ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Лабораторная работа № 7

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ – изучение и расчёт переходных процессов, происходящих при изменениях установившихся режимов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами.

7.1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Наряду с установившимися (стационарными) режимами работы в линейных электрических цепях имеют место и переходные электромагнитные режимы (нестационарные процессы), происходящие при переходе от одного установившегося режима к другому. Данные переходы возникают при всех изменениях в электрической цепи (коммутациях): включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра, введении в цепь дополнительных источников тока или на-пряжения и т.п. При этом физической причиной возникновения переходных процессов в цепях являются находящиеся в них катушки индуктивности и конденсаторы.
Переходные процессы не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи: магнитного поля в катушке индуктивности и электрического поля в конденсаторе . Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасённой энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора её значению для нового состояния цепи.
Переходной процесс протекает в течение определённого времени, которое зависит от запасов энергии в реактивных элементах цепи, которая в свою очередь зависит от величин и , чем они больше, тем больше энергии запасается. Его продолжительность может быть небольшой, от долей секунды до долей микросекунды, но токи и напряжения, которые будут сопровождать этот процесс, могут значительно превышать токи и напряжения в стационарных режимах и могут нарушить работу устройства вплоть до вы-хода его из строя.
С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода элек-тронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.
В электрических цепях, содержащих только резистивные элементы, энергия электромагнитного поля не запасается, из-за чего переходные процессы в них не возникают и мгновенно, скачком устанавливаются стационарные режимы.
Однако, всё таки стоит отметить, что в действительности любой элемент электрической цепи (да и не только цепи) обладает каким-то сопротивлением , индуктивностью и ёмкостью .
Заметим также, что в данной работе рассматриваются переходные процессы в линейных электрических цепях. Поэтому исключается из рассмотрения такой нелинейный элемент, как электрическая дуга, возникающая при отключении и включении. Для этого предполагается, что длительность коммутации по сравнению с длительностью переходного процесса очень мала, то есть считается, что переключение осуществляется мгновенно.
Для расчёта переходных процессов используются различные методы:
1. Классический метод, заключающийся в непосредствен-ном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.
2. Операторный метод, заключающийся в решении систе-мы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.
3. Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.
4. Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.
5. Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).
Наиболее распространёнными из них являются классический и операторный методы. Рассмотрим, прежде всего, классический метод, поскольку он наиболее хорошо раскрывает физическую сущность происходящих переходных процессов.

7.1.1. Классический метод расчёта переходных процессов

Пусть имеется неразветвлённая электрическая цепь с последовательным соединением активного сопротивления, индуктивности и ёмкости, подключённая к источнику постоянной э.д.с. (рис. 7.1).
Для определения в этой цепи изменения во времени тока и напряжения применим второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС в любом контуре цепи равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах этого контура
, (7.1)
где – ток переходного процесса (переходной ток);
– напряжение на активном сопротивлении;
– напряжение на индуктивности, равное, но противоположному по знаку э.д.с. самоиндукции;
– напряжение на ёмкости как отношение заряда к величине ёмкости .

Пределы интегрирования берутся от до t – времени рассмотрения процесса, чтобы учесть все, имевшиеся к началу отсчёта времени заряды на ёмкости. Уравнение (7.1) справедливо для любого момента времени независимо от того, успел ли в цепи установиться некоторый стационарный режим или нет.
Когда переходной процесс заканчивается, наступает принуждённый (стационарный или установившийся) режим. Этот режим называют принуждённым, поскольку он принудительно создаётся источником э.д.с. (или тока).
Когда наступает принуждённый режим, в цепи будет протекать принуждённый ток и уравнение (7.1) можно записать в виде
. (7.2)
Вычтем почленно уравнение (7.2) из уравнения (7.1) и обозначим
,
получим
, (7.3)
или
. (7.4)

Разности токов и напряжений переходного процесса и принуждённого режимов называются соответственно током и напряжением свободного процесса или просто свободным током и напряжением.
Свободный процесс вызывается несоответствием между энергией, сосредоточенной в электрическом и магнитном полях ёмкостных и индуктивных элементов в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, и энергией этих элементов при новом установившемся стационарном режиме в момент времени, непосредственно следующий за коммутацией.
Таким образом, процесс, происходящий в цепях во время переходного режима до достижения стационарного режима, можно рассматривать, как состоящий из двух наложенных друг на друга процессов: одного принуждённого, соответствующего стационарному режиму, если бы он мог установиться мгновенно с самого начала переходного режима, и другого свободного, добавочного процесса, наблюдаемого только в переходный период. Наложением друг на друга обоих этих процессов и достигается в пере-ходный период постепенное и непрерывное приближение к новому стационарному состоянию. Таким образом при расчёте простейшей неразветвлённой цепи необходимо учитывать три процесса (режима): переходный, принуждённый и свободный.
Аналогично рассмотренным процессам, как ток, так и напряжения на отдельных элементах цепи могут быть представлены для переходного режима, как состоящие из двух слагающих: слагающей принуждённого тока и напряжения и слагающей свободного тока и напряжения.
Цепь, приведённая на рис. 7.1, представляет собой цепь второго порядка. Порядок цепи и характеристического уравнения, используемого при решении уравнения (7.1) определяется числом имеющихся в ней разнородных реактивных элементов-накопителей энергии, то есть зависит от количества и элементов и от их соединения в цепи. Последовательно включённые индуктивности и параллельно включённые ёмкости не по-вышают порядок цепи и её характеристического уравнения, так как в этом случае они считаются за одну индуктивность и одну ёмкость, соответственно.
При наличии опыта по виду схемы можно сразу определить порядок характеристического уравнения (рис. 7.2).


Название метода “классический” отражает использование в нём методов классической математики для решения дифференциальных уравнений с постоянными параметрами.
Уравнение (7.1) после дифференцирования примет вид неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
. (7.5)
Расчёт переходного процесса в цепи классическим методом содержит следующие этапы.
1. Для каждой ветви схемы, получающейся после коммутации, задаётся положительное направление тока. На основании законов Ома, Кирхгофа, электромагнитной индукции и др. составляется система уравнений описывающих состояние цепи после коммутации. Далее исключением переменных получается одно диффе-ренциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно тока или напряжения .
Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве определяемой величины выбирается либо ток в индуктивности, либо напряжение на ёмкости.
2. Находится общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.
Для получения частного решения выбирается установившийся режим в рассматриваемой цепи, то есть постоянные напряжения и токи, если в цепи действуют источники постоянных э.д.с. и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных э.д.с. и токов. Напряжения и токи установившегося принуждённого режима обозначают и .
Для получения общего решения выбирается процесс в цепи без источников э.д.с. и тока, который поэтому и называется свободным процессом. Выражения для напряжения и тока свободного процесса должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.
3. В общем решении и находятся постоянные интегрирования.
Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, то есть условий в начальный момент времени после коммутации. Считается, что коммутационные ключи являются идеальными, то есть, что коммутация в заданный момент времени происходит мгновенно. При таких коммутациях ток в индуктивном элементе и напряжение на ёмкостном элементе в начальный момент времени после коммутации (обозначается ), такие же, как в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, (обозначается ). Эти условия получаются из законов коммутации.
Законы коммутации связаны с непрерывностью изменения энергии магнитного поля катушки индуктивности и энергии электрического поля ёмкости , о чём уже ранее говорилось. Эти законы формулируются следующим образом.
1-й закон коммутации (связан с индуктивностью). Ток в индуктивности в первый момент времени непосредственно после коммутации остаётся таким же, каким он был в момент времени непосредственной перед коммутацией, а затем плавно изменяется
(7.6)
2-й закон коммутации (связан с ёмкостью). Напряжение на ёмкости в первый момент времени непосредственно после коммутации остаётся таким же, каким оно было в момент времени непосредственной перед коммутацией, а затем плавно изменяется
. (7.7)
Если говорить коротко о законах коммутации, то их можно сформулировать в следующем сжатом виде: ток в индуктивном элементе и напряжение на ёмкостном элементе скачком измениться не могут.
Рассмотрим теперь переходные процессы, возникающие при коммутации в цепи постоянного тока.

7.1.1.1. Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним индуктивным элементом

1. Подключение источника постоянной э.д.с. к неразветвлённой цепи с резистивным и индуктивным эле-ментами.
Рассмотрим переходной процесс в цепи, происходящий после замыкания ключа К в момент времени (рис. 7.3, а), при этом будем придерживаться этапов расчёта классическим методом, приведённых в п. 7.1.1.
1. Выбираем положительные направления тока и напряжения и по часовой стрелке (рис. 7.3, а). Составим систему уравнений, описывающих состояние цепи на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и закона электромагнитной индукции:
, , . (7.8)


Решим эту систему уравнений относительно тока , подставив в первое выражения два последующих для переменных и . В итоге получим неоднородное дифференциальное уравнение переходного процесса первого порядка.
. (7.9)

2. Далее найдём общее решение неоднородного дифференциального уравнения (7.9) как сумму его частного решения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения:
Частным решением неоднородного дифференциального уравнения первого порядка (7.9) является постоянный ток (нет изменения тока и поэтому ) после окончания переходного процесса (который теоретически продолжается бесконечно), то есть , откуда принуждённый ток
. (7.10)
Свободный ток найдётся при решении соответствующего однородного дифференциального уравнения (уравнение (7.9) без
правой части, то есть без источников э.д.с. в цепи)
. (7.11)
Характеристическое уравнение для этого выражения будет иметь вид
, его корень равен .
Общее решение однородного уравнения будет иметь вид
. (7.12)
Таким образом, общее решение уже всего неоднородного дифференциального уравнения с учётом (7.10) и (7.12) будет иметь вид
. (7.13)
3. Для окончательного решения уравнения (7.13) определим постоянную интегрирования А в общем решении. Для этого необходимы какие-то начальные условия. В качестве таковых будем использовать законы коммутации. Поскольку в данной цепи имеется индуктивность, то обратимся к первому закону коммутации, который утверждает, что в момент замыкания ключа ток в индуктивном элементе не может измениться скачком. Поскольку он до коммутации и после коммутации равен ну-лю, то из уравнения (7.13) имеем , откуда
. (7.14)
Подставим это выражение в уравнение (7.13), получим закон изменения тока переходного процесса в цепи (рис. 7.2, б).
, (7.15)
где – постоянная времени, которая имеет размерность времени (Гн/Ом или с). Постоянная времени определяет скорость нарастания тока в цепи и равна времени, за которое переходной ток достиг бы установившегося принуждённого значения , если бы скорость его изменения оставалась неизменной и равной начальному значению скорости .
Переходной процесс часто считается практически закончившимся через интервал времени с момента коммутации, когда ток достигнет значения .
Зная зависимость тока от времени (7.15) легко найти и зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах (рис. 7.3, б)
; .
При скорость изменения тока в цепи можно считать приближённо постоянной и равной
2. Короткое замыкание катушки индуктивности с током.
Рассмотрим переходной процесс в цепи катушки индуктивности с током, обладающей кроме индуктивности , также сопротивлением , при замыкании её накоротко ключом . Такие процессы происходят в обмотках электрических машин и аппаратов. Для этого представим катушку индуктивности схемой замещения в виде последовательного соединения индуктивного и резистивного элементов (рис. 7.4, а).


Дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи после замыкания ключа запишется в виде
. (7.16)
Данное выражение представляет собой дифференциальное однородное уравнение (уравнение без правой части), поэтому его общее решение содержит только свободную составляющую (7.12) . Характеристическое уравнение для (7.16) имеет вид , откуда . Тогда
, (7.17)
где – постоянная времени цепи.
Найдём значение постоянной . Для этого снова используем первый закон коммутации, применяемый для индуктивного элемента (7.6). До замыкания ключа и, следовательно, в момент времени в катушке был постоянный ток, равный , то . Подставляем значение постоянной в (7.17) и получим ток в катушке индуктивно-сти:
. (7.18)
Ток в катушке индуктивности после коммутации (рис. 7.4, б) поддерживается за счёт энергии, накопленной в её магнитном поле.
Зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах будут иметь вид (рис. 7.4, б):
, .

3. Размыкание цепи с катушкой индуктивности.
Рассмотрим переходной процесс, протекающий в неразветвлённой электрической цепи с катушкой индуктивности при размыкании контактов, параллельных резистивному элементу (рис. 7.5, а).
В этом случае между размыкающимися контактами возникает дуговой разряд. Такой разряд в частности наблюдается в скользящих контактах электрического транспорта или между щётками и коллектором постоянного двигателя. Это вызывает эрозию соприкасающихся элементов и их дальнейшее разрушение. Чтобы дугового разряда не было необходимо параллельно участку цепи между контактами включить резистор.


На рис. 7.5, а приведена схема замещения электрической цепи, в которой катушка индуктивности представлена последовательным соединением индуктивного и резистивного элементов, а выключатель представлен в виде параллельного соединения идеального ключа и резистивного элемента .
Рассмотрим переходной процесс в цепи после размыкания ключа, для чего составим дифференциальное уравнение, его описывающее:
. (7.19)
Это уравнение совпадает с уравнением (7.9). Следовательно, и его общее решение должно совпадать с уравнением (7.13)
, (7.20)
где – принуждённая установившаяся составляющая тока, равная постоянному току в цепи после размыкания ключа.
Для определения постоянной снова применим первый закон коммутации. До размыкания ключа, то есть при , в катушке был постоянный ток . Поэтому по закону коммутации справедливо выражение , откуда получим .
Подставим найденное значение постоянной в выражение (7.20) определим ток в цепи катушки индуктивности после размыкания ключа (рис. 7.5, б)
, (7.21)
где – постоянная времени цепи.
По формуле (7.21), устанавливающей зависимость тока в цепи от величин индуктивных и резистивных элементов цепи и времени, легко определить зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах (рис. 7.5, б).
;
;
.
После размыкания ключа в первый момент времени напряжение на резисторе скачком возрастает от нуля до . Поэтому при между контактами ключа появляется значительное напряжение, которое и может вызвать дуговой разряд.

7.1.1.2. Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним ёмкостным элементом

Рассмотрим теперь переходные процессы в цепи при за-рядке и разрядке ёмкостного элемента.
1. Подключение источника постоянной э.д.с. к неразветвлённой цепи с резистивным и ёмкостным эле-ментами.
Рассмотрим переходной процесс в цепи с ёмкостью, происходящий после замыкания ключа (рис. 7.6, а).



Как нам уже известно, если в цепи имеется один реактивный накопительный элемент или несколько однотипных накопительных элементов, то переходной процесс в цепи описывается неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. В цепи (рис. 7.6, а) имеется один ёмкостной накопительный элемент. На основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и соотношения между током зарядки и напряжением в ёмкостном элементе (данное выражение получим, если продифференцируем выражение ) имеем
. (7.22)
В цепи с ёмкостным элементом в качестве определяемых переменных выступают напряжения, поэтому их и будем находить при решении уравнения (7.22).
Общее решение этого уравнения представляет собой сумму двух составляющих
.
Первая составляющая соответствует принуждённому установившемуся режиму
, (7.23)
поскольку зарядка ёмкостного элемента заканчивается, когда напряжение на конденсаторе будет равно напряжению источника э.д.с.
Вторая составляющая, определяющая свободный процесс, соответствует решению однородного дифференциального уравнения первого порядка
,
характеристическое уравнение которого будет иметь вид , а его корень . Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения будет иметь вид
, (7.24)
а общее решение неоднородного дифференциального уравнения (7.22)
. (7.25)
Для определения значения постоянной снова применим закон коммутации, но уже второй закон, касающийся ёмкостного элемента. Считаем, что до замыкания ключа в момент времени ёмкость не была заряжена. Отсюда
, откуда .
Подставляем значение постоянной в (7.25) и найдём на-пряжение на ёмкостном элементе после замыкания ключа, то есть во время зарядки (рис. 7.6, б).
, (7.25)
где – постоянная времени цепи, имеющая размерность времени (Ом•Ф = Ом•А•с/В = с). Она так же, как и постоянная времени цепи, на рис. 7.3 определяет скорость переходного процесса.
По зависимости (7.25) можно определить зависимость от времени зарядного тока и напряжения на резистивном элементе
; .
Графики данных зависимостей показаны на рис. 7.6, б.
Отметим, что в первый момент времени после замыкания ключа при ток в цепи ; конденсатор в этот момент как бы коротко замкнут (напряжение на нём равно нулю).
Поэтому при малом значении сопротивления в цепи может произойти значительный скачок тока.
При скорость изменения напряжения на ёмкости можно приближённо считать постоянной: , а напряжение – пропорциональным инте-гралу напряжения источника э.д.с .
В большинстве случаев процесс зарядки считается законченным через интервал времени равный . Этот интервал времени может быть достаточно большим (чем больше и , тем больше и ), что широко используется, в частности, в реле времени – устройствах, срабатывающих по истечении определённого времени.

2. Разрядка ёмкостного элемента через резистивный элемент.
Рассмотрим переходной процесс в цепи ёмкостного элемента, происходящий после его замыкания на резистор (рис. 7.7, а). Согласно схеме на этом рисунке ёмкость уже предварительно заряжена. Следовательно, в её электрическом поле сосредоточена энергия, за счёт которой ёмкостной элемент может служить сам источником энергии в течение некоторого времени. Подключённый к источнику энергии элемент заряжается до напряжения . После его переключения на резистор с сопротивлением ток в цепи будет обусловлен изменением заряда ёмкостного элемента
, (7.26)
где знак минус указывает, что ток – это ток разрядки в кон-туре цепи, направленный встречно напряжению на ёмкостном элементе (рис. 7.7, а).



Дифференциальное уравнение переходного процесса в контуре цепи, образованном конденсатором и резистором после переключения на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и соотношения (7.26) будет иметь вид
. (7.27)
Как видим это однородное дифференциальное уравнение, так как в цепи разрядки ёмкостного элемента нет источника э.д.с. и его общее решение состоит только из свободной составляющей вида (7.24)
. (7.28)

Постоянную будем определять, снова используя закон коммутации для ёмкостного элемента. До коммутации, в момент времени , ёмкостной элемент был заряжен до напряжения источника, поэтому
.
Подставим значение постоянной в (7.28) и получим закон изменения напряжения при разрядке ёмкостного элемента (рис. 7.7, б).
,
где – постоянная времени цепи.
Разрядный ток найдём по выражению (7.26).
.

Ток разрядки изменяется скачком от нуля до значения , и далее убывает по экспоненте (рис. 7.7, б).
Рассматривать вариант короткого замыкания конденсатора, как было с катушкой индуктивностью, не имеет смысла, поскольку в этом случае это будет действительно короткое замыкание, так как резистор должен отсутствовать.

7.1.1.3. Переходные процессы в цепи постоянного тока с ёмкостным, индуктивным и резистивным элементами

1. Разрядка ёмкостного элемента в цепи с резистивным и индуктивным элементами. Это процесс имеет в некоторых случаев большое практическое значение, например, в генераторах им-пульсов напряжений с конденсаторами в качестве источников энергии.
Пусть ёмкость (рис. 7.8) была сначала заряжена от источника по-стоянной э.д.с. до напряжения, равного (ключ К в положе-нии 1).



Затем ключ К переводится в положение 2 и ёмкостной эле-мент подключается к последовательно соединённым индуктивному и резистивному элементам (резистор может быть и в составе схемы замещения катушки индуктивности).
Ёмкость начинает разряжаться (ток разрядки ), его заряд и напряжение убывают. При этом энергия электрического поля ёмкостного элемента преобразуется в энергию магнитного поля индуктивного элемента и частично рассеивается в резистивном элементе.
Для контура, образованного ёмкостью , резистором и индуктивностью составим дифференциальное уравнение на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и закона электромагнитной индукции :
. (7.28)
Направления тока и напряжения на ёмкостном элементе противоположны, поэтому ток – это ток разрядки и он равен
. (7.29)
Подставим уравнение (7.29) в (7.28) и получим однородное дифференциальное уравнение цепи второго порядка
. (7.30)
Его характеристическое уравнение будет иметь вид
, (7.31)
корни которого равны
. (7.32)
Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка будет состоять только из свободной составляющей, поскольку правая часть равна нулю, так как в цепи нет источников э.д.с.
. (7.33)
В зависимости от значений параметров элементов цепи процесс разрядки может быть апериодическим или колебательным.
При оба корня характеристического уравнения действительные и отрицательные и разрядка ёмкостного элемента имеет апериодический характер.
При корни комплексные и сопряжённые и разрядка будет иметь колебательный характер. В этом случае между катушкой и ёмкостью происходит обмен энергией.
Рассмотрим оба этих случая.
1.1. Разрядка ёмкостного элемента в цепи с резистивным и индуктивным элементами при колебательном процессе разрядки. Как уже сказано в этом случае корни характеристического уравнения комплексные и сопряжённые и выражение (7.32) можно представить в виде
, (7.34)
где – коэффициент затухания; – собственная угловая частота колебательного процесса.
Подставим комплексные значения корней в уравнение (7.33) и получим зависимость напряжения на ёмкости от времени при колебательном процессе
. . (7.35)
Аналогично для разрядного тока (7.29) получим
(7.36)
Для определения постоянных интегрирования и , как и ранее при решении предыдущих задач, обратимся к законам коммутации, но уже и для индуктивного и ёмкостного элементов.
До коммутации, в момент времени , напряжение на ёмкости равнялось э.д.с. источника, а тока в индуктивности не было. Поэтому
;
,
и ; .
Подставим найденные постоянные в уравнение (7.35) и получим
.
Далее учтём в наших преобразованиях, что по формуле Эйлера
. В результате получим зависимость изменения напряжения на ёмкостном элементе от времени в виде
. (7.37)
Сумму косинусоидальной и синусоидальной функций заменим одной синусоидальной функцией. Для этого положим, что отношение , то есть считаем, что и – катеты прямоугольного треугольника (рис. 7.9, а), гипотенуза которого
.
Выполним следующие преобразования




