Решить симплексным методом следующую задачу линейного программирования:
Задание 7
Решить транспортную задачу. Имеются четыре пункта поставки однородного груза , , , , в каждом из которых находится груз соответственно в количестве , , , тонн и пять пунктов потребления этого груза , , , , . В пункты , , , , требуется доставить соответственно , , , , тонн груза. Транспортные расходы при перевозке единицы груза из пункта в пункт равны , где i=1, 2, 3, 4, j=1, 2, 3, 4, 5. Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками, чтобы затраты по перевозкам были минимальными, учитывая: ,
,
.
Вариант 2
Задание 1
Вероятности выполнить норму для каждого из трех спортсменов соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что ее выполнит только один из них.
Задание 2
В библиотеке 90 учебников по математике разных лет издания: 25 – 1972 г., 35 – 1983 г. и 30 – 1995 г. Вероятности того, что учебники удовлетворяют программе, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8. Наудачу взятый учебник соответствует программе. Найти вероятность того, что это учебник 1983 года.
Задание 3
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака . Требуется найти:
1) выборочную среднюю;
2) выборочное среднее квадратическое отклонение;
3) моду и медиану.
10,6 15,6 20,6 25,6 30,6 35,6 40,6
8 10 60 12 5 3 2
Задание 4
Решить методом Жордана–Гаусса систему линейных уравнений:
Задание 5
Решить графически задачу линейного программирования:
Задание 6
Решить симплексным методом следующие задачи линейного программирования:
Задание 7
Решить транспортную задачу. Имеются четыре пункта поставки однородного груза , , , , в каждом из которых находится груз соответственно в количестве , , , тонн и пять пунктов потребления этого груза , , , , . В пункты , , , , требуется доставить соответственно , , , , тонн груза. Транспортные расходы при перевозке единицы груза из пункта в пункт равны , где i=1, 2, 3, 4, j=1, 2, 3, 4, 5. Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками, чтобы затраты по перевозкам были минимальными, учитывая: ,
,
.
Вариант 3
Задание 1
Вероятности попадания в цель для каждого из трех орудий соответственно равны 0,9; 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что попадут в цель только два орудия.
Задание 2
На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит ¾ продукции с 4% брака, вторая – ¼ продукции с 6% брака. Найти вероятность того, что наугад взятое бракованное изделие изготовлено второй бригадой.
Задание 3
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака . Требуется найти:
1) выборочную среднюю;
2) выборочное среднее квадратическое отклонение;
3) моду и медиану.
26 32 38 44 50 56 62
5 15 40 25 8 4 3
Задание 4
Решить методом Жордана–Гаусса систему линейных уравнений:
Задание 5
Решить графически задачу линейного программирования:
Задание 6
Решить симплексным методом следующие задачи линейного программирования:
Задание 7
Решить транспортную задачу. Имеются четыре пункта поставки однородного груза , , , , в каждом из которых находится груз соответственно в количестве , , , тонн и пять пунктов потребления этого груза , , , , . В пункты , , , , требуется доставить соответственно , , , , тонн груза. Транспортные расходы при перевозке единицы груза из пункта в пункт равны , где i=1, 2, 3, 4, j=1, 2, 3, 4, 5. Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками, чтобы затраты по перевозкам были минимальными, учитывая: ,
,
.
Вариант 4
Задание 1
Батарея из трех орудий производит залп по цели. Вероятности попадания в цель для каждого из них соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что попадут в цель все три орудия.
Задание 2
Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый изготовил 40 изделий, 15 – второй и 25 – третий. Вероятности брака у каждого рабочего соответственно равны 0,05, 0,01, 0,02. Найти вероятность того, что наудачу взятая бракованная деталь изготовлена третьим рабочим.
Задание 3
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака . Требуется найти:
1) выборочную среднюю;
2) выборочное среднее квадратическое отклонение;
3) моду и медиану.
