Логические элементы и схемы

Лабораторная работа 29 (Lr29)

ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И СХЕМЫ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Ознакомление с основными характеристиками логических элементов и основами синтеза логических схем.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОМБИНАЦИОННЫХ И

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТНЫХ УСТРОЙСТВ

Устройства, реализующие функции алгебры логики, называют логическими или цифровыми и классифицируют по различным отличительным признакам. Так, по характеру информации на входах и выходах логические устройства подразделяют на устройства последовательного, параллельного и смешанного действия, а по схемному решению и характеру связи между входными и выходными переменными с учётом их изменения по тактам работы − на комбинационные и последовательностные.

В комбинационных устройствах значения (0 или 1) сигналов на выходах в каждый конкретный момент времени полностью определяются значениями (комбинацией, набором) действующих в данный момент цифровых входных сигналов.  В последовательностных же устройствах значения выходных сигналов в п-такте определяются не только значениями входных сигналов в этом такте, но и зависят от внутренних состояний устройств, которые произошли в результате воздействия входных сигналов в предшествующие такты.

Данная работа посвящена изучению простейших комбинационных логических устройств, реализующих логические функции сложения, умножения и отрицания.

2. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Анализ комбинационных устройств удобно проводить с помощью алге­бры логики, оперирующей только с двумя понятиями: истинным (логическая 1) и ложным (логический 0). В результате, функции, отображающие ин­­формацию, принимают в каждый момент времени только значения 0 или 1.  Такие функции называют логическими, а сигналы (входные и выходные переменные) – двоичными (бинарными).

Схемные элементы, при помощи которых осуществляется преобразование поступающих на их входы дво­ичных сигналов и непосредственное выполнение пре­­ду­смо­тренных логических операций, называют логическими устройствами.

В общем случае логическое устройство может иметь п входов и m выходов. Рассматривая входные сигналы х1, х2, …, хп в качестве аргументов, можно соответствующие выходные сигналы представлять в виде функции уi = f(х0, х1, х2, …, хп) с помощью операций алгебры логики.

 Функции алгебры логики (ФАЛ), иногда называемые переключатель­ными функциями, обычно представляют в алгебраической форме (в виде ма­тема­тического выражения), например  yi = (x0 ∧  x1) ∨ (x1 ∧ x2), или в виде таблиц истинности (комбинационных таблиц).

 Таблица истинности содержит всевозможные комбинации (наборы) би­­нарных значений входных переменных с соответствующими им бинарными значениями выходных пе­ременных; каждому набору входных сигналов соответствует определенное значение выходного сигнала − значение логической функции уi. Максимальное число возможных различных наборов (строк) зависит от числа входных переменных п и равно 2п.  

В булевой алгебре выделяют три основные функции: конъюнкция, дизъ­­ю­­нкция, отрицание. Остальные функции являются производными от приведенных выше.

 Основные логические операции состоят из следующих элементарных преобразований двоичных сигналов:

• логическое сложение или дизъюнкция, обозначаемое символом "∨" (или "+") и называемое также  опера­цией ИЛИ. При этом число аргументов (слагаемых х) может быть любым. Эта операция для функции двух переменных x1 и x2 описывается в виде логической формулы

Это значит, что у истинно (равно 1), если истинно хотя бы одно из слагаемых x1 или x2. И только в случае, когда все слагаемые х равны 0, результат логического сложения у также равен 0.  

Условное обозначение, таблица истинности и другие показатели этой логической функции приведены во втором столбце табл. 29.1;

• логическое умножение или конъюнкция, обозначаемое символом "∧" (или "⋅") и называемое также операцией И. При этом число аргументов (сомножителей х) может быть любым. Эта операция для функции двух переменных x1 и x2 описывается в виде логической формулы

Это значит, что у истинно (равно 1), если истинны сомножители x1 и x2. В  случае, если хотя бы один из сомножителей равен 0, результат логического умножения у равен 0.  

Условное обозначение, таблица истинности и другие показатели логической функции И приведены в третьем столбце табл. 29.1;

 • логическое отрицание или инверсия, обозначаемое чёрточкой над переменной и называемое операцией НЕ. Эта операция записывается в виде

.

Это значит, что у истинно (равно 1), если х ложно (равно 0), и наоборот. Очевидно, что операция у выполняется над одной переменной х и её значение всегда противоположно этой переменной (см. четвертый столбец табл. 29.1).

Т а б л и ц а  29.1

Основные логические операции ИЛИ, И и НЕ позволяют аналитически описать, а логические элементы ИЛИ (дизъюнктор), И (конъюнктор) и НЕ (инвертор) − реализовать комбинационное устройство любой степени сло­ж­ности, т. е. операции и  обладают функциона­ль­ной полнотой и составляет функционально полный набор.

В качестве примера рассмотрим функцию неравнозначности у двух переменных х1 и х2, принимающая значение 1 при х1 ≠ х2 и значение 0 при   х1 = х2 = 0 или при х1 = х2 = 1, т. е. .

Операцию неравнозначности чаще называют суммированием по модулю 2 и обозначают 

Примеры контактной и простейшей схемной реализаций дизъюнктора, конъюнктора и инвертора приведены в предпоследней и последней строках табл. 29.1.

3. БАЗОВЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Особое значение в цифровой электронике имеют универсальные (базовые) логические элементы, способные образовать функционально полный набор, с помощью которых можно реализовать синтез устройств любой сложности. При интегральной технологии удобство изготовления одного базового элемента имеет решающее значение. Поэтому базовые логические устройства составляют основу большинства цифровых ИМС.

К универсальным логическим операциям (устройствам) относят две разновидности базовых элементов:

• функцию Пирса, обозначаемую символически вертикальной стрелкой ↓ (стрелка Пирса) и отображающую операцию ИЛИ-НЕ. Для простейшей функции двух переменных х1 и х2  функция  у = 1 тогда и только тогда, когда х1 = х2 = 0:  

• функцию Шеффера, обозначаемую символически вертикальной черточкой ⎜(штрих Шеффера) и отображающую операцию И-НЕ. Для простейшей функции двух переменных х1 и х2  функция у = 0 тогда и только тогда, когда х1 = х2 = 1:

Т а б л и ц а  29.2

При одних и тех же значениях аргументов обе функции отображают опе­рацию инверсии. Важнейшие показатели функций Шеффера и Пирса представлены в табл. 29.2.

В последней строке табл. 29.2 приведены примеры построения двухвходовой схемы ИЛИ-НЕ, в которой к нагрузочному резистору R подключены коллекторы двух параллельно включенных биполярных транзисторов р-п-р-типа, эмит­теры которых заземлены, и схемы И-НЕ, в которой последовательно включены два биполярных транзистора р-п-р-типа (эмиттер ни­ж­него транзистора подключен к земле) и нагрузочный резистор R.

4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ                              МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ

Наиболее распространенным способом задания логических функций является табличная форма. Таблицы истинности позволяют полно и однозначно установить все существующие логические связи.  

При табличном представлении логических функций их записывают в одной из канонических форм: совершенной дизъюнктивной нормальной фо­­р­ме (СДНФ) или совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ).

Математическое выражение логической функции в СДНФ получают из таблицы истинности следующим образом: для каждого набора аргументов, на котором функция равна 1, записывают элементарные произведения переменных, причем переменные, значения которых равны нулю, записывают с инверсией. Полученные произведения, называемые конституентами единицы или минтермами, суммируют.

Запишем логическую функцию у трех пере­мен­ных а, b и c, представленной в виде табл. 29.3, в СДНФ:

.

Совершенной конъюнктивной нормальной фор­мой называют логическое произ­ве­де­ние эле­мен­тарных сумм, в каждую из которых аргумент или его отрицание входят один раз.

 При этом для каждого набора аргументов табли­цы истинности, на котором функция у рав­на 0, составляют элементарную сумму, причем пере­мен­ные, значение которых равно 1, записы­вают с отри­цанием. Полученные суммы, назы­вае­мые конституентами нуля или макстермами, объединяют операцией логического умножения.

 Для фун­кции (табл. 29.3) СКНФ

5. ПЕРЕХОД ОТ ЛОГИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

К ЛОГИЧЕСКОЙ СХЕМЕ

Для построения логической схемы необходимо логические элементы, предназначенные для выполнения логических операций, располагать, начиная от входа, в порядке, указанном в булевом выражении.

Построим структуру логического устройства, реализующего логическую функцию трех переменных

Слева располагаем входы а, b и c с ответвлениями на три инвертора, затем четыре элемента ИЛИ и, наконец, элемент И на выходе (рис. 29.1).

Итак, любую логическую функцию можно реализовать непосредственно по выражениям, представленным в виде СДНФ или СКНФ. Однако, полученная таким образом схема, как правило, не оптимальна с точки зрения её практической реализации: она громоздка, содержит много логических  эле­ментов и возникают трудности в обеспечении её высокой надёжности.

Алгебра логики позволяет преобразовать формулы, описывающие слож­ные высказывания с целью их упрощения [10]. Это помогает в конечном ито­ге определить оптимальную структуру того или иного логического устройства, реализующего любую сложную функцию. Под оптимальной структурой при­нято понимать такое построение логического устройства, при котором число входящих в его состав элементов минимально.

УЧЕБНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ

Задание 1. Запустить лабораторный комплекс Labworks и среду МS10 (щёлкнув мышью на команде Эксперимент меню комплекса Labworks). Открыть файл 29.2.ms10, размещённый в папке Circuit Design Suite 10.0 среды МS10, или собрать на рабочем поле среды MS10 схему для испытания основных и базовых логических элементов (см. рис. 29.2) и установить в диалоговых окнах компонентов их параметры или режимы работы. Скопировать схему (рис. 29.2) на страницу отчёта.

Схема (рис. 29.2) собрана на двоичных основных [ОR (ИЛИ), AND (И) и NOT (НЕ)] и универсальных (базовых) [NAND (И-НЕ) и XOR (ИЛИ-НЕ)] логических элементах, расположенных в библиотеке Misc Digi­tal/TIL с уро­в­нем высокого напряжения 5 В. В схе­му включены ключи 1, 2, ..., 9, пробники Х1, Х2, …, Х5 с пороговыми напряжениями 5 В, генератор прямоугольных сигналов Е1 с амплитудой Е = 5 В, длительностью импульса tи =  = 0,16 с и периодом Т = 4 с, и логический анализатор XLA1 (см. описание его настройки и работы в п. 2, Приложения 2).

 Для удобства измерения сигналов выходы логических элементов подключены к входам 2, 4, 6, 8 и 10 анализатора XLA1. При моделировании происходит медленная развёртка временных диаграмм в окне анализатора. По достижению интервала времени, равном 70…80% ширины окна, следует посредством кно­пки Run/Stop выключать процесс моделирования.

Оперируя ключами 1, 2, …, 9, сформировать все возможные ком­бинации аргументов х1 и х2 (00, 10, 01 и 11) на входе дизъюнктора (OR), конъюнктора (AND), штриха Шеффера (NAND) и стрелки Пирса (NOR) и записать значения выходных логических функций yк (0 или 1) в табл. 29.4.

 Заметим, что если ключ замкнут, то на этот вход элемента будет подана логическая единица (положительный потенциал 5 В), а при разомкнутом ключе – логический ноль. Поскольку инвертор (NOT) имеет один вход, то для формирования двух значений входного сигнала (логической единицы или логического нуля) достаточно одного ключа 5.

Значения функций исследуемых элементов можно контролировать с помощью пробников Х1, Х2, …, Х5: если выходной сигнал элемента равен логической единице, то включенный на выходе этого элемента пробник светится. Так, при положении ключей схемы (рис. 29.2) функции элементов OR, AND и NOR равны логической единице.

Т а б л и ц а  29.4

Задание 2. "Перетащить" из библиотеки Misc Digi­tal\TIL на рабочее поле среды MS10 необходимые логические элементы и собрать схему для реализации заданной в табл. 29.5 логической функции у с тремя аргументами а, b и c. Скопировать собранную логическую схему на страницу отчёта.

