Тема: применение метода статистических испытаний для оценки эффективности огневых ударов реактивных систем залпового огня.

 Содержание

1. Теоретическая часть

1. Числовые характеристики, случайные величины.                        2
2. Метод  Монте-Карло.                                                                          3
3. Случайные цифры и случайные числа.                                        5
4. Датчики случайных чисел.                                                        4
5. Моделирование  случайных величин.                                        6
6. Центрально предельная теорема.                                                8
7. Теорема Чебышева.                                                                8
8. Примеры применения метода Монте-Карло.                                9

II.    Задание                                                                                         13

III.   Вычисления                                                                                   14

IV.    Выводы.                                                                                18

I Теоретическая часть

1. Числовые характеристики, случайные величины.

Определение 1:    Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, заранее известно какое. Случайные величины можно разделить на две категории.

 Определение 2: Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы). Это множество может быть как конечным, так и бесконечным. Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

   Определение 3: Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.

Математическое ожидание

Определение 4:  Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений xi на их вероятности pi:

     (1)

Определение 5: Математическим ожиданием (средним значением, центром распределения) М(Х) непрерывной случайной величины X называется интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения вероятностей р(х):

      (2)

Если все возможные значения величины X сосредоточены на конечном интервале (), то

   (3)

Дисперсия.

Определение 6: Дисперсией случайной величины X называют число D(X), равное математическому ожиданию (среднему) случайной величины (X — М(Х))2, т.е.

D(X)= M((X-M(X))2).      (4)

В частности для дисперсии дискретной величины следует

       (5)

а для дисперсии непрерывной величины

        (6)

Средне  квадратическое  отклонение 

Определение 7:   средне квадратическое отклонение случайной величины X- это квадратный корень из дисперсии и обозначается σ(Х):

                         (7)

В математической статистике квадратичное отклонение употребляют как меру качества статистических оценок, и называют в этом случае квадратичной погрешностью (ошибкой).

2. Метод  Монте-Карло

Общая схема метода Монте-Карло.

Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений.

Возникновение идеи использования случайных явлений в области приближённых вычислений принято относить к 1878 году, когда появилась работа Холла об определении числа p с помощью случайных бросаний иглы на разграфлённую параллельными линиями бумагу. Существо дела заключается в том, чтобы экспериментально воспроизвести событие, вероятность которого выражается через число p, и приближённо оценить эту вероятность. Отечественные работы по методу Монте-Карло появились в 1955-1956 годах. С того времени накопилась обширная библиография по методу Монте-Карло. Даже беглый просмотр названий работ позволяет сделать вывод о применимости метода Монте-Карло для решения прикладных задач из большого числа областей науки и техники.

Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались малопригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию.

Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение a  некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.

Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое  и принимают x в качестве оценки (приближённого значения) a* искомого числа a:

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти её возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания, а его оценкой.

3) Случайные цифры и случайные числа

 Пусть R непрерывная случайная величина, равномерно распределенная на промежутке (0;1). Ее характеристики: 0 (8)

Как правило, случайную величину R  выбирают, в качестве стандартной. Реже, в качестве стандартной,  используют  дискретную  случайную величину  принимать 10 значений: 0,1,2, …, 9.

Распределение   задается рядом

Случайная величина R  называется случайным числом, а случайная величина  – случайной цифрой. Иногда  называют десятичной случайной цифрой, чтобы отличить ее от двоичной случайной цифры - величины  с распределением

3.1) Датчики случайных чисел.

Для получения случайных чисел и случайных цифр используют датчики случайных чисел. Самый простой - вращающийся барабан, в котором перемешиваются  пронумерованные шарики (или жетоны).

Для розыгрыша на ЭВМ применяются специальные датчики, которыми снабжены многие вычислительные машины. Это могут быть как «физические датчики», основанные на преобразовании случайных шумов, так и вычислительные алгоритмы, по которым сама машина вычислять так называемые псевдослучайные числа.

3.2) Генераторы случайных чисел.

В качестве генераторов случайных вели­чин чаще всего используют шумы в электронных лам­пах: если за некоторый фиксированный промежуток вре­мени уровень шума превысил заданный порог четное число раз, то записывается нуль, а если нечетное число раз, то записывается единица.

Однако этот метод не свободен от недостатков. Во-первых, трудно проверить «качество» вырабатываемых чисел. Проверки приходится делать периодически, так как из-за каких-либо неисправностей может возникнуть так называемый «дрейф распределения»

Лучше использовать так называемые псевдослучайные числа.

3.3) Псевдослучайные числа.

Числа, получаемые по какой-либо формуле и имити­рующие значения случайной величины R, называются псевдослучайными числами. Под словом «имитирующие» подразумевается, что эти числа удовлетворяют ряду те­стов так, как если бы они были значениями этой случай­ной величины.

Первый алгоритм для получения псевдослучайных чисел был предложен Дж. Нейманом. Он называется методом середины квадратов. 

Достоинства метода псевдослучайных чисел довольно очевидны. Во-первых, на получение каждого числа за­трачивается всего несколько простых операций, так что скорость генерирования случайных чисел имеет тот же порядок, что скорость работы ЭВМ. Во-вторых, про­грамма занимает всего несколько ячеек накопителя. В-третьих, любое из чисел может быть легко воспроизведено. В-четвертых, нужно лишь один раз проверить «качество» такой последовательности, затем ее можно много раз безбоязненно использовать при расчете сход­ных задач.

Единственный недостаток метода — ограниченность «запаса» псевдослучайных чисел.

4)      Моделирование случайных величин

4.1) Моделирование дискретных случайных величин 

Пусть Х - дискретная случайная величина имеет - закон распре-
деления

   (9)
 

Чтобы получить значение этой случайной величины, разделим интервал 0 r1 на интервалы  такие, что длина   =   

ТЕОРЕМА I. Случайная величина    X, определенная формулой X = когда    R € , имеет распределение вероятностей (2). Доказательство  }=P{ R  }= длина   =  (10)

 Значит, для того чтобы разыграть значение дискретной случай­ной величины    X, нужно:

1. знать ряд распределения этой случайной величины (9);
2. разбить интервал (0; I) числовой оси Or на частичные ин­тервалы точками   p1, р1 + р2, p1+ р2+ р3, ....  + р2 +

+ ... + pn-1   так, чтобы       =  

пользуясь таблицей случайных цифр, составить случайное число  R;

4)посмотреть, в какой частичный интервал попало случайное число    R ; так как длина интервала     равна вероятности того, что случайная величина X принимает значение, равное    , то разыгранное значение случайной величины  X = .

4.2) Моделирование непрерывных  случайных  величин 

Пусть случайная величина Х  (а, Ь)  имеет f(x)  > 0, найдем

       F(x)= (11)

   ТЕОРЕМА II. Случайная величина    X, удовлетворяющая уравнению
       F(x) = R, (11.2)        

имеет плотность распределения f(x).

Доказательство: так как    F(x)строго возрастает на интер­вале (0; I), то    F(a) = 0,    F(b)=1.

Уравнение (9) имеет при каждом R единственный корень

\ р{x<Х<х + }= p{f(x) <R<F(x+ х)} =F(х + х) -F(х)= f (х)dx.

  Значит, для того чтобы разыграть значение непрерывной слу­чайной величины    X, нужно:

1)        знать формулу функции распределения случайной величины
F(x);

2)        в этой формуле вместо    F(x)поставить R и решить полу­ченное уравнение относительно  X;

3. составить случайное число    R, пользуясь таблицей случай­ных цифр;
4. поставив случайное число R в выражение для    X, получить значение случайной величины  ;

5)  Центральная предельная теорема

При сложении достаточно большого числа независимых случайных величин с одинаковыми распределениями получается случайная величина , имеющая приблизительно нормальное распределение , поэтому разыгрывание возможного значения случайной величины X  N(0;1 может производиться по формуле)

= или

Для разыгрывания случайной величины Zберут возможное значение и находят  по формуле

6)   Теорема Чебышева.

Пусть  -n независимых значений случайной величины X()

Рассмотрим  сл.в.

,                                                                  (11)

,                                                                (12)

При nY- среднее арифметическое сл. Величин - сходится по вероятности к их математическому ожиданию.

P>1-,                                                        (13)

Где 0< <.                                                                        (14)

7)Примеры применения метода Монте-Карло

1. Расчет системы массового обслуживания

    Описание задачи. Рассмотрим одну из са­мых простых систем массового обслуживания. Система эта состоит из n линий (или каналов, или пунктов об­служивания), каждый из которых может «обслуживать потребителей». В систему поступают заявки, причем мо­менты их поступления случайные. Каждая заявка посту­пает на линию номер 1. Если в момент поступления k-й заявки (назовем его Тк) эта линия свободна, то она при­ступает к обслуживанию заявки, что продолжается  минут (t3 — время занятости линии). Если в момент  ли­ния номер 1 занята, то заявка мгновенно передается на линию номер 2. И так далее...

Наконец, если все n линий в момент  заняты, то си­стема выдает отказ.

Требуется определить, сколько (в среднем) заявок обслужит система за время Т и сколько отказов она даст?

Ясно, что задачи такого типа встречаются при иссле­довании организации работы любых предприятий, а не только предприятий бытового обслуживания. В некото­рых очень частных случаях удается найти аналитиче­ские решения. Однако в сложных случаях (о них будет сказано ниже) метод Монте-Карло оказывается един­ственным методом расчета.

  1.2.Простейший поток заявок. Первый во­прос, возникающий при рассмотрении такой системы: что представляет собой поток поступающих заявок? Этот вопрос решается опытом, путем достаточно длительного наблюдения за заявками. Изучение потоков заявок в раз­личных условиях позволило выделить некоторые доста­точно часто встречающиеся случаи наблюдения за заявками. Изучение потоков заявок в раз­личных условиях позволило выделить некоторые доста­точно часто встречающиеся случаи.

Простейшим потоком (или потоком Пуассона) назы­вается такой поток заявок, когда промежуток времени τ   между двумя последователь­ными заявками есть случай­ная величина, распределен­ная в интервале (0, ) с плотностью

 (15)

       (так как мы имеем показательный закон распределения)

    Чтобы смоделировать непрерывную случайную величину X, которая подчиняется показательному закону распределения.

1. Сначала найдем

                             (16)

2.Напишем уравнение

                                               (17)

Отсюда                                                                (18)

2. При λ=1 и R = 0,690;    0,749;     0,413;     0,887, получаем значения для           Х  = 1,171;    1,382;     0,533;     2,180.

7.2.Расчет качества и надежности изделий

Простейшая схема расчета качества. Рассмотрим изделие S, состоящее из некоторого (может быть, большого) числа элементов. Предположим, что качество изделия опре­деляется значением одного выходного параметра U.

                                                               (19)

Например, U — это напряжение на рабочем участке электрической цепи.

В действительности параметры элементов не равны в точности указанным значениям. Например, со­противление, может оказаться любым в интервале от 20,9 до 23,1 KΩ.

Вопрос: как повлияют отклонения сопротивлений всех эле­ментов, от номинальных на значение U?

Разумнее считать сопротивления всех элементов и саму величину U случайными величинами и попытать­ся оценить математическое ожидание МU и дисперсию DU.

Вероятностное распределение параметров для каждо­го отдельного элемента можно получить эксперимен­тально, путем просмотра большой партии таких эле­ментов. Весьма часто это распределение оказывается нормальным. За пример, будем считать сопротивление элемента, нормальной слу­чайной величиной ρ с математическим ожиданием Мρ= 22 и с 3σ=1,1 (напомним, что получить в одном опыте значение ρ, отклоняющееся от Мρ больше чем на 3о, практически невозможно, см. (20)).

5.2.1 Примеры расчета надежности. Пусть мы хотим оценить среднее время безотказной работы

изделия, предполагая, что известны характеристики безотказной работы ка­ждого из элементов.

                                         рис № 2

Если вре­мя безотказной работы каждого элемента  фиксированная величина, то время безотказ­ной работы t изделия, например, для изделия, схематически изображенного на рис.2, в ко­тором выход из строя одного элемента влечет за собой выход из строя всего изделия,

                                         (20)

Экспериментально было доказано, работа элемента подчиняется показательному закону распределения. В данной задаче, для расчета надежности метода Монте-Карло, нам необходимо разыграть случайную величину, распространенную по нормальному закону.

Пример. По цели производят 6 независимых выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,2; количество выстрелов, необходимое для поражения данной цели,-2. С помощью метода Монте-Карло определить вероятность поражения цели и максимальную величину возможной ошибки в определении вероятности.

Решение. Случайные числа для проведения 20 испытаний приведены в таблице №3. Эти числа получены с помощью датчика случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0;1) числовой оси  yна 2 частотных интервала. Длина первого интервала равна 0.2 – вероятности попадания в цель при одном выстреле; длина второго равна  0,8- вероятности непопадания в цель при одном выстреле. Каждое случайное число соответствует одному выстрелу, попадание случайного числа в первый ли второй интервал позволяет определить результат выстрела: попадание или промах. Если случайное число попадает на границу интервала, можно считать, что принадлежит как первому, так и второму интервалу(об этом договариваются до начала моделирования).

Таблица №3

Примечание П – цель поражена, Н- цель не поражена.

Результаты первого испытания таковы: одно попадание в цель и 5 промахов( см табл.3).так как для поражения цели необходимы как минимум два попадания => в первом испытании цель поражена.рассуждая аналогично, определяем результаты следующих испытаний, они приведены в последней графе табл.3.

Рассчитаем частоту поражения цели по результатам испытаний. Для этого найдем отношение числа испытаний, результатом которого было поражение цели к общему числу испытаний.

Рассчитаем максимальную величину возможной ошибки  в определении вероятности.

                                         (21)

Учитывая, что для доверительной вероятности 0,80 величина =1,29, получим .

Тема: применение метода

2. Задание

В а р и а н т № 2.

Оценить эффективность огневого удара батареи РСЗО (4 боевых машины) по танковой роте противника.

Координаты танков:

Плоскость стрельбы совпадает с осью Оу. Точки прицеливания назначить самостоятельно. Расход снарядов для одной боевой машины – 5.

Снаряды самонаводящиеся, точность наведения снаряда в точку прицеливания характеризуется круговой срединной ошибкой Е = 30 м.

Радиус зоны поражения боеприпасом танка R = 10 м.

Оценить:

1.-среднюю эффективность при пяти залпах (м.о. числа поражённых танков);

2.-вероятность того, что эффективность огневого удара составит не менее 10%;

3.-практически возможную ошибку, которую мы сделаем, если за математическое ожидание примем среднюю эффективность огневого удара при доверительной вероятности Р=95%;

4.-число залпов, необходимое для того, чтобы максимальная ошибка не превышала заданной величины ε = 0,03.

III.   Вычисления

1.Координаты точек прицеливания.

   Для установки точек прицеливания я использовал очень простой метод. Первое что я сделал- это наметил координаты танков. Затем обвел точки одной большой площадью. Далее полученный прямоугольник я разделил на четыре части, и в качестве точек прицеливания взял центр каждого прямоугольника, получив тем самым следующие координаты:

2.Координаты точек падения снарядов.

При первом залпе:

При втором залпе

При третьем залпе

При четвертом залпе

При пятом залпе

Как я получил данный результат? Каждая реализация одного залпа представляет собой  моделированный «обстрел цели» n=4 ракетами, т.е. для каждой ракеты нужно разыграть две случайные величины , распределенные по нормальному закону со срединным отклонением равным 30м и центром рассеивания с координатами, равными координатам точек прицеливания. Если выбрать оси параллельно главным осям рассеивания, то эти величины будут независимыми. Таким образом, мы получим координаты точек падения снарядов.

Т.к. нам заданы срединные отклонения, напишем формулы для разыгрывания случайных величин

                                                                           (22)

Где -приведенная функция Лапласа;

                                         (23)

Отсюда находим .

                                                                (24)

                                                                 (25)

Используя таблицу приведенных функций Лапласа, получим .

3.Ведение огня.

Найдя координаты точек падения снарядов, наношу их на миллиметровку и нахожу количество пораженных танков.

     

 

  

  

  

Где -количество попаданий при i-ом залпе, -количество пораженных танков во время i-го залпа,  - доля поражения при i-й реализации.

Чтобы найти математическое ожидание, суммирую доли поражения при всех реализациях и делю на их количество.

                                                                       (26)

Подставляю в исходную формулу полученные значения:

4. Вероятность того, что будет поражено не менее заданной доли  (см.условие)  количества танков, найдем как частоту этого события. Число реализаций, в которых было поражено не менее 0,1 количества танков m=0, =>

 

                                                                         (27)

5. Практически возможную ошибку, которую имею возможность допустить, если приму за  математическое ожидание среднее арифметическое количества пораженных танков, я нахожу используя формулу Чебышева, с доверительной вероятностью:

                                                                                         (28)

Для этой формулы мне необходима дисперсия. Т.к. cслучайная величина непрерывна(см. теоретическую часть) дисперсию находим по формуле:

                                                               (29)

Подставляю в формулу собственные числа:

Т.к. есть доверительная вероятность, то я могу найти δ.

                                                                                       (30)

Подставив свое значение, получаю:

 Найдя все значения, подставляю их в формулу Чебышева:

6. Следующим пунктом будет нахождение числа реализаций, необходимое для того, чтобы максимальная ошибка не превышала заданной величины 𝜺=0,03, нахожу так же при помощи теоремы Чебышева.

Имея доверительную вероятность P=0,95, δ=0,05, дисперсию Du=0,34,а так же а так же заданную максимальную ошибку 𝜺=0,03 находим число реализаций:

                                       (31)

IV. Выводы.

1.Если проводить много серий испытаний, в одинаковых условиях, по пять залпов в каждой, то с вероятностью Р=0,95,  в 95 случаях из 100 ошибка которую мы сделаем, если примем за математическое ожидание среднее арифметическое пораженной площади(количества пораженных танков) будет равна 0,3.

2. Если проводить много серий испытаний, в одинаковых условиях, по пять залпов в каждой, то для того, чтобы с вероятностью Р=0,95, ошибка составляла 0,03 нужно сделать 489 залпов.

3. В ходе выполнения работы, было выяснено, что основным преимуществом метода статистических испытаний является моделирование той или иной ситуации, без непосредственного проведения опыта, а недостатком является необходимость проведения огромного количества расчетов, для того чтобы значение рассчитываемого математического ожидания приблизилось к истинному значению.

4.За время выполнения курсовой работы я научился рассчитывать, наносить, а так же использовать в решении задачи координаты точек прицеливания, а так же координаты точек падения снарядов.

5. В ходе выполнения курсовой работы, я рассмотрел несколько примеров задач, которые можно применять в ходе выполнения задач артиллерии.