12,4 16,4 20,4 24,4 28,4 32,4 36,4
5 15 40 25 8 4 3
Задание 4
Решить методом Жордана–Гаусса систему линейных уравнений:
Задание 5
Решить графически задачу линейного программирования:
Задание 6
Решить симплексным методом следующие задачи линейного программирования:
Задание 7
Решить транспортную задачу. Имеются четыре пункта поставки однородного груза , , , , в каждом из которых находится груз соответственно в количестве , , , тонн и пять пунктов потребления этого груза , , , , . В пункты , , , , требуется доставить соответственно , , , , тонн груза. Транспортные расходы при перевозке единицы груза из пункта в пункт равны , где i=1, 2, 3, 4, j=1, 2, 3, 4, 5. Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками, чтобы затраты по перевозкам были минимальными, учитывая: ,
,
.
Вариант5
Задание 1
Вероятности землетрясения в каждом из трех городов соответственно равны 0,1; 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что землетрясение произойдет только в одном городе.
Задание 2
В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятности выполнить квалификационную норму соответственно равны 0,9, 0,8, 0,75. Найти вероятность того, что выбранный наудачу спортсмен выполнит норму.
Задание 3
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака . Требуется найти:
1) выборочную среднюю;
2) выборочное среднее квадратическое отклонение;
3) моду и медиану.
110 115 120 125 130 135 140
5 10 30 25 15 10 5
Задание 4
Решить методом Жордана–Гаусса систему линейных уравнений:
Задание 5
Решить графически задачу линейного программирования:
Задание 6
Решить симплексным методом следующие задачи линейного программирования:
Задание 7
Решить транспортную задачу. Имеются четыре пункта поставки однородного груза , , , , в каждом из которых находится груз соответственно в количестве , , , тонн и пять пунктов потребления этого груза , , , , . В пункты , , , , требуется доставить соответственно , , , , тонн груза. Транспортные расходы при перевозке единицы груза из пункта в пункт равны , где i=1, 2, 3, 4, j=1, 2, 3, 4, 5. Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками, чтобы затраты по перевозкам были минимальными, учитывая: ,
,
.
Вариант 6
Задание 1
Вероятности выполнить норму для каждого из трех спортсменов соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что ее выполнит хотя бы один из них.
Задание 2
Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятности того, что каждая из них допустит ошибку, соответственно равны 0,05; 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица.
Задание 3
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака . Требуется найти:
1) выборочную среднюю;
2) выборочное среднее квадратическое отклонение;
3) моду и медиану.
45 50 55 60 65 70 75
4 6 10 40 20 12 8
Задание 4
Решить методом Жордана–Гаусса систему линейных уравнений:
Задание 5
Решить графически задачу линейного программирования:
Задание 6
Решить симплексным методом следующие задачи линейного программирования:
Задание 7
Решить транспортную задачу. Имеются четыре пункта поставки однородного груза , , , , в каждом из которых находится груз соответственно в количестве , , , тонн и пять пунктов потребления этого груза , , , , . В пункты , , , , требуется доставить соответственно , , , , тонн груза. Транспортные расходы при перевозке единицы груза из пункта в пункт равны , где i=1, 2, 3, 4, j=1, 2, 3, 4, 5. Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками, чтобы затраты по перевозкам были минимальными, учитывая: ,
,
.
Вариант 7
Задание 1
Вероятности попадания в цель для каждого из трех орудий соответственно равны 0,9; 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что попадут в цель только два орудия.
Задание 2
В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятность того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равна 0,8, 0,85, 0,9, 0,95. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок службы.
Задание 3
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака . Требуется найти:
1) выборочную среднюю;
2) выборочное среднее квадратическое отклонение;
3) моду и медиану.
10,2 10,9 11,6 12,3 13 13,7 14,4
8 10 60 12 5 3 2
Задание 4
Решить методом Жордана–Гаусса систему линейных уравнений:
Задание 5
Решить графически задачу линейного программирования:
Задание 6
Решить симплексным методом следующие задачи линейного программирования:
Задание 7
Решить транспортную задачу. Имеются четыре пункта поставки однородного груза , , , , в каждом из которых находится груз соответственно в количестве , , , тонн и пять пунктов потребления этого груза , , , , . В пункты , , , , требуется доставить соответственно , , , , тонн груза. Транспортные расходы при перевозке единицы груза из пункта в пункт равны , где i=1, 2, 3, 4, j=1, 2, 3, 4, 5. Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками, чтобы затраты по перевозкам были минимальными, учитывая: ,
,
.
