ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА

Цель работы: изучение крутильных колебаний и определение методом крутильных колебаний моментов инерции твердых тел.
Задачи работы: 1) определение момента инерции тела правильной геометрической формы (цилиндра); 2) определение момента инерции модели тела человека; 3) определение момента инерции тела человека.
Обеспечивающие средства: крутильный маятник, цилиндр, модель человека, штангенциркуль, секундомер.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Момент инерции

Моментом инерции I материальной точки относительно некоторой оси вращения называется произведение массы m точки на квадрат расстояния r от точки до оси вращения:
I = mr2
Момент инерции тела определяется как сумма моментов инерций всех материальных точек, из которых состоит данное тело:
.
Момент инерции сплошного тела массой M определяется как
(1)
Момент инерции – это мера инертности тела при его вращательном движении (аналогично массе тела – мере инертности тела при поступательном движении).
Из формулы (1) видно, что момент инерции тел одинаковой массы, но различной конфигурации различен в зависимости от распределения массы относительно оси вращения. В системе единиц СИ момент инерции измеряется в кг м2, зависит от массы тела, его формы, распределения плотности в объеме тела., а также от положения тела относительно оси вращения..
В некоторых разделах космической и спортивной медицины, ортопедии, бионики возникает необходимость измерения момента инерции тела человека и отдельных его частей.
При беге, например, значительная часть энергии расходуется на то, чтобы придавать конечностям ускорение, направленное поочередно то вперед, то назад. Чем больше момент инерции, тем больше требуется на это энергии. У человека мускулатура конечностей расположена главным образом в области плеча и бедра, а не по всей длине руки или ноги, в этом случае момент инерции является минимальным.
Вычислить момент инерции тела человека сложно, поэтому прибегают к модели. Определив момент инерции модели, мож¬но, пользуясь теорией подобия, рассчитать момент инерции тела человека.

Теория подобия
Подобными друг другу называются явления и тела, для кото¬рых одноименные параметры, характеризующие их, относятся между собой как постоянные числа. Рассмотрим основные поло¬жения теории подобия на примере момента инерции тела отно¬сительно произвольной оси вращения.
Пусть моменты инерции двух подобных тел массами m1 и m2 равны
(2)
и
. (3)
По определению подобия, отношения всех величин, входящих в эти формулы, должны быть выражены постоянными числами, называемыми константами подобия:
,
,
,
или
I1 = CI I2,
r1 = Cr r2,
m1 = Cm m2,
где r1 и r2 - соответствующие линейные параметры двух тел, например радиусы цилиндров. На основании этих соотношений и формулы (2) получаем
,

откуда
. (4)
Для выполнения равенства (4) необходимо, чтобы
(5)
Величина называется индикатором подобия, а равенство - условием подобия. У подобных явлений индикаторы подобия равны.
Из уравнений (4) и (5) видно, что константы подобия не могут выбираться произвольно, они оказываются связанными уравнением (5). Подставляя константы подобия в уравнение (5), получаем
,
т.е. отношение одинаково для всех подобных явлений.
Величина

называется инвариантом или критерием подобия. У подобных явлений критерии численно равны.
На основании подобия можно определить момент инерции тела человека с помощью модели, считая тело человека однородным. Зная соотношение Сm между массой человека и массой модели и соотношение Сr между линейными размерами человека и модели, можно определить
. (6)
Измерив экспериментально момент инерции модели I, можно рассчитать момент инерции тела человека
. (7)


ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Описание установки

Исследуемое твердое тело закрепляется в центре платформы 1 крутильного маятника, подвешенной на упругой вертикально натянутой проволоке 2 (рис.1). Проволока проходит вдоль оси платформы. Винты 3 позволяют установить основание платформы 4 в горизонтальной плоскости. Платформу поворачивают на небольшой угол (100) вокруг вертикальной оси, причем плоскость платформы должна оставаться строго горизонтальной, и отпускают. Возникающие колебания маятника называются крутильными.

Рис.1

Время одного полного колебания, в течение которого платформа из исходного крайнего положения закручивается в противоположную сторону, а затем возвращается обратно, называется периодом колебаний. Период колебаний крутильного маятника равен
, (8)
где Iм – момент инерции маятника относительно оси вращения, D – постоянная момента упругих сил, возникающих в закрученной проволоке.
Момент инерции маятника равен сумме момента инерции I0 платформы и момента инерции I исследуемого тела: Iм = I0 + I, поэтому период колебаний маятника
. (9)
Если колебания совершает свободная платформа без тела, то ее период колебаний равен
. (10)

