Расчет периода и энергии свободных электромагнитных колебаний

I. Колебательный контур.

Колебательный контур – электрическая цепь, С L

состоящая из конденсатора(C-емкости) и 0

катушки(L-индуктивности).

x

Состояние устойчивого равновесия соответствует разряженному конденсатору.

Чтобы вывести колебательный контур из состояния устойчивого равновесия, надо зарядить конденсатор, сообщить ему энергию . -максимальный заряд конденсатора.

t=0 t= ¼ T

+q_m

C L C L 0

- 0

x x

При замыкании конденсатора на катушку в цепи возникает ток, который создает магнитное поле. Согласно закону э-м индукции в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая направлена против тока, препятствует нарастанию магнитного поля. Поэтому конденсатор разряжается не мгновенно, а постепенно. Ток достигает своего максимального значения, когда конденсатор полностью разрядится( в момент времени t=1/4 T). Энергия электрического поля перешла в энергию магнитного поля:. -максимальное значение силы тока .

В следующий момент времени ток начнет уменьшатся т.к. конденсатор разряжен. Убывающее магнитное поле порождает ЭДС самоиндукции, которая направлена по току, поддерживает убывающее магнитное поле. Ток продолжает течь в том же направлении, постепенно убывая до нуля, что вызывает перезарядку конденсатора. К моменту времени t=1/2 T конденсатор перезарядится. Энергия магнитного поля перешла в энергию электрического поля конденсатора: . . t=1/2T

C L Во вторую половину периода конденсатор

- снова разряжается, все повторяется, только

+q_m 0 ток течет в противоположном направлении.

Через период T система вернется в исходное состояние, завершилось полное колебание. Затем процессы повторяются.

Выводы:

• Периодические изменения заряда конденсатора, напряжения на конденсаторе, силы тока, электрического и магнитного полей называются свободными электромагнитными колебаниями.

• Свободные э-м колебания затухающие т.к. происходят потери энергии на сопротивлении (выделяется теплота).

q _m

t

График свободных электромагнитных колебаний.( на экране осциллографа).

• Происходят периодические превращения энергии электрического поля в энергию магнитного поля и наоборот.

• Полная энергия электромагнитных колебаний: .

- мгновенный заряд конденсатора, - мгновенное значение силы тока.

II. Дифференциальное уравнение свободных э-м колебаний.

В идеальном контуре (R=0 ) энергия электромагнитных колебаний постоянна: . Следовательно, первая производная энергии по времени равна нулю: .

По определению сила тока равна:. Следовательно, мгновенная сила тока- есть первая производная заряда по времени:, а . Тогда получаем:. Введем обозначение -дифференциальное уравнение э-магнитных колебаний.

Выводы:

• Свободные электромагнитные колебания происходят по гармоническому закону: или.

• Циклическая частота э-м колебаний .

• Период свободных э-м колебаний - формула Томсона.

• Если колебательный контур содержит несколько конденсаторов и катушек: .

• При последовательном соединении конденсаторов: .

• При параллельном соединении конденсаторов: .

• При последовательном соединении индуктивностей: .

• При параллельном соединении индуктивностей: .

III. Колебания силы тока в контуре.

Т.к .мгновенная сила тока –первая производная заряда по времени получаем:

.

Выводы:

• Колебания силы тока в контуре происходят по гармоническому закону.

• Колебания силы тока в контуре и колебания заряда конденсатора сдвинуты по фазе на или на .

• Амплитуда силы тока и амплитуда заряда связаны формулой:.

i q

 I_m

++q i

t

0 1/4T T

полож. направ.

График колебаний силы тока и заряда в контуре.

IV . Аналогия механических и электромагнитных колебаний.

Аналогия основана на тождественности математических уравнений, описывающих механические и электромагнитные колебания.

При расчете сложных механических систем часто прибегают к электромеханической аналоги, моделируя механическую систему соответствующей электрической. Знание аналогии между механическими и электрическими величинами позволяет успешно решать ряд задач по механике и электродинамике.