Вариант 8
Задание 1
Батарея из трех орудий производит залп по цели. Вероятности попадания в цель для каждого из них соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что попадут в цель все три орудия.
Задание 2
В мастерскую поступают телевизоры – 75 % от общего количества, стиральные машины –15 % и микроволновые печи – 10 %. Вероятности того, что отремонтированный бытовой прибор прослужит в течение гарантийного срока, соответственно равны 0,9, 0,7 и 0,85. Найти вероятность того, что наудачу выбранный прибор сломается в гарантийное время.
Задание 3
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака . Требуется найти:
1) выборочную среднюю;
2) выборочное среднее квадратическое отклонение;
3) моду и медиану.
11,5 12 12,5 13 13,5 14 14,5
5 15 40 25 8 4 3
Задание 4
Решить методом Жордана–Гаусса систему линейных уравнений:
Задание 5
Решить графически задачу линейного программирования:
Задание 6
Решить симплексным методом следующие задачи линейного программирования:
Задание 7
Решить транспортную задачу. Имеются четыре пункта поставки однородного груза , , , , в каждом из которых находится груз соответственно в количестве , , , тонн и пять пунктов потребления этого груза , , , , . В пункты , , , , требуется доставить соответственно , , , , тонн груза. Транспортные расходы при перевозке единицы груза из пункта в пункт равны , где i=1, 2, 3, 4, j=1, 2, 3, 4, 5. Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками, чтобы затраты по перевозкам были минимальными, учитывая: ,
,
.
Вариант 9
Задание 1
Вероятности землетрясения в каждом из трех городов соответственно равны 0,2; 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что землетрясение произойдет только в двух городах.
Задание 2
Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятности того, что деталь попадет к одному из них, соответственно равны 0,6 и 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,96, а вторым – 0,78. Годная деталь при проверке была признана не- стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
Задание 3
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака . Требуется найти:
1) выборочную среднюю;
2) выборочное среднее квадратическое отклонение;
3) моду и медиану.
104 109 114 119 124 129 134
4 6 10 40 20 12 8
Задание 4
Решить методом Жордана–Гаусса систему линейных уравнений:
Задание 5
Решить графически задачу линейного программирования:
Задание 6
Решить симплексным методом следующие задачи линейного программирования:
Задание 7
Решить транспортную задачу. Имеются четыре пункта поставки однородного груза , , , , в каждом из которых находится груз соответственно в количестве , , , тонн и пять пунктов потребления этого груза , , , , . В пункты , , , , требуется доставить соответственно , , , , тонн груза. Транспортные расходы при перевозке единицы груза из пункта в пункт равны , где i=1, 2, 3, 4, j=1, 2, 3, 4, 5. Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками, чтобы затраты по перевозкам были минимальными, учитывая: ,
,
.
Вариант 10
Задание 1
Вероятности выполнить норму для каждого из трех спортсменов соответственно равны 0,7; 0,85 и 0,9. Найти вероятность того, что ее выполнит только один из них.
Задание 2
В автомастерскую поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого – 10, от второго – 6 и от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей соответственно равны 0,9, 0,8, 0,7. Какова вероятность того, что установленный двигатель будет работать.
Задание 3
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака . Требуется найти:
1) выборочную среднюю;
2) выборочное среднее квадратическое отклонение;
3) моду и медиану.
105 110 115 120 125 130 135
4 6 10 40 20 12 8
Задание 4
Решить методом Жордана–Гаусса систему линейных уравнений:
Задание 5
Решить графически задачу линейного программирования:
Задание 6
Решить симплексным методом следующие задачи линейного программирования:
Задание 7
Решить транспортную задачу. Имеются четыре пункта поставки однородного груза , , , , в каждом из которых находится груз соответственно в количестве , , , тонн и пять пунктов потребления этого груза , , , , . В пункты , , , , требуется доставить соответственно , , , , тонн груза. Транспортные расходы при перевозке единицы груза из пункта в пункт равны , где i=1, 2, 3, 4, j=1, 2, 3, 4, 5. Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками, чтобы затраты по перевозкам были минимальными, учитывая: ,
,
.
