Обработка результатов измерений. Оценка погрешностей

Лабораторная работа № 1
Обработка результатов измерений.
Оценка погрешностей
Цель работы: приобретение навыков обработки результатов изме-рений.
Продолжительность работы - 4 часа.
Погрешность измерений
Результат измерений любой физической величины не может быть абсолютно точен, обязательно имеется некоторая погрешность. При оценке результатов физического эксперимента это обстоятельство име-ет решающее значение. Например, для некоторой величины теория предсказывает значение 5,54, а в эксперименте получено 5,6. Можно ли отсюда сделать вывод о верности теории? Все зависит от точности тео-ретического предсказания и точности экспериментального результата. Предположим, что теория предсказывает значение некоторой величины 5,54 ± 0,01 и экспериментальный результат получен также с точностью до одной сотой: 5,60 ± 0,01. Тогда мы делаем вывод, что теория не под-тверждается экспериментом. Если же точность предсказания и резуль-тата измерений меньше, например 5,54 ± 0,05 и 5,60 ± 0,06, то вывод, соответственно, будет другой.
Отчего возникает погрешность? Причины, кроме явных ошибок экспериментатора, могут быть самые разнообразные. Принято разли-чать приборные погрешности, обусловленные точностью измерительно-го прибора и его настройки, и погрешности случайные, вызванные не-контролируемыми внешними воздействиями, может быть, даже воздействием самого прибора.
Например, при измерении некоторого размера штангенциркулем возможна деформация измеряемого объекта самим штангенциркулем: под его ″губки″ может попасть посторонний микроскопический предмет, возникнуть перекос и т.д. Причиной появления погрешности может быть и несовершенство принятой модели. Так, мы считаем объект измерения телом вращения, а в действительности его сечение может иметь форму эллипса. При этом в зависимости от конкретных условий эксперимента погрешность может быть в одном случае отнесена к приборным, а в другом - считаться вызванной внешними воздействиями, точной границы при таком разделении погрешностей нет.
Приборные погрешности в свою очередь могут быть случайными по величине и знаку или закономерными. Если погрешность закономер-на, ее называют систематической и в принципе ее можно учесть в виде некоторой поправки к результату измерений.
По форме представления различают погрешность абсолютную и относительную. Смысл этих терминов очевиден. Например, если ре-зультат измерения некоторого промежутка времени записан так:
с; с,
то в этом случае величина с представляет собой абсолютную по-грешность; обозначается она, как и измеряемая величина, но со знаком Δ. В нашем примере с. С другой стороны, ясно, что время определено точнее, так как больший промежуток времени сложнее оп-ределить с той же абсолютной погрешностью. Чтобы отразить это об-стоятельство в записи величины погрешности, вводят относительную погрешность . Относительная погрешность может измерять-ся в процентах, тогда эту величину умножают на 100%.
В данной работе вы познакомитесь с одним из простейших спосо-бов обработки результатов измерений.
Практическое определение погрешности
измеряемой величины
Измерение физической величины может быть выполнено чувстви-тельным (точным) прибором или не очень чувствительным (грубым) прибором.
Если измерительный прибор не очень чувствительный, погреш-ность измерений определяется приборной погрешностью. При этом нет необходимости проводить измерения многократно, так как это не по-вышает их точности. Приборная погрешность обычно указывается в описании прибора; если такого указания нет, то за нее принимается половина цены деления шкалы прибора. Так, при измерении длины мил-лиметровой линейкой принято в качестве погрешности брать величину 0,5 мм. Результат измерения длины некоторого объекта в этом случае надо записывать в следующем виде: (385,0 ± 0,5) мм.
В дальнейшем приборную погрешность будем обозначать Погрешность может быть больше этой величины, если объект не имеет точной границы (например, при измерении размеров изображения предмета на экране). Точной рекомендации, какую при этом брать по-грешность, нет. Все зависит от вида измеряемого объекта и целей изме-рения.
При использовании чувствительного прибора (например, микро-метра, миллисекундомера и т.д.) при повторных измерениях могут по-лучаться неодинаковые результаты. Так, измерения времени падения шарика с высоты 1 м с помощью миллисекундомера дают результаты, приведенные в табл.1.
Таблица 1
Результаты измерений времени падения шарика с высоты 1 м
Номер
опыта
1
2

3
4
5
6
7
8
ti, с 0,460 0,446 0,452 0,456 0,448 0,454 0,446 0,458
Δti, с 0,007 0,007 0,001 0,003 0,005 0,001 0,007 0,005

Простейший расчет погрешности в этом случае проводиться сле-дующим образом:
• найти среднее арифметическое значение измеряемой величины
с,
причем оно должно содержать столько значащих цифр, сколько их в измеряемой величине (в нашем примере - три);
• для каждого измерения найти модуль разности среднего значе-ния и измеренной величины ti и занести в таблицу ;


• найти среднее арифметическое значение погрешности
с;
• сравнить значение с приборной погрешностью миллисе-кундомера .
Если > , то результат измерения следует записать в виде