Учитывая, что (рис. 7.9, а), а
также тригонометрическое преобразование , получим
. (7.38)
Разрядный ток по (7.29) будет равен
. (7.39)
Полученные зависимости (7.38) и (7.39) показывают, что напряжение ёмкостного элемента и разрядный ток представляют собой синусоидальные изменяющиеся во времени величины. При этом амплитуды уменьшаются по экспоненте с параметром в показателе экспоненты , где – постоянная времени.
Для построения графиков полученных зависимостей сначала строятся вспомогательные экспоненты для напряжения (пунктирные линии на рис. 7.9, а) и для тока (сплошные линии). Графики синусоид напряжения и тока должны вписаться в пределы, ограниченные указанными вспомогательными экспонентами. Для нахождения особых точек кривой изменения напряжения на ёмкостном элементе таких, как и , на рис. 7.9, б показана точками вспомогательная кривая – синусоида.

1.2. Разрядка ёмкостного элемента в цепи с резистивным и индуктивным элементами при апериодическом процессе разрядки. В этом случае и корни характеристического уравнения действительные и имеют отрицательные различные значения, причём .
¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬Общее решение в этом случае сохраняется и имеет вид выражения (7.33). Для нахождения в нём постоянных и снова используем законы коммутации для ёмкостного и индуктивного элементов
;

,
откуда
, .
Подставим эти значения в (7.33), получим выражение для напряжения на ёмкостном элементе
, (7.40)
и тока разрядки
. (7.41)
На рис. 7.10 показаны кривые изменения напряжения и то-ка. Здесь штриховыми линиями нанесены вспомогательные экспоненты. В течение всего переходного процесса напряжение и ток остаются положительными, то есть разрядка ёмкостного элемента апериодическая.



Для предельного случая апериодического процесса при характеристическое уравнение имеет два одинаковых
действительных корня (кратные корни).
При кратных корнях общее решение дифференциального уравнения (7.30) отличается от (7.33) и записывается в виде , где постоянные и определяются на основании законов коммутации. В итоге в результате решения уравнения (7.30) напряжение на ёмкостном элементе и ток во время предельного апериодического процесса разрядки будут равны
, .

7.1.1.4. Подключение источника постоянной э.д.с. к цепи с индуктивным, резистивным и ёмкостным элементами

Нами был рассмотрен процесс разрядки ёмкостного элемента, происходящий в схеме (рис. 7.8), который описывался однородным дифференциальным уравнением (7.30). В отличие от него процесс зарядки с такими же элементами от источника постоянной э.д.с. (рис. 7.11, а) описывается неоднородным дифференциальным уравнением
.
Решение такого уравнения, как мы уже знаем, представляет собой наложение установившегося и свободного процессов
,
где составляющая свободного процесса совпадает с уравнением (7.33), а составляющая принуждённого установившегося процесса равна (зарядка до напряжения равного э.д.с.). Таким образом, общее решение для напряжения на ёмкостном элементе будет иметь вид
. (7.42)


Зарядный ток
. (7.43)
До замыкания ключа напряжения на емкостном элементе и тока в цепи не было. Используя законы коммутации в качестве начальных условий, получим для момента замыкания ключа ( ) два уравнения для определения двух постоянных и
;

,

откуда постоянные будут равны
, .
Рассмотрим только колебательный процесс зарядки [см. (7.34)]. Выполнив соответствующие преобразования, аналогичные переходу от (7.37) к (7.38) и (7.39) получим зависимости изменения во времени напряжения на ёмкостном элементе и зарядного тока (рис. 7.11, б).
. (7.44)
. (7.45)
Напряжение на ёмкости достигает наибольшего значения в момент времени . Оно зависит от постоянной времени и периода собственных колебаний , и тем больше, чем больше постоянная времени по сравнению с периодом собственных колебаний. В пределе напряжение может почти в 2 раза превышать установившееся напряжение. Такое перенапряжение может быть опасно для изоляции высоковольтных установок, поскольку может привести к её пробою. Поэтому, чтобы исключить перенапряжение, необходимо обеспечить апериодический режим зарядки, для чего достаточно включить последовательно в цепь добавочный резистор.

7.1.1.5. Подключение источника синусоидальной э.д.с. к цепи с индуктивным и резистивным элементами

При установившемся режиме в неразветвлённой линейной электрической цепи с источником синусоидальной э.д.с. ток определяется по выражению
, (7.46)
где – амплитуда тока; – аргумент комплексного сопротивления цепи; – начальная фаза.
Неоднородное дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи (рис. 7.12), возникающего после замыкания ключа, аналогично уравнению (7.9), то есть имеет вид
.


Общее решение этого уравнения равно сумме свободной (7.12) и установившейся принуждённой составляющих тока
. (7.47)
И снова, используя законы коммутации, определим постоянную . В данном случае, на основании закона коммутации для индуктивности для момента времени справедливо равенство
,
откуда .
Подставив это значение в (7.47) получим
, (7.48)
где – постоянная времени цепи.
Из этого выражения следует, что во время переходного процесса ток в цепи состоит из синусоидальной составляющей с постоянной амплитудой и свободной составляющей, которая убывает экспоненциально (рис. 7.12, б).
Через интервал времени равный свободная составляющая убывает на 95% от своего первоначального значения и ею можно пренебречь.
Момент коммутации может совпасть с любым сдвигом фазы. Если начальная фаза напряжения источника синусоидальной э.д.с. , то свободная составляющая тока равна нулю. Отсюда следует, что переходного процесса в цепи не будет, и сразу установится принуждённый режим с синусоидальным током.
Если начальная фаза напряжения источника э.д.с. , то интенсивность переходного процесса будет наибольшей. И тогда в момент времени максимум тока будет наибольшим и близким к в пределах времени .
Аналогично расчётам, приведённым в этом разделе для цепи с резистивным и индуктивным элементами, вычисляются переходные процессы при подключении источника синусоидальной э.д.с. к цепи с последовательным соединением резистивного и ёмкостного элементов и для других случаев соединений.
В этих цепях также переходной процесс зависит от начальной фазы напряжения источника: он отсутствует при , где , и наиболее сильно выражен при , когда максимальное напряжение на ёмкостном элементе может почти в 2 раза превысить амплитуду установившегося напряжения и привести к пробою изоляции в высоковольтных установках.

7.1.2. Операторный метод расчёта переходных процессов

Данный метод по сравнению с классическим не обладает физической наглядностью (это и обусловило предварительное рассмотрение классического метода), но в ряде случаев упрощает расчёты. Суть данного метода заключается в том, что расчёт переходного процесса переходит из области функций действительной переменной (времени ) в область функций комплексного переменного , в которой дифференциальное уравнение преобразуется в алгебраическое.
Такое преобразование называется прямым. Затем полученное решение алгебраических уравнений обратным преобразованием переносится в область действительного переменного.
Данный метод строго обосновывается в курсе математики. В пределах данного практикума ознакомимся только с техникой применения операторного метода.
Прямое преобразование функций времени осуществляется на основе преобразования Лапласа
. (7.49)
Это выражение сокращённо записывается так
,
где однозначная функция времени , называемая оригиналом, определяется при , интегрируется в интервале времени от 0 до и равна нулю при ; – функция комплексного переменного при Re , называемая лапласовым изображением.
Таким образом, оригиналу ставится в соответствие изображение . В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор , а интегрирование – делением на него. Это определяет переход от системы интегрально-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений определяемых переменных.
Важнейшим моментом при решении этих уравнений является необходимость определения только независимых начальных условий, что облегчает расчёт переходных процессов по сравнению с классическим методом.
Считаем, что начало переходного процесса в цепи соответствует моменту времени . Изображения некоторых простых
функций приведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1
Изображения функций по Лапласу
Функция оригинал
Изображение
функции

Выражение функции Вид функции

(единичная функция)




















У преобразования Лапласа имеется ряд свойства, которые ещё называются теоремами.
1. Теорема о сложении или линейность преобразования
. (7.50)
2. Теорема об интегрировании
. (7.51)
3. Теорема о дифференцировании
. (7.52)
4. Теорема запаздывания
. (7.53)

Рассмотрим, каким образом выглядят законы Ома, Кирхгофа и др. в операторной форме
Преобразование (7.49) даёт возможность получить соотношения между напряжением и током в операторной форме для резистивного, индуктивного и ёмкостного элементов.
Изображение напряжения на резистивном элементе в соответствии с (7.28)
. (7.54)
Данное выражение называется законом Ома в операторной форме для резистивного элемента (рис. 7.13, а).
Изображение напряжения на индуктивном элементе в операторной форме с учётом (7.50) и (7.52) будет иметь вид

, (7.55)
где – ток в индуктивном элементе в момент коммутации , учитывающий начальные условия (7.6).



Напряжение на ёмкостном элементе, начиная с момента времени возникновения переходного процесса в общем случае,
,
где – напряжение на ёмкостном эле-менте, соответствующее начальному условию (7.7).
Найдём изображение напряжения . Для этого используем изображение единичной функции (табл. 7.1) и соотношения (7.50) и (7.51). В итоге получим изображение напряжения в операторной форме.
. (7.56)
Выражениям (7.55) и (7.56) соответствуют схемы замещения индуктивного и ёмкостного элементов в операторной форме (рис. 7.13, б и в).
Если начальные условия нулевые и , то выражения (7.55) и (7.56) определяют закон Ома в операторной форме для индуктивного и ёмкостного элементов соответственно
, (7.57)
. (7.58)
где и – сопротивления индуктивного и ёмкостного элементов в операторной форме.
1-й закон Кирхгофа в операторной форме.
Для его получения воспользуемся таким свойством преобразования Лапласа, как его линейность (7.55). При этом учтём, что для классического метода алгебраическая сумма токов в любом узле цепи равна нулю . 1-й закон Кирхгофа в операторной форме будет иметь вид
, (7.59)
где (рис. 7.14, б).



2-й закон Кирхгофа в операторной форме.
Для любого контура в классическом виде этот закон записывается следующим образом . Его представление в
операторной форме будет иметь вид
, (7.60)
или
, (7.61)
где и .

Расчёт переходного процесса операторным методом.
1. Исходные данные о параметрах всех элементов цепи представить в операторной форме. Для этого,
во – первых, все э.д.с. источников напряжения и токи источников тока, заданные мгновенными значениями и , представить в соответствии с преобразованием (7.49) своими изображениями и ;
во – вторых, все пассивные элементы – представить схемами замещения соответственно рис. 7.12.
2. Для составленной схемы замещения в операторной форме найти и решить полную систему независимых уравнений по первому (7.59) и второму (7.60), (7.61) законам Кирхгофа в операторной форме. Это означает необходимость найти изображение искомой величины, например ток или напряжение .
3. В большинстве случаев изображение имеет вид рациональной дроби , для которой обратным преобразованием находится оригинал , например ток . Для этого применяется теорема разложения в виде выражения
, (7.62)
где и – многочлены в числителе и знаменателе изображения ; – производная многочлена по ; – корни многочлена , в котором пред-полагается, что корни простые.
Если получаются кратные корни, то теорема разложения записывается в другой форме.
Пример 7.1
Рассчитать ток в цепи, содержащей 3 ветви и 2 узла (рис. 7.15, а) при ЭДС (рис. 7.15. б) и нулевых начальных условиях, то есть при , операторным методом.
Решение
Расчёт переходного процесса будем вести согласно представленным выше этапам.
1. По правилам, представленным на рис. 7.13, составим схему замещения в операторной форме (рис. 7.15, в), где – изображение функции э.д.с. , найденное с помощью преобразования Лапласа (7.49) или выписанное из таблицы 7.1, если там имеется соответствующая функция оригинала .
2. Для составленной схемы замещения в операторной форме (7.15, в) находим все необходимые уравнения в операторной форме.



Для этого выбираем положительные направления токов(7.14, в) и составляем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а
(7.63)
и два уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров 1 и 2
;
,
или, выражая напряжения через токи, будем иметь уравнения
; (7.64)
, (7.65)
в которых учтены законы Ома для пассивных элементов.
Для получения тока в операторной форме необходимо решить систему из трёх алгебраических уравнений (7.63) – (7.65).
.

Многочлен имеет два корня: и , а . В соответствии с теоремой разложения (7.62) определим ток:
.
Его график показан на рис. 7.15, б.
На практике в большинстве случаев не обязательно пользоваться прямым (7.49) и обратным (7.62) преобразованиями, так как существуют достаточно большие справочные материалы в виде таблиц, содержащие функции оригиналы и их изображения, подобные приведённым в табл. 7.1.

2.2. ЗАДАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ

1. Для электрической цепи (рис. 7.16, а) установить зависимость изменения переходных тока в катушке и напряжения на катушке при переходном процессе после включения источника постоянного напряжения в цепь и изобразить их графически. Активное сопротивление катушки индуктивности , а её индуктивность . Определить энергию магнитного поля катушки до момента времени, равного времени , после включения выключателя.
Данное задание и все последующие решить для индивидуального варианта исходных данных, приведённых в табл. 7.2.
Пример решения задания
Задание решаем согласно п.7.1.1.1.
1.Выбираем положительные направления тока и напряжения и по часовой стрелке (рис. 7.16, б).




Составим систему уравнений, описывающих состояние цепи на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и закона электромагнитной индукции:
, , . (7.66)
Решим эту систему уравнений относительно тока , подставив в первое выражения два последующих для переменных и . В итоге получим неоднородное дифференциальное уравнение переходного процесса первого порядка.
. (7.67)
2. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (7.67) найдём как сумму его частного решения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения:
Частным решением неоднородного дифференциального уравнения (7.67) является постоянный ток (нет изменения тока и поэтому ) после окончания переходного процесса (который теоретически продолжается бесконечно), то есть , откуда принуждённый ток
. (7.68)
Свободный ток найдётся при решении соответствующего однородного дифференциального уравнения (7.67) без правой части, то есть без источников э.д.с. в цепи
. (7.69)
Характеристическое уравнение для этого выражения будет иметь вид
, его корень равен .
Общее решение однородного уравнения будет иметь вид
. (7.70)
Таким образом, общее решение уже всего неоднородного дифференциального уравнения (7.67) с учётом (7.68) и (7.70) будет иметь вид
. (7.71)
3. Для окончательного решения уравнения (7.71) осталось определить постоянную интегрирования А. Для этого используем начальные условия, в качестве которых выступает первый закон коммутации, утверждающий, что в момент замыкания ключа ток в индуктивном элементе не может измениться скачком. Поскольку он до коммутации и после коммутации равен нулю, то из уравнения (7.71) имеем , откуда
. (7.72)
Подставим это выражение в уравнение (7.71), получим закон изменения тока переходного процесса в цепи.
, (7.73)
где – постоянная времени, которая имеет размерность времени (Гн/Ом или с).
Для наших данных .
Зная зависимость тока от времени (7.73) легко найти и зависимость напряжения от времени на катушке индуктивности
. (7.74)
В табл. 7.2 представлены результаты расчётов переходных токов и напряжения на катушке индуктивности во времени, а соответствующие графики на рис. 7.16, в.

Таблица 7.2
Результаты расчётов переходных тока и напряжения
, с
0 0,05 0,1 0,3 0,6 1

0,199 51,791 63,348 66,658 66,667 66,667

199,40 44,626 9,957 0,025 0,00001 0

Энергию магнитного поля катушки индуктивности находим по формуле для момента времени равного , то есть для момента времени . Ток для этого момента . Энергия .
2. Для электрической цепи (рис. 7.17, а) установить зависимость изменения переходных тока и напряжения на ёмкости при переходном процессе после размыкания ключа и изобразить их графически. Параметры элементов цепи имеют следующие значения: ; ; .
Пример решения задания
При размыкании ключа К происходит изменение напряжения на ёмкости С. Найдём начальное и конечное значения напряжения на ней. Начальное напряжение на ёмкости до размыкания ключа определяется током источника через два параллельно включённых сопротивления и , поскольку через конденсатор постоянный ток не течёт.
.
Конечное напряжение после размыкания ключа, равное принуждённому значению напряжения на ёмкости, будет определяться током источника только через сопротивление
.



Переходной процесс в схеме связан с перезарядом ёмкости С от начального напряжения до конечного напряжения . При этом ток через ёмкость С в начальном и конечном режимах не протекает, поэтому напряжение на сопротивлении , которое включено последовательно с ёмкостью С, существует только при перезарядке ёмкости.
После размыкания ключа К схема примет вид (рис. 7.17, в). Составим для этой схемы уравнения по первому и второму законам Кирхгофа















1.Выбираем положительные направления тока и напряжения и по часовой стрелке (рис. 7.16, б).






приведённых в п. 7.1.1.
1. Выбираем положительные направления тока и напряжения и по часовой стрелке (рис. 7.3, а). Составим систему уравнений, описывающих состояние цепи на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и закона электромагнитной индукции:
, , .
Решим эту систему уравнений относительно тока , подставив в первое выражения два последующих для переменных и . В итоге получим неоднородное дифференциальное уравнение переходного процесса первого порядка.
. (7.9)

2. Далее найдём общее решение неоднородного дифференциального уравнения (7.9) как сумму его частного решения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения:
Частным решением неоднородного дифференциального уравнения первого порядка (7.9) является постоянный ток (нет изменения тока и поэтому ) после окончания переходного процесса (который теоретически продолжается бесконечно), то есть , откуда принуждённый ток
. (7.10)
Свободный ток найдётся при решении соответствующего однородного дифференциального уравнения (уравнение (7.9) без
правой части, то есть без источников э.д.с. в цепи)
. (7.11)
Характеристическое уравнение для этого выражения будет иметь вид
, его корень равен .
Общее решение однородного уравнения будет иметь вид
. (7.12)
Таким образом, общее решение уже всего неоднородного дифференциального уравнения с учётом (7.10) и (7.12) будет иметь вид
. (7.13)
3. Для окончательного решения уравнения (7.13) определим постоянную интегрирования А в общем решении. Для этого необходимы какие-то начальные условия. В качестве таковых будем использовать законы коммутации. Поскольку в данной цепи имеется индуктивность, то обратимся к первому закону коммутации, который утверждает, что в момент замыкания ключа ток в индуктивном элементе не может измениться скачком. Поскольку он до коммутации и после коммутации равен ну-лю, то из уравнения (7.13) имеем , откуда
. (7.14)
Подставим это выражение в уравнение (7.13), получим закон изменения тока переходного процесса в цепи (рис. 7.2, б).
, (7.15)
где – постоянная времени, которая имеет размерность времени (Гн/Ом или с). Постоянная времени определяет скорость нарастания тока в цепи и равна времени, за которое переходной ток достиг бы установившегося принуждённого значения , если бы скорость его изменения оставалась неизменной и равной начальному значению скорости .
Переходной процесс часто считается практически закончившимся через интервал времени с момента коммутации, когда ток достигнет значения .
Зная зависимость тока от времени (7.15) легко найти и зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах (рис. 7.3, б)
; .
При скорость изменения тока в цепи можно считать приближённо постоянной и равной
















1. Для электрической цепи (рис. 2.18) определить токи , , в ветвях , , , если ток , а сопротивления резисторов , , .
Решить задание для индивидуального варианта исходных значений сопротивлений, приведённых в табл. 2.1.




Пример решения задания
Определяем сопротивление параллельно соединённых резисторов. Для трёх параллельно соединённых резисторов формула























Таблица 7.2
Исходные данные для вариантов заданий лабораторной работы
№ вари-анта R1, Ом R2, Ом R3, Ом R4, Ом R5, Ом R6, Ом R7, Ом R8, Ом R9, Ом R10, Ом R11, Ом
1 2 3 8 6 4 5 12 14 12 8 6
2 1 2 3 4 5 6 7 8 6 4 11
3 4 6 2 12 7 8 13 15 8 5 8
4 6 6 6 8 6 10 12 12 8 4 5
5 16 6 9 9 16 8 12 11 19 2 20
6 13 15 19 9 9 14 1 2 17 15 4
7 17 6 6 4 14 12 1 2 17 2 6
8 11 17 7 19 4 15 1 14 12 6 20
9 3 11 16 19 11 13 8 18 4 18 8
10 10 5 16 1 7 19 10 6 5 20 2
11 18 17 13 13 1 5 5 18 3 3 18
12 13 18 8 15 8 16 4 1 9 13 18
13 11 2 19 13 20 19 5 19 4 2 3
14 1 7 13 17 11 1 9 17 4 1 2
15 1 17 14 16 19 18 19 12 5 11 16
16 19 18 17 2 9 3 11 6 2 4 12
17 17 12 13 14 17 12 15 9 9 18 14
18 17 14 5 10 3 15 4 20 4 14 20
19 13 20 6 5 20 4 4 15 20 3 18
20 15 16 1 5 9 18 3 20 4 16 10
21 15 1 18 11 2 13 10 13 16 11 19
22 7 16 17 7 14 19 11 5 4 3 4
23 5 10 18 14 3 1 7 3 11 19 5
24 10 10 11 10 1 13 5 20 14 19 16
25 5 17 15 3 17 10 15 14 17 9 7
26 12 16 3 1 5 2 16 2 2 12 13
27 2 17 17 8 9 4 2 7 1 5 19
28 14 7 16 8 17 11 5 9 8 6 19
29 3 17 5 7 12 13 14 6 16 15 19
30 5 17 15 3 17 10 15 14 17 9 7
31 12 5 17 13 9 14 1 2 17 15 4
32 11 6 19 11 14 12 3 22 7 2 6
33 13 7 21 9 4 15 1 14 12 16 20
34 7 8 23 7 11 13 9 18 4 18 8
35 8 9 25 5 7 19 10 6 5 20 7


Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением
,
которое называется декрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения
,
называемым логарифмическим декрементом колебания, где .
Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t, определяемая для цепей первого порядка, как:
,
где р – корень характеристического уравнения.
Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при












2.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как определяется эквивалентное сопротивление последовательно соединённых резисторов? Привести схему соединения.
2. Как определяется эквивалентное сопротивление параллельно соединённых резисторов? Привести схему соединения.
3. Чему равен ток одной из двух параллельных ветвей?

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

1. Прянишников, В. А. Электротехника в примерах и задачах / В. А. Прянишников. – СПб.: КОРОНА-Век, 2007.
2. Немцов, М. В. Электротехника и электроника / М. В. Немцов, М. Л. Немцова. – М.: Академия, 2007.
3. Данилов



. (7.49) = = (5.37)









, (7.59)


Закон Ома в комплексной форме






. (7.50)
2. Теорема об интегрировании
. (7.51)










– начальная фаза.


, (7.34)







, (7.34)
где – коэффициент затухания; – собственная угловая частота колебательного процесса.
Подставим комплексные значения корней в уравнение (7.33) и получим зависимость напряжения на ёмкости от времени при колебательном процессе
. (7.35)
Аналогично для разрядного тока (7.29) получим
(7.36)




. (7.12)








Данное выражение представляет собой дифференциальное однородное уравнение (уравнение без правой части), поэтому его общее решение содержит только свободную составляющую (7.12) . Характеристическое уравнение для (7.16) имеет вид , откуда . Тогда
, (7.17)
где – постоянная времени цепи.




, , . (7.8)







Лабораторная работа № 7 1
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 1
7.1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 1
7.1.1. Классический метод расчёта переходных процессов 3
7.1.1.1. Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним индуктивным элементом 7
7.1.1.2. Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним ёмкостным элементом 13
7.1.1.3. Переходные процессы в цепи постоянного тока с ёмкостным, индуктивным и резистивным элементами 18
7.1.1.4. Подключение источника постоянной э.д.с. к цепи с индуктивным, резистивным и ёмкостным элементами 25
7.1.1.5. Подключение источника синусоидальной э.д.с. к цепи с индуктивным, резистивным и ёмкостным элементами 27





Общее решение этого уравнения

.





из Касаткина











Как решается линейное неоднородное дифферен-циальное уравнение второго порядка

Определение. Линейным дифференциальным уравнени-ем второго порядка называется уравнение первой степени (линейное) относительно неизвестной функции и её производ-ных.
Будем записывать его в виде
(*)
Функция называется правой частью уравнения. Если функция тождественно равна нулю, то получившееся уравнение называется линейным уравнением без правой части или однородным. В противном случае это уравнение называется линейным уравнением с правой частью или неоднородным.
Линейное однородное уравнение (без правой части)
, (**)
где для краткости , а . В частных слу-чаях они могут быть постоянными.
Общим решением уравнения (**) является функция или кратко при условии, что .
Общее решение уравнения с правой частью (*) представляет собой сумму общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и какого-нибудь частного решения уравнения (*)
,
где и – частные решения (вместе общее) уравнения без правой части, а – частное решение уравнения с правой частью.
Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части. (Выше рассмотренное уравнение было с непостоянными коэффициентами-функциями и его решение очень сложно). Запишем уравнение (*) в виде
, (*)
где и – постоянные.
Из (*) возьмём однородное линейное уравнение второго порядка
, (**)
где и – постоянные.
Найдём общее решение такого уравнения, используя для этого показательную функцию вида , где – константа. Тогда
, и .
Следовательно, справедливо тождество

или, так как ,
. (***) Отсюда видно, что функция будет решением дифференциального уравнения (**), если будет корнем квадратного уравнения (***), которое называется характеристическим.
Чтобы составить характеристическое уравнение, необходимо в данном дифференциальном уравнении (**) заменить единицей, а каждую производную искомой функции ( и ) – величиной в степени, равной порядку производной ( и ).
Существует три возможных случая для корней и характеристического уравнения (предполагается, что и – действительные числа).
1) и – действительные и различные числа: ;
2) и – действительные и равные числа: ;
3) и – комплексные сопряжённые числа: , , .
Рассмотрим эти случаи.
1. Корни характеристического уравнения действительные и различные: . При этом оба корня могут быть взяты в качестве показателей функции . В этом случае сразу получаем два решения уравнения (**): и . Ясно, что их отношение не является постоянной величиной: .
Таким образом, общее решение в случае действительных и разных корней характеристического уравнения запишется в виде
, (*)
где и – произвольные постоянные.

Пример. Решим уравнение
.
Составим характеристическое уравнение
.
(Его корни, это корни квадратного уравнения вида , определяемые по формуле
).
Для нашего уравнения будем иметь , .
Тогда общее решение будет иметь вид
.
Определим теперь коэффициенты и . Для этого используем начальные условия , . Составим систему уравнений относительно и :
,

Отсюда , и частным решением будет

2. Корни характеристического уравнения действительные и равные: . В этом случае мы непосредственно получаем только одно решение . В качестве второго решения можно взять функцию . Тогда в случае действительных равных корней характеристического уравнения общее решение уравнения (**) имеет вид

.

Теперь рассмотрим решение уравнения (*) .
Уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью
Пусть правая часть этого уравнения имеет вид
,
где – многочлен. Тогда уравнение (*) имеет частное решение вида
,
где – многочлен той же степени, что и , причём если число не является корнем характеристического уравнения , то , а если является, то – кратность этого корня.
Для указанной формы находятся неизвестные коэффициенты многочлена по методу неопределённых коэффициентов.
Пример. ; , .
Характеристическое уравнение будет иметь вид
,
корни которого двукратны, то есть равны между собой, так как дискриминант 4 – 4*1*1=0: корни . Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения будет равно (*)
.
Правая часть уравнения имеет вид , то есть , а . Так число 0 не является корнем характеристического уравнения, а выражение представляет собой линейную зависимость, то частное решение ищем в виде
,
где А, В – постоянные, подлежащие отысканию.
Дифференцируем это уравнение и подставляем в исходное , получим
.
Находим аналогичные выражения в обеих частях равенства и приравниваем их. Выражение, связанное с переменной : , откуда и оставшаяся часть равенства , откуда, учитывая, что получим .
Тогда частным решением, заданного уравнения является линейная зависимость в виде уравнения
,
а его общим решением – функция в виде суммы общего решения уравнения без правой части и частного решения уравнения с правой частью
.
После того, как найдено общее решение уравнения, находим по начальным условиям частное решение.
(Отметим, что одно частное решение уже было найдено, это выражение , но оно не соответствует начальным условиям. Оно было использовано для нахождения общего решения уравнения, а теперь из него получаем частное решение, уже удовлетворяющее данным начальным условиям).
Для этого найдём производную
.
Тогда имеем и . Отсюда
, . В итоге решением исходного уравнения будет функция
.


,


При этом расчет переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе. Для определения зако-на изменения тока во времени необходимо полное решение уравнения (7.1), представляющего собой обыкновенное неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (от интегралов можно освободиться, продифференцировав все члены по t).
В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.
http://ikit.edu.sfu-kras.ru/files/kb/elect_schem/lekcii/L8.pdf ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА










1. Запасный, стр.123 2.Атабеков, стр.199 3.Бакалов, стр.275
4.Белецкий, стр.185 5.Бессонов ТОЭ, стр. 70 (задачи без примеров решения) 6.Бессонов ТОЭ1, стр. 226 7.Борисов, стр. 149
8.Бычков, стр. 21? 9.Бычков, стр. 25 задачи 10.Добротворский, стр. 344 11.Зайчик, стр. 438 (задачи) 12.Запасный, стр. 123
13.Зевеке, стр. 327+ 14.Ионкин, стр.528 15.Касаткин 1, стр.132 +
16.Коровкин, стр. 194 (задачи) 17.Круг, стр. 400 18.Мансуров, стр. 251 19.Морозов, стр. 103 20.Петленко, стр. 81 21.Прянишников, стр. 129 задачи 22.Чумаков ТОЭ 2, лекция 26 + 23.Шебес, теория, стр. 335 24.Шебес, задачник, стр. 212 25.Шимони, стр. 398 26.ЭиЭ1, лекция 12. Рекус стр.168







Классический метод расчета
Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.
В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.


Таблица 1. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах
электрической цепи
Резистор (идеальное ак-тивное сопротивление) Катушка индуктив-ности (идеальная индуктивность) Конденсатор
(идеальная емкость)

;
при наличии магнит-ной связи с катушкой, обтекаемой током ,

;


ля последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать


.
(1)
Подставив в (1) значение тока через конденсатор






,
получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно
.
В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:
, (2)
где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); - известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); - к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.
Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.
В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением
,
(3)
где и - соответственно число катушек ин-дуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; - число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); - число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).
Наличие индуктивных связей на порядок диф-ференциального уравнения не влияет.
Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).
Частное решение уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.
Вторая составляющая общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь опосредованно через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная - свободной составляющей.
В соответствии с вышесказанным, . общее решение уравнения (2) имеет вид

(4)
Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.
Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.
Начальные условия. Законы коммутации
В соответствии с определением свободной составляющей в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

Таблица 2. Законы коммутации
Название закона Формулировка закона
Первый закон коммутации (закон сохранения потокос-цепления) Магнитный поток, сцепленный с ка-тушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Второй закон коммутации (закон сохранения заряда) Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.
На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:
первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент
коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .
второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент
коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .
Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго зако-на коммутации как невозмож-ность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при .
Пример. Определить токи и производные и в момент коммутации в схеме на рис. 3, если до коммутации конденсатор был не заряжен.
В соответствии с законами коммутации
и .
На основании второго закона Кирхгофа для момента коммутации имеет место
,
откуда

и .
Для известных значений и из уравнения

определяется .
Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1)
.

Корни характеристического уравнения. Постоянная времени
Выражение свободной составляющей общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).

Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения
Вид корней характеристиче-ского уравнения Выражение свободной составляющей
Корни вещест-венные и различные

Корни вещест-венные и


Пары комплексно-сопряженных корней


Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.
При вещественных корнях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).
Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением
,
которое называется декрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения
,
называемым логарифмическим декрементом колебания, где .
Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t, определяемая для цепей первого порядка, как:
,
где р – корень характеристического уравнения.
Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при
.
Литература
1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
1. Чем обусловлены переходные процессы?
2. Как определяется порядок дифференциального урав-нения, описывающего переходный процесс?
3. Для каких цепей применим классический метод расчета переходных процессов?
4. Доказать законы коммутации: и - с энергетических позиций.
В каких цепях и почему возможен колебательный процесс? Лекция N 25
Способы составления характеристического уравнения

Характеристическое уравнение составляется для цепи после коммутации. Оно может быть получено следующими способами:
непосредственно на основе дифференциального уравнения вида (2) (см. лекцию №24), т.е. путем исключения из системы уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи на основании первого и второго законов Кирхгофа, всех неизвестных величин, кроме одной, относительно которой и записывается уравнение (2);
путем использования выражения для входного сопротивления цепи на синусоидальном токе;
на основе выражения главного определителя.
Согласно первому способу в предыдущей лекции было получено дифференциальное уравнение относительно напряжения на конденсаторе для последовательной R-L-C-цепи, на базе которого записывается характеристическое уравнение.
Следует отметить, что, поскольку линейная цепь охвачена единым переходным процессом, корни характеристического уравнения являются общими для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение. Поэтому по первому способу составления характеристического уравнения в качестве переменной, относительно которой оно записывается, может быть выбрана любая.
Применение второго и третьего способов составления характеристического уравнения рассмотрим на примере цепи рис. 1.
Составление характеристического уравнения по методу входного сопротивления заключается в следующем:
записывается входное сопротивление цепи на переменном токе;
jw заменяется на оператор р;
полученное выражение приравнивается к нулю.
Уравнение

совпадает с характеристическим.
Следует подчеркнуть, что входное сопротивление может быть записано относительно места разрыва любой ветви схемы. При этом активный двухполюсник заменяется пассивным по аналогии с методом эквивалентного генератора. Данный способ составления характеристического уравнения предполагает отсутствие в схеме магнитосвязанных ветвей; при наличии таковых необходимо осуществить их предварительное развязывание.
Для цепи на рис. 1 относительно зажимов источника
.
Заменив jw на р и приравняв полученное выражение к нулю, запишем

или
. (1)
При составлении характеристического уравнения на основе выражения главного определителя число алгебраических уравнений, на базе которых он записывается, равно числу неизвестных свободных составляющих токов. Алгебраизация исходной системы интегро-дифференциальных уравнений, составленных, например, на основании законов Кирхгофа или по методу контурных токов, осуществляется заменой символов дифференцирования и интегрирования соответственно на умножение и деление на оператор р. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания записанного определителя к нулю. Поскольку выражение для главного определителя не зависит от правых частей системы неоднородных уравнений, его составление можно производить на основе системы уравнений, за-писанных для полных токов.
Для цепи на рис. 1 алгебраизованная система уравнений на основе метода контурных токов имеет вид

Отсюда выражение для главного определителя этой системы

.
Приравняв D к нулю, получим результат, аналогичный (1).

Общая методика расчета переходных процессов классическим методом
В общем случае методика расчета переходных процессов классическим методом включает следующие этапы:
1. Запись выражения для искомой переменной в виде
.
(2)
2. Нахождение принужденной составляющей общего решения на основании расчета установившегося режима послекоммутационной цепи.
3. Составление характеристического уравнения и определение его корней (для цепей, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка, вместо корней можно находить постоянную времени t - см. лекцию №26). Запись выражения свободной составляющей в форме, определяемой типом найденных корней.
4. Подстановка полученных выражений принужденной и свободной составляющих в соотношение (2).
5. Определение начальных условий и на их основе – постоянных интегрирования.

Примеры расчета переходных процессов классическим методом

1. Переходные процессы в R-L цепи при ее подключении
к источнику напряжения
Такие процессы имеют место, например, при подключении к источнику питания электромагнитов, трансформаторов, электрических двигателей и т.п.
Рассмотрим два случая:
а)
б) .
Согласно рассмотренной методике для тока в цепи на рис. 2 можно записать
.
(3)





Тогда для первого случая принужденная составляющая тока
.
(4)
Характеристическое уравнение
,
откуда и постоянная времени .
Таким образом,
.
(5)
Подставляя (4) и (5) в соотношение (3), запишем
.
В соответствии с первым законом коммутации . Тогда
,
откуда .
Таким образом, ток в цепи в переходном процессе описывается уравнением
,
а напряжение на катушке индуктивности – выражением
.
Качественный вид кривых и , соответствующих полученным решениям, представлен на рис. 3.
При втором типе источника принужденная составляющая рассчитывается с использованием символического метода:
,
где .
Отсюда
.
Выражение свободной составляющей не зависит от типа источника напряжения. Следовательно,
.
Поскольку , то
.
Таким образом, окончательно получаем
. (6)
Анализ полученного выражения (6) показывает:
1. При начальной фазе напряжения постоянная интегрирования А=0. Таким образом, в этом случае коммутация не повлечет за собой переходного процесса, и в цепи сразу возникнет установившийся режим.
2. При свободная составляющая макси-мальна по модулю. В этом случае ток переходного процесса достигает своей наибольшей величины.
Если значительна по величине, то за полпериода свободная составляющая существенно не уменьшается. В этом случае максимальная величина тока переходного процесса может существенно превышать амплиту-ду тока установившегося режима. Как видно из рис. 4, где
, максимум тока имеет место примерно через . В пределе при .
Таким образом, для линейной цепи максимальное значение тока переходного режима не может превышать удвоенной амплитуды принужденного тока: .
Аналогично для линейной цепи с конденсатором: если в момент коммутации принужденное напряжение равно своему амплитудному значению и постоянная времени цепи достаточно велика, то примерно через половину периода напряжение на конденсаторе достигает своего максимального значения , которое не может превышать удвоенной амплитуды принужденного напряжения: .

2. Переходные процессы при отключении катушки индуктивности
от источника питания
При размыкании ключа в цепи на рис. 5 принужденная со-ставляющая тока через катушку индуктивности .
Характеристическое уравнение
,
откуда и .
В соответствии с первым законом коммутации
.
Таким образом, выражение для тока в переходном режиме

и напряжение на катушке индуктивности
.
(7)
Анализ (7) показывает, что при размыкании цепей, содержащих индуктивные элементы, могут возникать большие перенапряжения, которые без принятия специальных мер могут вывести аппаратуру из строя. Действительно, при модуль напряжения на катушке ин-дуктивности в момент коммутации будет во много раз превышать напряжение источника: . При отсутствии гасящего резистора R указанное напряжение прикладывается к размыкающимся контактам ключа, в результате чего между ними возникает дуга.
3. Заряд и разряд конденсатора
При переводе ключа в положение 1 (см. рис. 6) начинается процесс заряда конденсатора:
.
Принужденная составляющая напряжения на конденсаторе .
Из характеристического уравнения

определяется корень . Отсюда постоянная времени .
Таким образом,
.
При t=0 напряжение на конденсаторе равно (в общем случае к моменту коммутации конденсатор может быть заряженным, т.е. ). Тогда и
.
Соответственно для зарядного тока можно записать
.
В зависимости от величины : 1 - ; 2 - ; 3 - ; 4 - - возможны четыре вида кривых переходного процесса, которые иллюстрирует рис. 7.

При разряде конденсатора на резистор (ключ на рис.6 переводится в положение 2) . Постоянная времени .
Тогда, принимая, что к моменту коммутации конденсатор был заряжен до напряжения (в частном случае ), для напряжения на нем в переходном режиме можно записать
.
Соответственно разрядный ток
.
(8)
Как видно из (8), во избежание значительных бросков разрядного тока величина должна быть достаточно большой.
В заключение отметим, что процессы заряда и разряда кон-денсатора используются в генераторах пилообразного напряжения, широко применяемых в автоматике. Для этого ключ в схеме на рис. 6 заменяется на электронный.
Литература
1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
1. Составить характеристическое уравнение для цепи на рис. 1, используя выражение входного сопротивления относительно места разрыва ветви с резистором .
2. Может ли в одной части линейной цепи протекать колебательный переходный процесс, а в другой – апериодический?
3. Для чего в схеме на рис. 5 служит цепочка, состоящая из диода и резистора R?
4. Почему можно разрывать ветвь с конденсатором и нельзя – ветвь с индуктивным элементом?
5. Почему корни характеристического уравнения не зависят от того, относительно какой переменной было записано дифференциальное уравнение?
6. Для цепи на рис. 8 составить характеристическое уравнение и определить, при каких значениях переходный процесс в ней будет носить апериодический характер, если .

Ответ: .
7. Определить в цепи на рис. 9, если , , , .
Ответ: .


Ответ:
;


Лекция N 26
Переходные процессы в цепи с одним накопителем энергии и произвольным числом резисторов

Как отмечалось в предыдущей лекции, линейная цепь охвачена единым переходным процессом. Поэтому в рассматриваемых цепях с одним накопителем энергии (катушкой индуктивности или конденсатором) – цепях первого порядка – постоянная времени будет одной и той же для всех свободных составляющих напряжений и токов ветвей схемы, параметры которых входят в характеристическое уравнение.
Общий подход к расчету переходных процессов в таких цепях основан на применении теоремы об активном двухполюснике: ветвь, содержащую накопитель, выделяют из цепи, а оставшуюся часть схемы рассматривают как активный двухполюсник А (эквивалентный генератор) (см. рис.1, а) со схемой замещения на рис. 1,б.

Совершенно очевидно, что постоянная времени здесь для цепей с индуктивным элементом определяется, как:
,
и с емкостным, как:
,
где - входное сопротивление цепи по отношению к зажимам 1-2 подключения ветви, содержащей накопитель энергии.
Например, для напряжения на конденсаторе в цепи на рис. 2 можно записать
,
где в соответствии с вышесказанным
.

Переходные процессы при подключении последовательной
R-L-C-цепи к источнику напряжения
Рассмотрим два случая:
а) ;
б) .
Согласно изложенной в предыдущей лекции методике расчета переходных процессов классическим методом для напряжения на конденсаторе в цепи на рис. 3 можно записать
.
(1)
Тогда для первого случая принужденная составляющая этого напряжения
.
(2)
Характеристическое уравнение цепи
,
решая которое, получаем
.
В зависимости от соотношения параметров цепи возможны три типа корней и соответственно три варианта выражения для свободной составляющей:
1. или , где - критиче-ское сопротивление контура, меньше которого свободный процесс носит колебательный характер.
В этом случае
.
(3)
2. - предельный случай апериодического режима.
В этом случае и
.
(4)
3. - периодический (колебательный) характер переходного процесса.
В этом случае и
,
(5)
где - коэффициент затухания; - угловая частота собственных колебаний; - период собственных колебаний.
Для апериодического характера переходного процесса после подстановки (2) и (3) в соотношение (1) можно записать
.
Для нахождения постоянных интегрирования, учитывая, что в общем случае и в соответствии с первым законом коммутации , запишем для t=0 два уравнения:

решая которые, получим
; .
Таким образом,
.
Тогда ток в цепи

и напряжение на катушке индуктивности
.
На рис. 4 представлены качественные кривые , и , соответствующие апериодическому переходному процессу при .
Для критического режима на основании (2) и (4) можно записать
.
При

Таким образом

и
.
Для колебательного переходного процесса в соответствии с (2) и (5) имеем
.
Для нахождения постоянных интегрирования запишем

откуда и .
Тогда

.
На рис. 5представлены качественные кривые и , соответствующие колебательному переходному процессу при .
При подключении R-L-C-цепи к источнику синусоидального напряжения для нахождения принужденных составляющих тока в цепи и напряжения на конденсаторе следует воспользоваться символическим методом расчета, в соответствии с которым

и
,
где ; ; .
Таким образом,
и .

Здесь также возможны три режима:
1. ; 2.
3.





Наибольший интерес представляет третий режим, связанный с появлением во время переходного процесса собственных колебаний с частотой . При этом возможны, в зависимости от соотношения частот собственных колебаний и напряжения источника, три характерные варианта: 1 - ; 2 - ; 3 - , - которые представлены на рис. 6,а…6,в соответственно.

Литература
1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
1. Как можно определить постоянную времени в цепи с одним накопителем энергии по осциллограмме тока или напряжения в какой-либо ветви?
2. Определить, какой процесс: заряд или разряд конденсатора в цепи на рис. 2 – будет происходить быстрее?
Ответ: заряд.
3. Влияет ли на постоянную времени цепи тип питающего устройства: источник напряжения или источник тока?
4. В цепи на рис. 2 , С=10 мкФ. Чему должна быть равна индуктивность L катушки, устанавливаемой на место конденсатора, чтобы постоянная времени не изменилась?
Ответ: L=0,225 Гн.
5. Как влияет на характер переходного процесса в R-L-C-контуре величина сопротивления R и почему?
6. Определить ток через катушку индуктивности в цепи на рис. 7, если ; ; ; ; .
Ответ: .

7. Определить ток в ветви с конденсатором в цепи на рис. 8, если ; ; ; .
Ответ: .
Лекция N 27
Операторный метод расчета переходных процессов

Сущность операторного метода заключается в том, что функции вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.
Изображение заданной функции определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:
.
(1)
В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

или .

Следует отметить, что если оригинал увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.
В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

Таблица 1. Изображения типовых функций
Оригинал
А





Изображе-ние








Некоторые свойства изображений
1. Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:
.
2. При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:
.
С использованием этих свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что

.

Изображения производной и интеграла
В курсе математики доказывается, что если , то , где - начальное значение функции .
Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

или при нулевых начальных условиях
.
Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности
.
Аналогично для интеграла: если , то .
С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:
.
Тогда

или при нулевых начальных условиях
,
откуда операторное сопротивление конденсатора
.

Закон Ома в операторной форме
Пусть имеем некоторую ветвь (см. рис. 1), выделенную из некоторой

сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.
Для мгновенных значений переменных можно записать:
.
Тогда на основании приведенных выше соотношений полу-чим:
.
Отсюда
,
(2)
где - операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.
Следует обратить внимание, что операторное сопротивление соответствует комплексному сопротивлению ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .
Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.


Законы Кирхгофа в операторной форме
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сум-ма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю
.
Второй закон Кирхго-фа:алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура
.
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде
.
В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3 для двух случаев: 1 - ; 2 - .
В первом случае в соответствии с законом Ома .
Тогда

и
.
Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

откуда ; и .

Переход от изображений к оригиналам
Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:
1. Посредством обратного преобразования Лапласа
,
которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:
.
На практике этот способ применяется редко.
2. По таблицам соответствия между оригиналами и изо-бражениями
В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.
Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать
.
Тогда в соответствии с данными табл. 1
,
что соответствует известному результату.
3. С использованием формулы разложения
Пусть изображение искомой переменной определяется отношением двух полиномов
,
где .
Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей
,
(3)
где - к-й корень уравнения .
Для определения коэффициентов умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):
.
При
.
Рассматривая полученную неопределенность типа по правилу Лапиталя, запишем
.
Таким образом,
.
Поскольку отношение есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем
.
(4)
Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду
.
В заключение раздела отметим, что для нахождения начального и конечного значений оригинала можно использовать предельные соотношения

которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.

Литература
1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов элек-тротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
1. В чем заключается сущность расчета переходных процессов операторным методом?
2. Что такое операторная схема замещения?
3. Как при расчете операторным методом учитываются ненулевые независимые начальные условия?
4. Какими способами на практике осуществляется переход от изображения к оригиналу?
5. Для чего используются предельные соотношения?
6. Как связаны изображение и оригинал в формуле разложения? Какие имеются варианты ее написания?
7. С использованием теоремы об активном двухполюснике записать операторное изображение для тока через катушку индуктивности в цепи на рис. 6.
Ответ: .
8. С использованием предельных соотношений и решения предыдущей задачи найти начальное и конечное значения тока в ветви с индуктивным элементом.
Ответ: .
Лекция N 28
1. Некоторые важные замечания к формуле разложения

2. При наличии в цепи синусоидальной ЭДС для перехода от комплекса к функции времени от правой части формулы разложения берется мнимая часть, т.е. выражение при j. Если при этом в цепи также имеют место другие источники, например, постоянной Е и экспоненциальной ЭДС, и начальные условия для токов в ветвях с индуктивными элементами и напряжений на конденсаторах ненулевые, то они должны быть все введены в формулу предварительно умноженными на j, поскольку только в этом случае они будут учтены при взятии мнимой части от формулы разложения, т.е.
.
3. Принужденной составляющей от действия источника синусоидальной ЭДС в формуле разложения соответствует слагаемое, определяемое корнем . Для сложных схем такое ее вычисление может оказаться достаточно трудоемким, в связи с чем принужденную составляющую в этих случаях целесообразно определять отдельно символическим методом, а свободную – операторным.
4. Комплексно-сопряженным корням уравнения в формуле разложения соответствуют комплексно-сопряженные слагаемые, которые в сумме дают удвоенный вещественный член, т.е. для к-й пары комплексно-сопряженных корней имеет место
.

Последовательность расчета переходных процессов
операторным методом
1. Определение независимых начальных условий путем расчета докоммутационного режима работы цепи.
2. Составление операторной схемы замещения цепи (для простых цепей с нулевыми начальными условиями этот этап может быть опущен).
3. Запись уравнений по законам Кирхгофа или другим методам расчета линейных цепей в операторной форме с учетом начальных условий.
4. Решение полученных уравнений относительно изображений искомых величин.
5. Определение оригиналов (с помощью формулы разложения или таблиц соответствия оригиналов и изображений) по найденным изображениям.
В качестве примера использования операторного метода определим ток через катушку индуктивности в цепи на рис. 1.
С учетом нулевого начального условия операторное изображение этого тока
.
Для нахождения оригинала воспользуемся формулой разложения при нулевом корне
,
(1)
где , .
Корень уравнения
.
Тогда

и
.
Подставляя найденные значения слагаемых формулы разложения в (1), получим
.
Воспользовавшись предельными соотношениями, определим и :


Формулы включения
Формулу разложения можно использовать для расчета переходных процессов при нулевых и ненулевых начальных условиях. Если начальные условия нулевые, то при подключении цепи к источнику постоянного, экспоненциального или синусоидального напряжения для расчета переходных процессов удобно использовать формулы включения, вытекающие из формулы разложения.
1. Формула включения на экспоненциальное напряжение
,
(2)
2. где - входное операторное сопротивление двухполюсника при определении тока в ветви с ключом (при расчете тока в произвольной ветви это операторное сопротивление, определяющее ток в ней по закону Ома); - к-й корень уравнения .
3. Формула включения на постоянное напряжение (вытекает из (2) при )
.
4. Формула включения на синусоидальное напряжение (формально вытекает из (2) при и )

.
В качестве примера использования формулы включения рассчитаем ток в цепи на рис. 2, если в момент времени t=0 она подсоединяется к источнику с напряжением ; ; .
В соответствии с заданной формой напряжения источника для решения следует воспользоваться формулой (2). В ней . Тогда корень уравнения . Производная и .
В результате
.

Сведение расчета переходного процесса к расчету
с нулевыми начальными условиями
Используя принцип наложения, расчет цепи с ненулевыми начальными условиями можно свести к расчету схемы с нулевыми начальными условиями. Последнюю цепь, содержащую пассивные элементы, можно затем с помощью преобразований последовательно-параллельных соединений и треугольника в звезду и наоборот свести к виду, по-зволяющему определить искомый ток по закону Ома с использованием формул включения.
Методику сведения цепи к нулевым начальным условиям иллюстрирует рис. 3, на котором исходная схема на рис. 3,а заменяется эквивалентной ей схемой на рис. 3,б, где . Последняя в соответствии с принципом наложения раскладывается на две схемы; при этом в схеме на рис. 3,в составляющая общего тока равна нулю. Таким образом, полный ток равен составляющей тока в цепи на рис. 3,г, где исходный активный двухполюсник АД заменен пассивным ПД, т.е. схема сведена к нулевым начальным условиям.
Следует отметить, что если определяется ток в ветви с ключом, то достаточно рассчитать схему на рис. 3,г. При расчете тока в какой-либо другой ветви АД в соответствии с вышесказанным он будет складываться из тока в этой ветви до коммутации и тока в ней, определяемого подключением ЭДС к пассивному двухполюснику.
Аналогично можно показать, что отключение ветви, не содержащей индуктивных элементов, при расчете можно имитировать включением в нее источника тока, величина которого равна току в ветви до коммутации, и действующему навстречу ему.


Переходная проводимость
При рассмотрении метода наложения было показано, что ток в любой ветви схемы может быть представлен в виде
,
где - собственная (к=m) или взаимная проводимость.
Это соотношение, трансформированное в уравнение
,
(3)
будет иметь силу и в переходном режиме, т.е. когда замыкание ключа в m-й ветви подключает к цепи находящийся в этой ветви источник постоянного напряжения . При этом является функцией времени и называется переходной проводимостью.
В соответствии с (3) переходная проводимость численно равна току в ветви при подключении цепи к постоянному напряжению .

Переходная функция по напряжению
Переходная функция по напряжению наиболее часто используется при анализе четырехполюсников.
Если линейную электрическую цепь с нулевыми начальными условиями подключить к источнику постоянного напряжения , то между произвольными точками m и n цепи возникнет напряжение
,
где - переходная функция по напряжению, численно равная напряжению между точками m и n схемы при подаче на ее вход постоянного напряжения .
Переходную проводимость и переходную функцию по напряжению можно найти расчетным или экспериментальным (осциллографирование) путями.
В качестве примера определим эти функции для цепи на рис. 4.
В этой схеме
,
где .
Тогда переходная проводимость
.
Переходная функция по напряжению
.
Литература
1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
Контрольные вопросы
1. Как в формуле разложения учитываются при наличии источника синусоидальной ЭДС источники других типов, а также ненулевые начальные условия?
2. Как целесообразно проводить расчет переходных процессов операторным методом в сложных цепях при синусоидальном питании?
3. Проведите сравнительный анализ классического и операторного методов.
4. Какие этапы включает в себя операторный метод расчета переходных процессов?
5. Из формулы включения на какое напряжение вытекают другие варианты ее записи? Запишите формулы включения.
6. В каких случаях применяются формулы включения?
7. Чему численно соответствуют переходная проводимость и переходная функция по напряжению?
8. На основании решения задачи 7 в задании к лекции № 27 с использованием формулы разложения определить ток в ветви с индуктивным элементом, если параметры цепи: .
Ответ: .
9. С использованием формулы включения найти ток в неразветвленной части цепи на рис. 5,

если :
;
;
.

Ответ:
.


Лекция N 29
Расчет переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля

Зная реакцию цепи на единичное возмущающее воздействие, т.е. функцию переходной проводимости или (и) переходную функцию по напряжению , можно найти реакцию цепи на воздействие произвольной формы. В основе метода – метода расчета с помощью интеграла Дюамеля – лежит принцип наложения.
При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток в цепи, первую принято обозначать как , а вторую - как t.

Пусть в момент времени к цепи с нулевыми начальными условиями (пассивному двухполюснику ПД на рис. 1) подключается источник с напряжением произвольной формы. Для нахождения тока в цепи заменим исходную кривую ступенчатой (см. рис. 2), после чего с учетом, что цепь линейна, просуммируем токи от начального скачка напряжения и всех ступенек напряжения до момента t, вступающих в действие с запаздыванием по времени.
В момент времени t составляющая общего тока, определяемая начальным скачком напряжения , равна .
В момент времени имеет место скачок напряжения , который с учетом временного интервала от начала скачка до интересующего момента времени t обусловит составляющую тока .
Полный ток в момент времени t равен, очевидно, сумме всех составляющих тока от отдельных скачков напряжения с учетом , т.е.
.
Заменяя конечный интервал приращения времени на бесконечно малый, т.е. переходя от суммы к интегралу, запишем
.
(1)
Соотношение (1) называется интегралом Дюамеля.
Следует отметить, что с использованием интеграла Дюамеля можно определять также напряжение. При этом в (1) вместо переходной проводимости будет входить переходная функция по напряжению.

Последовательность расчета с использованием
интеграла Дюамеля
1. Определение функции (или ) для исследуемой цепи.
2. Запись выражения (или ) путем фор-мальной замены t на .
3. Определение производной .
4. Подстановка найденных функций в (1) и интегрирова-ние определенного интеграла.
В качестве примера использования интеграла Дюамеля определим ток в цепи рис. 3, рассчитанный в предыдущей лекции с использованием формулы включения.
Исходные данные для расчета: , , .
1. Переходная проводимость
.
2. .
3. .
4.
Полученный результат аналогичен выражению тока, определенному в предыдущей лекции на основе формулы включения.

Метод переменных состояния
Уравнения элекромагнитного состояния – это система уравнений, определяющих режим работы (состояние) электрической цепи.
Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, т.е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники.
Количество переменных состояния, а следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии.
К уравнениям состояния выдвигаются два основных требования:
-независимость уравнений;
-возможность восстановления на основе переменных состояния (переменных, относительно которых записаны уравнения состояния) любых других переменных.
Первое требование удовлетворяется специальной методикой составления уравнений состояния, которая будет рассмотрена далее.
Для выполнения второго требования в качестве переменных состояния следует принять потокосцепления (токи в ветвях с индуктивными элементами) и заряды (напряжения) на конденсаторах. Действительно, зная закон изменения этих переменных во времени их всегда можно заменить источниками ЭДС и тока с известными параметрами. Остальная цепь оказывается резистивной, а следовательно, всегда рассчитывается при известных па-раметрах источников. Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к независимым, т.е. в общем случае рассчитываются проще других.
При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые производные и с самими переменными и и источниками внешних воздействий – ЭДС и тока, необходимо составить систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с переменными состояния и источниками внешних воздействий.
Таким образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид
;
(2)
.
(3)
Здесь и - столбцовые матрицы соответственно пере-менных состояния и их первых производных по времени; - матрица-столбец источников внешних воздействий; - столбцовая матрица выходных (искомых) величин; - квадратная размерностьюn x n (где n – число переменных со-стояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби; - прямоугольная матрица связи между источниками и переменными состояния (количество строк равно n, а столбцов – числу источников m); - прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми величинами (ко-личество строк равно числу искомых величин к, а столбцов – n); - прямоугольная размерностью к x m матрица связи входа с выходом.
Начальные условия для уравнения (2) задаются вектором начальных значений (0).
В качестве примера составления уравнений состояния рас-смотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить токи и .

По законам Кирхгофа для данной цепи запишем
;
(4)
;
(5)
.
(6)
Поскольку с учетом соотношения (6) перепишем уравнения (4) и (5) в виде

или в матричной форме записи
.
А В
Матричное уравнение вида (3) вытекает из соотношений (4) и (6):
.
С D
Вектор начальных значений (0)= .
Непосредственное использование законов Кирхгофа при составлении уравнений состояния для сложных цепей может оказаться затруднительным. В этой связи используют специальную методику упорядоченного составления уравнений состояния.

Методика составления уравнений состояния
Эта методика включает в себя следующие основные этапы:
1. Составляется ориентированный граф схемы (см. рис. 4,б), на котором выделяется дерево, охватывающее все конденсаторы и источники напряжения (ЭДС). Резисторы включаются в дерево по необходимости: для охвата деревом всех узлов. В ветви связи включаются катушки индуктивности, источники тока и оставшиеся резисторы.
2. Осуществляется нумерация ветвей графа (и элементов в схеме), проводимая в следующей последовательности: первыми нумеруются участки графа (схемы) с конденсаторами, затем резисторами, включенными в дерево, следующими нумеруются ветви связи с резисторами и, наконец, ветви с индуктивными элементами (см. рис. 4,б).
3. Составляется таблица, описывающая соединение элементов в цепи. В первой строке таблицы (см. табл. 1) перечисляются емкостные и резистивные элементы дерева, а также источники напряжения (ЭДС). В первом столбце перечисляются резистивные и индуктивные элементы ветвей связи, а также источники тока.

Таблица 1. Таблица соединений
11 22 u
33 -1 0 0
44 1 1 1
J 1 0
Процедура заполнения таблицы заключается в по-очередном мысленном замыкании ветвей дерева с помощью ветвей связи до получения контура с последующим обходом последнего согласно ориентации соответствующей ветви связи. Со знаком «+» записываются ветви графа, ориентация которых совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-» ветви, имеющие противоположную ориентацию.
Осуществляется расписывание таблицы по столбцам и по строкам. В первом случае получаются уравнения по первому закону Кирхгофа, во втором – по второму.
В рассматриваемом случае (равенство тривиально)
,
откуда в соответствии с нумерацией токов в исходной цепи
.
При расписывании таблицы соединений по строкам напряжения на пассивных элементах необходимо брать со знаками, противоположными табличным:

(7)
Эти уравнения совпадают соответственно с соотношениями (6) и (5).
Из (7) непосредственно вытекает
.
Таким образом, формализованным способом получены уравнения, аналогичные составленным выше с использованием законов Кирхгофа.
Литература
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
2. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. радиотехн. спец. вузов. 3-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. –400с.
Контрольные вопросы и задачи
1. Какой принцип лежит в основе метода расчета переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля, и для каких цепей может быть использован данный метод?
2. В каких случаях целесообразно использовать метод расчета с использованием интеграла Дюамеля?
3. В цепи на рис. 3 при напряжение на входе цепи мгновенно спадает до нуля. Определить ток в цепи.
Ответ: при ; при .
4. Какие требования и почему выдвигаются к уравнениям состояния?
5. Что включает в себя система уравнений при расчете переходного процесса в цепи методом переменных состояния?
6. Перечислите основные этапы методики составления уравнений состояния.
7. Записать матрицы А и В для цепи на рис. 5, если , , , , , .

Ответ: А
;
В













Литература по переходным процессам

13. Запасный, стр.123
14. Атабеков, стр.199
15. Бакалов, стр.275
16. Белецкий, стр.185
17. Бессонов ТОЭ, стр. 70 (задачи без примеров решения)
18. Бессонов ТОЭ2, стр. 226
19. Борисов, стр. 149
20. Бычков, стр. 21?
21. Бычков, стр. 25 задачи
22. Добротворский, стр. 344
23. Зайчик, стр. 438 (задачи)
24. Запасный, стр. 123
25. Зевеке, стр. 327 +
26. Ионкин, стр. 528
27. Касаткин 1, стр. 132 +
28. Коровкин, стр. 194 (задачи)
29. Круг, стр. 400
30. Мансуров, стр. 251
31. Морозов, стр. 103
32. Петленко, стр. 81
33. Прянишников, стр. 129 задачи
34. Чумаков ТОЭ 2, лекция 26 +
35. Шебес, теория, стр. 335
36. Шебес, задачник, стр. 212
37. Шимони, стр. 398
38. ЭиЭ1, лекция 12
39.







1.Данилов (выбор площадей сечений проводов в зависимости от предохранит.), стр. 386
2. Синдеев. Элементы техники безопасности, стр. 350.