3 Содержание и оформление контрольной работы
Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, на обложке которой необходимо указать номер контрольной работы, факультет, специальность, шифр зачетной книжки, номер варианта, Ф. И. О.
Перед решением задачи необходимо полностью переписать ее условие. При выполнении работы необходимо приводить основные теоретические моменты, промежуточные математические доказательства, формулы, расчеты. В конце работы указывается список использованных источников, ставится число и личная подпись.
Отмеченные рецензентом ошибки необходимо исправить в конце работы, сделав работу над ошибками.
Зачтенные контрольные работы предъявляются студентами при сдаче зачета или экзамена.
4 Вопросы для подготовки к экзамену (зачету)
1. События: случайные, достоверные, невозможные, совместные,
несовместные. Полная группа событий. Противоположные события. Сумма и произведение событий. Привести примеры.
2. Элементарные исходы. Классическое определение вероятно-
сти. Свойства вероятности. Геометрическое определение вероятности.
3. Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовмест-
ных событий.
4. Вероятность полной группы событий. Вероятность противо-
положных событий.
5. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей для
зависимых и независимых событий
6. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез: формулы
Байеса.
7. Схема повторных испытаний. Формула Бернулли.
8. Дискретная случайная величина (привести примеры).
Перечислить основные законы распределения дискретных случайных величин.
9. Математическое ожидание дискретной случайной величины,
его свойства (без доказательств).
10. Дисперсия дискретной случайной величины, его свойства (без
доказательств).
11. Выборка. Объем выборки. Варианты и частоты. Вариацион-
ный ряд.
12. Полигон частот дискретного вариационного ряда и гисто-
грамма частот непрерывного вариационного ряда. Эмпирическая функция распределения.
13. Числовые характеристики статистического распределения:
выборочная средняя , выборочная дисперсия , выборочное среднее квадратическое отклонение , исправленная выборочная дисперсия и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение .
14. Система линейных уравнений. Приведение к единичному
базису. Алгоритм метода Жордана–Гаусса.
15. Определение базисных и опорных решений систем линейных
уравнений.
16. Преобразование однократного замещения.
17. Симплексные преобразования.
18. Формулировка стандартной задачи линейного программиро-
вания (ЗЛП).
19. Формулировка канонической ЗЛП.
20. Формулировка общей ЗЛП.
21. Определение оптимального решения ЗЛП.
22. Определение допустимого решения ЗЛП.
23. Алгоритм графического метода решения ЗЛП.
24. Алгоритм симплексного метода решения для задачи на
максимум.
25. Алгоритм симплексного метода решения для задачи на
минимум.
26. Критерий отсутствия оптимальности при решении задачи
симплексным методом.
27. Доказать возможность улучшения решения при решении ЗЛП
симплексным методом.
28. Формулировка транспортной задачи (ТЗ).
29. Определение исходного опорного плана в ТЗ. Метод
минимального элемента.
30. Преобразование однократного замещения в ТЗ. Цикл
пересчета.
31. Определение оптимального плана ТЗ. Теорема об
оптимальном плане ТЗ.
32. Алгоритм решения закрытой модели ТЗ.
33. Решение открытых моделей ТЗ.
Список литературы
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике.– М.: Высшая школа, 2007.– 400 с.
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории
вероятностей. – М.: Высшая школа, 2006.– 366 с.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.
2. – М.:Айрис-пресс, 2005.– 256 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая
статистика: учеб. пособие для вузов. –7-е изд., стереотип. – М.: Высшая школа, 2008.– 479 с.
5. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей
математики для экономических вузов. Ч. 2. Теория вероятностей и математическая статистика. Линейное программирование: учеб. пособие для студентов вузов. – М.: Высшая школа, 1982.– 458 с.
6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах. Ч. 2. – М.: Образование, 2006.– 416 с.
7. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая
статистика: учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.– 573 с.
8. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и
задачах: учеб. пособие – 2-е изд., испр. и доп. – М.:Высшая школа, 2006. – 343 с.
9. Калихман Т.Л. Линейная алгебра и программирование. – М.:
Высшая школа, 2006.– с.
10. Ермаков В.И. Сборник задач по высшей математике для
экономистов.– М.:ИНФРАМ–М, 2005.– 575с.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Методические указания по предмету «Математика»