Если < , то результат измерения следует записать в виде
.
Например, если приборная погрешность равна с, то
с,
если с, то
с.
Вообще говоря, для расчета погрешности обоснованным явля-ется выражение

Однако если обратиться к числам, мы с большой степенью точности получим правило, изложенное выше, причем точность тем выше, чем больше разность между и . Действительно, если рассмотреть предыдущий пример, то для первого случая:
с,
для второго случая:
с.
При арифметическом расчете средних значений измеряемой вели-чины и погрешности (особенно при использовании калькулятора) может получиться такой результат:
см.
Приведенная запись неграмотна. Для того чтобы правильно запи-сать результат, поступают следующим образом:
• округляют погрешность до двух значащих цифр, если первой из них является единица, и до одной значащей цифры - во всех остальных случаях. Например:
неправильно правильно
см см
см см
см см;
• при записи измеренного значения последней должна указывать-ся цифра того десятичного разряда, который использован при указании погрешности. Например:
неправильно правильно
см см
см см
см см
см см.
Таким образом, грамотной записью результата для приведенного выше примера является такая запись:
см.
Упражнение 1. Рассчитать среднее значение периода колебаний математического маятника и его погрешность по результатам изме-рений, приведенным в табл.2.
Таблица 2
Результаты измерений периода колебаний
математического маятника

Номер опыта 1 2 3 4 5
Т, с 1,24 1,18 1,23 1,20 1,19

Результаты записать для случаев, когда измерения выполнены се-кундомером, имеющим погрешности: а) с; б) с.


Определение погрешности косвенных измерений
Часто встречается ситуация, когда интересующая нас величина в эксперименте непосредственно не измеряется, но может быть рассчита-на с помощью функциональной зависимости от измеряемых величин. В этом случае говорят о косвенных измерениях. Точность определения этой величины зависит как от точности эксперимента, так и от конкрет-ного вида ее зависимости от измеряемых величин.
Пусть величину можно рассчитать, измерив непосредственно некоторые физические величины и т.д., и пусть погрешности этих величин соответственно равны и т.д. Погрешность величи-ны можно рассчитать, воспользовавшись формулой
(1)
Здесь - так называемые частные производные, которые вы-числяются по обычным правилам в предположении, что остальные пе-ременные (кроме той, по которой выполняется дифференцирование) зафиксированы.
Рассмотрим два примера.
Пример 1. Пусть известны и их погрешности .
Необходимо найти погрешность величины .
Решение.


Таким образом, при сложении или вычитании нескольких величин складываются их абсолютные погрешности:

Пример 2. Известны положительные величины и их по-грешности . Необходимо найти погрешность величины .
Решение.


В скобках стоит сумма относительных погрешностей величин и , а сомножитель перед скобкой равен величине . Отсюда следует

Таким образом, при умножении или делении нескольких величин складываются их относительные погрешности:

Это правило легко обобщается на произвольное число сомножителей.
Теперь рассмотрим конкретный случай. Измеряя время падения тела с некоторой высоты, можно рассчитать ускорение свободного па-дения по формуле
(2)
(здесь g рассматривается как функция двух переменных H и t, опреде-ляемых экспериментально).
Пусть м, с, тогда
.
Относительная погрешность ускорения свободного падения (см. пример 2) равна

Обратите внимание на то, что перед относительной погрешностью стоит множитель 2, так как время в формуле (2) стоит во второй степени.
Рассчитаем :

Из этого выражения следует, что абсолютная погрешность равна
.
Таким образом, окончательно получаем:
.
Эта запись означает, что истинное значение ускорения свободного па-дения лежит в пределах от до .
Приведем более сложный пример. Модуль сдвига материала про-волоки , из которого изготовлена пружина жесткостью , можно определить по формуле
,
где - радиус пружины; - радиус проволоки; - число витков пру-жины. Пусть погрешности измерения величин соответственно равны . Если использовать формулу (1) для расчета погреш-ности , то получим следующее выражение:
,
которым неудобно пользоваться из-за его громоздкости. Выражение же для расчета относительной погрешности более компактно:

Рассчитав и , легко определить :
.
Очевидно, что последний способ расчета абсолютной погрешности менее трудоемкий, чем первый.
В заключение приведем таблицу формул для вычисления погреш-ностей в некоторых частных случаях (табл.3).
Еще раз напомним: при сложении (вычитании) некоторых вели-чин складываются абсолютные погрешности; при умножении (де-лении) величин складываются относительные погрешности.
Таблица 3
Примеры вычисления абсолютной и относительной погрешностей
Математи-ческая
операция
Абсолютная
погрешность Относительная
погрешность
























Домашнее упражнение. Получить выражения для расчета абсо-лютной и относительной погрешностей для следующих математиче-ских операций:
а) ; б) ; в) где и - измеряемые величины.
Упражнение 2. Рассчитать ускорение свободного падения и его погрешность, зная длину и период колебания математического ма-ятника: м, с.
Напомним, что
.
Графическое представление результатов измерений
В ряде случаев при обработке результатов измерений пользуются графическим методом. Графическое представление результатов позво-ляет быстро понять главные особенности наблюдаемой зависимости и обнаружить ошибки в измерениях.
Приведем основные правила построения графиков.
1. Необходимо пользоваться листом миллиметровой бумаги, раз-мер которого не должен превышать размер тетрадного листа.










Неверно Верно

Рис.1. Выбор масштаба и начала отсчета при построении графиков


2. Важно разумно выбирать масштабы, чтобы измеренные точ-ки
располагались на всей площади листа. На рис.1 изображены примеры неправильного и правильного построения графиков.
На левом (неправильно построенном) графике экспериментальные точки занимают правую нижнюю часть листа. Чтобы этого избежать, следует выбрать более крупный масштаб по оси Н и сместить нуль на оси абсцисс, как это сделано на правом графике.
Масштаб должен быть удобным. Клеточка миллиметровой бумаги должна соответствовать 0,1; 0,2; 0,5; 1; 2; 5; 10 и т.д. единицам изме-ряемой величины, но не 3; 4; 7 и т.д.
3. Следует стремиться к такому выбору величин, откладываемых по осям, чтобы ожидаемая зависимость имела вид прямой линии. Так, исследуя закон падения тел, мы вправе ожидать, что результаты будут описываться законом . Если откладывать по осям и или и , или и , то график приобретает вид прямой линии. Одно из этих трех представлений и должно быть выбрано при построении графика.
4. Выполняя измерения, необходимо стремиться к тому, чтобы точки будущего графика располагались достаточно равномерно. Этого можно добиться следующим образом:
• первые два измерения провести при таких параметрах устано-вок, при которых точки на графике будут максимально и минимально удалены от начала координат (например, измерить время падения тела с максимальной и минимальной высот, реализуемых в данной установке);
• с учетом полученных результатов выбрать удобный масштаб и нанести эти точки на график;
• соединить точки пунктирной линией и найти такие параметры установки, при которых точки на графике будут располагаться равно-мерно (ориентировочное число точек указано в описаниях лаборатор-ных работ);
• провести измерения при этих параметрах, результаты занести в таблицу и построить график.
Мы изложили самый простой способ графической обработки ре-зультатов измерений.
В табл.4 представлена зависимость времени падения t тела от вы-соты Н, а также погрешности измерения этих величин и

Таблица 4
Экспериментальные данные и параметры, необходимые
для построения графика
Номер
строки Параметры Значения параметров
1 Н, м 0,50 1,00 1,50 2,0
2 ΔН, м 0,04 0,06 0,10 0,10
3 t, c 0,32 0,48 0,55 0,64
4 Δt, c 0,02 0,02 0,03 0,03
5 t2, c2 0,102 0,23 0,30 0,41
6 Δ(t2), c2 0,013 0,02 0,03 0,04
Высота и время падения связаны соотношением

поэтому график удобно представить в координатах и так как в этих координатах зависимость будет линейной. Поэтому в 5-й строке табл.4 представлены значения .
При нанесении экспериментальных точек на график необходимо указать погрешности. Для расчета погрешности воспользуемся фор-мулой (1) и получим:
.
С помощью этого выражения рассчитаем соответствующие по-грешности и занесем их в 6-ю строку табл.4.
Построим график. Для этого, выбрав масштаб вдоль координатных осей (рис.2), нанесем экспериментальные точки и погрешности.



























Рис.2. Пример построения графика

Погрешность откладывается по горизонтали вправо и влево от точки, а погрешность - по вертикали вверх и вниз. В результате получаются ″поля ошибок″ (прямоугольники на графике). Сплошной линией представлена изучаемая зависимость. Тот факт, что она прохо-дит через все ″поля ошибок″, подтверждает, что .
При графической обработке результатов измерений часто опреде-ляют угловой коэффициент прямой, который для нашего примера равен
. (3)
Определив из графика , по формуле (3) можно найти ускорение свободного падения. Для нахождения углового коэффициента необходимо выполнить следующие операции:
• провести пунктирные прямые, имеющие максимальный и мини-мальный наклоны и проходящие через все ″поля ошибок″, и рассчитать максимальное и минимальное значения углового коэффициента:


• вычислить среднее значение и абсолютное значение их полу-разности:


Из (3) и (1) следует
,
Таким образом, получим:

Упражнение 3. Измерен период колебаний математического маятника в зависимости от его длины Результаты измерений пред-ставлены в табл.5.
Таблица 5
Зависимость периода колебаний математического маятника
от его длины
l, м 0,50 1,00 1,50 2,00
Т, с 1,4 2,0 2,5 2,8
м; с.


Необходимо:
• построить график зависимости ;
• определить максимальный и минимальный угловые коэффици-енты;
• рассчитать ускорение свободного падения .
Литература
1. Лабораторные занятия по физике / Под ред. Л.Л.Гольдина. - М.: Наука, 1983. - С.11 - 39.
2. Берестов А.Т., Куклин С.Ю. Методы обработки результатов измерений: Методические указания к лабораторным занятиям по курсу ″Общая физика″ - М.: МИЭТ, 1998.