Исключая из уравнений (9) и (10) неизвестную величину D, находим:
. (11)
Соотношение (11) позволяет выразить момент инерции I тела относительно оси маятника через момент инерции I0 свободной платформы. Для этого нужно измерить периоды колебаний Т0 и Т соответственно для свободной платформы и для платформы с телом.
Для определения момента инерции платформы воспользуемся эталонным телом, момент инерции IЭ которого известен. Тогда согласно (11) имеем:
, (12)
где TЭ – период колебаний платформы с установленным на ней эталонным телом. В качестве эталонного тела в работе используется однородный цилиндр. Момент инерции такого цилиндра относительно оси, проходящей через его центр, вычисляется по формуле:
(13)
где m – масса цилиндра, r – радиус цилиндра.
Вычислив IЭ по формуле (13) и измерив периоды колебаний свободной платформы T0 и платформы с цилиндром TЭ, можно определить величину I0 из соотношения (12), а затем из формулы (11) момент инерции исследуемого тела.
Необходимо учитывать, что выражение (11), так же как и формула (9) для периода крутильных колебаний, справедливо, если затухание мало. Практически для этого достаточно, чтобы число колебаний N, за которое амплитуда уменьшается в 2 – 3 раза, удовлетворяло неравенству N  10, или чтобы начальная амплитуда колебаний платформы была менее 100.

Порядок выполнения работы

1. Сбалансируйте платформу маятника. Для этого отрегулируйте грузики по бокам платформы так, чтобы ось вращения платформы совпадала с осью основания прибора.
2. Закрутите платформу на небольшой угол ( 100) вокруг оси вращения. Плоскость платформы должна быть при этом строго горизонтальной.
3. Найдите с помощью секундомера время t0 полных n колебаний пустой платформы. Повторите опыт пять раз. Вычислите среднее значение :
.
4. Найдите период колебаний пустой платформы.
5. Установите цилиндр в центр платформы так, чтобы не было перекоса платформы, и найдите с помощью секундомера время полных n колебаний платформы с цилиндром. Опыт повторите пять раз. Вычислите среднее значение :

.

6. Определите период колебаний платформы с цилиндром. Результаты занесите в таблицу 1.

Таблица 1
№ п/п n t0, с T0, с tЭ, с TЭ, с t, с T, с
1
2
.
среднее

7. Положите модель в центр платформы и выполните пункты 5-6 для определения периода колебаний T маятника с моделью.
8. Измерьте массу m и радиус r цилиндра.
9. Измерьте массу и высоту модели человека.
10. В качестве и возьмите значения собственного веса и роста.
11. Вычислите константы подобия , , CI по формуле (6). Результаты запишите в таблицу 2.

Таблица 2
, кг
, м
, кг
, кг
, м
, м






12. По формуле (13) найдите момент инерции IЭ цилиндра относительно оси, проходящей через его центр.
13. Рассчитайте момент инерции свободной платформы по формуле (12).
14. По формуле (11) вычислите момент инерции модели I.
15. Вычислите момент инерции человека по формуле (7). Результаты вычислений занесите в таблицу 3.
16. Рассчитайте критерий подобия модели К и критерий подобия человека Кч, занесите данные в таблицу 3.

Таблица 3




К Кч


КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение момента инерции материальной точки, момента инерции тела относительно оси вращения, момента инерции сплошного тела.
2. От чего зависит и в каких единицах измеряется момент инерции в системе СИ?
3. Какие тела или явления называются подобными?
4. Какие величины называются константами подобия?
5. Что называется индикатором подобия? инвариантом (критерием) подобия?
6. Дайте определение периода колебаний.
7. От чего зависит период крутильных колебаний маятника?
8. Как определить момент инерции тела с помощью крутильных колебаний?

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ И РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Ремизов А.Н., Максина А.Г., Потапенко А.Я. Медицинская и биологическая физика. М. Дрофа. 2003. 558 с.(Глава 4, §4.1 - §4.2, С.64 – 69).
ОБРАЗЕЦ ОТЧЕТА ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 10
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА
Выполнил: студент 101 группы
Иванов И. И.
Дата: 11 ноября 2004 г.

1. Цель работы:
2. Обеспечивающие средства:
3. Расчетные формулы:

Константы подобия , , CI

Момент инерции IЭ цилиндра
Момент инерции свободной платформы

Момент инерции модели I
Момент инерции человека

Критерий подобия К
Критерий подобия человека Кч


4. Результаты измерений:
Таблица 1
№ п/п n t0, с T0, с tЭ, с TЭ, с t, с T, с
1
2
.
среднее

Таблица 2
, кг
, м
, кг
, кг
, м
, м






5. Результаты вычислений:

Таблица 3





К Кч

6. Вывод: