Метод конечных элементов

Московский Государственный Технический Университет
имени Н.Э. Баумана
Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация»
Кафедра «Системы автоматизированного проектирования»





Лабораторная работа №2
«Метод конечных элементов»
по курсу
«Модели и методы анализа проектных решений»
Вариант 37




Выполнил: студент Каргин А.А.
группа РК6-102 (109)
Проверил: к.т.н., доцент Трудоношин В.А.





Москва, 2013 г
Оглавление
1. Задание 3
2. Получение локальной матрицы жесткости и вектора нагрузок для конечных элементов 3
2.1. Линейный конечный элемент 3
2.2. Кубический конечный элемент 7
3. Аналитический расчет 13
4. Описание интерфейса программы 15
5. Сравнение погрешностей метода при использовании линейной и кубической функций формы 16
6. Приложение. Расчет коэффициентов кубического конечного элемента в MathCAD 17

 
1. Задание
Методом конечных элементов решить уравнение:

при следующих граничных условиях: и
количество конечных элементов для:
• первого расчёта — 20
• второго расчёта — 40
Сравнить результат с аналитическим решением, оценить максимальную погрешность.
2. Получение локальной матрицы жесткости и вектора нагрузок для конечных элементов
2.1. Линейный конечный элемент
В качестве функции формы возьмем функцию вида
Из граничных условий (x = 0, x = L) для данной функции получим следующую систему уравнений с двумя неизвестными и :

Откуда , а
или же , где , .
Далее решение сводится к общему решению следующего уравнения:
, где — весовые функции.
Для их выбора используем метод Петрова-Бубнова-Галеркина, где в качестве весовых функций берутся глобальные базисные функции. Ими являются коэффициенты перед узловыми значениями в выражении аппроксимации решения. В соответствии с вышесказанным приходим к следующему уравнению:
Разобьем исходный интеграл на три и решим их по отдельности.
1. 1-й интеграл

2. 2-й интеграл

3. 3-й интеграл

Просуммировав полученные результаты, получим следующий вид данного уравнения:

или

В результате, при разбиении объекта на n конечных элементов и при подстановке граничных условий мы будем иметь систему из n уравнений с n неизвестными:

Нам известны граничные условия для U(0) и U(12), поэтому мы можем перенести их из матрицы жесткости в вектор нагрузок (удаляем соответствующие столбцы из матрицы жесткости и переносим их в вектор нагрузок). Значения производных и нам не известны, поэтому перенесем их в вектор неизвестных, дополнив матрицу жесткости соответствующими столбцами. Модифицированная СЛАУ примет вид:

2.2. Кубический конечный элемент

В качестве функции формы возьмем функцию вида:

Из граничных условий (x = 0, x = , x = , x = L) для данной функции получим следующую систему уравнений с четырьмя неизвестными , , , .
Далее большинство расчетов будет проводиться в MathCAD.

Решаем систему:
,
,
,
.
Приводим подобные слагаемые:
, где
,
,
,
.
Иными словами , где , .
Далее решение сводится к общему решению следующего уравнения:

Разобьем исходный интеграл на три и решим их по отдельности.
 
1. 1-й интеграл

 
2. 2-й интеграл


3. 3-й интеграл

Просуммировав полученные результаты, получим следующий вид данного уравнения:

В ансамблировании участвуют только крайние узлы, поэтому с помощью прямого хода метода Гаусса обнуляем в уравнениях этих узлов коэффициенты перед и .
























Таким образом, переменные и можно исключить. Получим:

Видно, что по структуре наша СЛАУ ничем не отличается от СЛАУ линейного конечного элемента, полученной выше, поэтому при разбиении объекта на n конечных элементов мы получим следующую итоговую СЛАУ:

Чтобы найти и , решим следующую систему:










,
.
3. Аналитический расчет
; граничные условия: , .
1) Решим ОДУ

Характеристическое уравнение:

2) Найдем частное решение НДУ
ЧР НДУ будем искать в виде
Найдем A, подставив в исходное ДУ

3) Найдем общее решение НДУ

4) Определение констант
Используя граничные условия, получаем следующую СЛАУ:





5) Решение НДУ

4. Описание интерфейса программы
Окно программы включает в себя:
• поле визуализации решений, в котором горизонтальная черта указывает на минимальное значение на данном интервале, а вертикальная – на левую границу интервала.
• область опций, в которой можно указать количество конечных элементов, функцию формы (линейная или квадратичная), отметить, что следует отображать (численное, аналитическое решения).
• поле вывода, которое будет показывать максимальное отклонение численного решения от аналитического.
Для работы программы необходимо выбрать функцию формы конечного элемент, указать их количество и нажать кнопку «Расчет». По завершении расчета будут отображены желаемые графики. По вертикальной оси будут зафиксированы максимальное и минимальное значения, по горизонтальной – границы рассматриваемой области.

5. Сравнение погрешностей метода при использовании линейной и кубической функций формы



Как оказывается, полученная зависимость практически линейна, хотя можно заметить даже слабый экспоненциальный эффект. В любом случае, уже первый шаг показал, что количество линейных КЭ более чем в 10 раз превышает количество кубических КЭ, а значит, использование последних для решения данной задачи значительно повышает эффективность вычислений.
 

6. Приложение. Расчет коэффициентов кубического конечного элемента в MathCAD



















 































 
А н с а м б л и р о в а н и е








A(L) - м а т р и ц а ж е с т к о с т и

2 и т е р а ц и и п р я м о г о х о д а м е т о д а Г а у с с а



G(L) - м а т р и ц а ж е с т к о с т и р а з м е р н о с т ь ю N x N+1.
С п р а в а д о б а в и л и с т о л б е ц с в о б о д н ы х п е р е м е н н ы х














k - с ч е т ч и к и т е р а ц и й
Gauss(M) - п о л ь з о в а т е л ь с к а я ф у н к ц и я д л я в ы п о л н е н и я и т е р а ц и й п р я м о г о х о д а Г а у с с а
M - м а т р и ц а , н а д к о т о р о й н е о б х о д и м о п р о в е с т и k и т е р а ц и й п р я м о г о х о д а м е т о д а Г а у с с а
A - в с п о м о г а т е л ь н а я м а т р и ц а д л я п р е д о т в р а щ е н и я в о з н и к н о в е н и я о ш и б о к с н е д о п у с т и м ы м и н д е к с о м м а с с и в а






 










С р а в н е н и е п о г р е ш н о с т е й м е т о д а
x - к о л -в о к у б и ч е с к и х К Э


y - к о л -в о л и н е й н ы х К Э