Т а б л и ц а  29.5

В качестве примера соберём схему для реализации логической функции

Анализ функции показывает, что для построения логической схемы нам потребуются три инвертора, три дизъюнктора, причем один дизъюнктор с двумя, а два − с тремя входами,  и два конъюнктора, причём один с двумя, а другой с тремя входами.

"Перетащим" на рабочее поле среды MS10 необходимые модели логических элементов из библиотеки Misc Digital\TIL, располагая их, начиная с входа, а именно:

− три инвертора NOT (NOT1, NOT2 и NOT3) для получения инверсий  аргументов a, b и с;

− конъюнктор AND1 с двумя входами для реализации функции ab;

− три дизъюнктора: OR2 для реализации функции y1= a + b + c, OR3 для реализации функции y2 =  и OR1, реализующий функцию y3 =        =  разместив их друг под другом (см. рис. 29.3).

Для выполнения функции логического умножения y = y1y2y3 добавим в схему конъюнктор AND2 c тремя входами, к выходу которого подключим логический пробник Х2 (уро­вень высокого напряжения 5 В) для сигнализации появления ло­ги­ческой единицы на выходе схемы. "Перетащим" из соответствующих библиотек на рабочее поле источник прямоугольных сигналов Е1 и ключ 1, расположив их на входе схемы.

Соединив "проводниками" входы и выходы элементов в соответствии с логическими выражениями составляющих заданной функции и записав в отчёте ожидаемые результаты выполнения операций на выходах элементов (рис. 29.4), приступим к моделированию, открыв файл 29.2.ms10, размещённый в папке Circuit Design Suite 10.0 среды МS10.

С этой целью вначале щелкнем мышью на кнопке Run/Stop, затем нажмём управляющую ключом клавишу с цифрой 1 клавиатуры. Если соединения элементов выполнены правильно, то пробник Х2 засветится. При выключении ключа 1 пробник гаснет и т. д. По окончании моделирования щёлкнем мышью на кнопке Run/Stop.

Примечания. 1. Основным измерительным прибором для проверки цифровых электронных схем является логический пробник. После двойного щел­чка мышью на его изображении в открывшемся окне нужно задать уро­вень высокого напряжения, например, 5 В (см. рис 29.4), при котором он светится. Если пробник не светится, то это обычно означает, что уровень проверяемого напряжения находится в промежутке между высоким и низким. Поиск неисправностей нужно начинать с проверки подачи сигналов высокого уровня генератором сигналов на входы элементов, затем про­верить правильность выполнения ими логических функций в схеме и проконтролировать появление сигналов на выходах.

2. Таблицы истинности для рассмотренных библиотечных логических элементов можно вызвать нажатием клавиши помощи F1 после выделения на схеме соответствующего элемента.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1. Наименование и цель работы.

2. Перечень приборов, использованных в экспериментах, с их крат­кими характеристиками.

3. Изображения электрической схемы для испытания логических элементов и собранной схемы для реализации заданной логической функции.

4. Таблицы истинности, отображающие работу исследуемых логических элементов.

5. Выводы по работе.

              ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К РАБОТЕ 29

1. Укажите признаки, характеризующие основные логические элементы.

        ? На входах логических элементов аналоговые сигналы, а на выходах − цифровые

        ? Операции логического сложения, логического умножения и инверсия не составляют функционально полный набор

        ?  Используя основные логические операции И, ИЛИ и НЕ, можно аналитически выразить любую сложную логическую функцию

        ? Минимальный логический базис составляют операции ИЛИ и НЕ или И и НЕ

        ? Входные и выходные сигналы логических элементов могут принимать только два значения: логическую 1 и логический 0  

        ? Операция логического сложения совпадает с операцией обычного сложения

2. Укажите выражение логической функции двух переменных х1 и х2, реализуемой элементом "Стрелка Пирса".

3. Укажите выражение логической функции двух переменных х1 и х2, реализуемой элементом "Штрих Шеффера".

4. Укажите выражение логической функции трех переменных а, б и с, записанной в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ).

5. Укажите элемент ИЛИ-НЕ.

6. Укажите элемент И.

     7. Укажите значение функции если а = b = с = 1.