Построение фазового портрета

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического моделирования





КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине: «Дифференциальные уравнения»
на тему:
«Построение фазового портрета»














Выполнил:
Студент группы
МиКН 123


Проверил:
К.п.н., доцент







Тюмень 2014
СОДЕРЖАНИЕ
I. Постановка задачи........................................................................................................3
II. Теорема Хартмана-Гробмана.....................................................................................4
III. Исследование дифференциальных уравнений........................................................5
IV. Фазовые портреты.....................................................................................................9
V. Список литературы...................................................................................................10





















ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Уравнение маятника может быть аппроксимировано в окрестности начала координат уравнением . Построить фазовые портреты обоих уравнений при .





















НЕОБХОДИМАЯ ТЕОРИЯ
Теорема Хартмана-Гробмана (о линеаризации):
Если собственные значения матрицы Якоби отрицательны или имеют отрицательную действительную часть, то устойчивость неподвижной точки исходной системы совпадает с устойчивостью линеаризации. Если хотя бы одно из собственных значений матрицы Якоби положительно или имеет положительную действительную часть, то устойчивость линеаризации совпадает с устойчивостью исходной системы. Если корни собственных значений имеют нулевую действительную часть, то про устойчивость линеаризации нельзя определить устойчивость исходной системы. Тот же самый вывод мы делаем если хотя бы один из собственных значений равен нулю.

















ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для начала исследуем уравнение маятника: x ̈+ω^2 sinx=0
Приведем дифференциальное уравнение второго порядка к системе дифференциальных уравнений первого порядка при помощи замены x ̇=y
{█(x ̇=y@y ̇=-ω^2 sinx)┤
Это нелинейная система, поэтому выполним линеаризацию исходной системы. Сначала найдем матрицу Якоби: J=(■(∂f/∂x&∂f/∂y@∂g/∂x&∂g/∂y)), где f=y, а g=-ω^2 sinx
J=(■(0&1@-ω^2 cosx&0))
Так как в задаче говорится о окрестности начала координат, то собственные значения будем находить в точке (0,0). Рассмотрим три случая: ω=1, ω=2, ω=3
1) ω=1 2) ω=2 3) ω=3
|■(-λ&1@-1&-λ)|=0 |■(-λ&1@-4&-λ)|=0 |■(-λ&1@-9&-λ)|=0
λ^2+1=0 λ^2+4=0 λ^2+9=0
λ_1,2=±i λ_1,2=±2i λ_1,2=±3i
Во всех трех случаях получается центр, но не выполняется теорема Хартмана-Гробмана (о линеаризации), поэтому придется провести дополнительные исследования, используя первый интеграл и консервативные системы.
Дифференциальное уравнение dy/dx=(-ω^2 sinx)/y является уравнением с разделяющимися переменными, решим его.
ydy=-ω^2 sinxdx
∫▒〖ydy=-ω^2 ∫▒sinxdx〗
y^2/2=ω^2 cosx+C
y^2/2-ω^2 cosx=C=E - первый интеграл. Он существует для всех (x,y) на плоскости, следовательно, данная система является консервативной.
Найдем собственные значения гессиана и определим чем является особая точка.

H=(■(ω^2 cosx&0@0&1))
Найдем собственные значения в точке (0,0)
|■(ω^2-λ&0@0&1-λ)|=0, λ^2-λ(ω^2+1)+ω^2=0
ω=1: λ^2-2λ+1=0,λ_1,2=1;
ω=2: λ^2-5λ+4=0,λ_1=4,λ_2=1;
ω=3: λ^2-10λ+9=0,λ_1=9,λ_2=1;
При всех ω собственные значения положительные, следовательно, особая точка является локальным минимумом. Если особая точка функции является локальным минимумом, то кривые уровня функции замкнуты в окрестности точки равновесия. Таким образом, развязки нелинейной системы также образуют замкнутые кривые вокруг точки равновесия, и точка равновесия является нелинейным центром и нейтрально устойчива.
Теперь исследуем второе уравнение: x ̈+ω^2 (x-x^3/6)=0
Приведем дифференциальное уравнение второго порядка к системе дифференциальных уравнений первого порядка при помощи замены x ̇=y
{█(x ̇=y@y ̇=-ω^2 (x-x^3/6))┤
Это нелинейная система, поэтому выполним линеаризацию исходной системы. Сначала найдем матрицу Якоби: J=(■(∂f/∂x&∂f/∂y@∂g/∂x&∂g/∂y)), где f=y, а g=-ω^2 (x-x^3/6)
J=(■(0&1@-ω^2+ω^2 x^2/2&0))
Так как в задаче говорится о окрестности начала координат, то собственные значения будем находить в точке (0,0). Рассмотрим три случая: ω=1, ω=2, ω=3
1) ω=1 2) ω=2 3) ω=3
|■(-λ&1@-1&-λ)|=0 |■(-λ&1@-4&-λ)|=0 |■(-λ&1@-9&-λ)|=0
λ^2+1=0 λ^2+4=0 λ^2+9=0
λ_1,2=±i λ_1,2=±2i λ_1,2=±3i
Во всех трех случаях получается центр, но не выполняется теорема Хартмана-Гробмана (о линеаризации), поэтому придется провести дополнительные исследования, использую первый интеграл.
Дифференциальное уравнение dy/dx=(-ω^2 (x-x^3/6))/y является уравнением с разделяющимися переменными, решим его.
ydy=-ω^2 (x-x^3/6)
∫▒〖ydy=-ω^2 ∫▒〖(x-x^3/6)dx〗〗
y^2/2=〖-ω〗^2 x^2/2+ω^2 x^4/24+C
E=C=y^2/2+ω^2 x^2/2-ω^2 x^4/24 - первый интеграл. Он существует для всех (x,y) на плоскости, следовательно, данная система является консервативной.
Найдем собственные значения гессиана и определим чем является особая точка.
H=(■(ω^2-ω^2 x^2/2&0@0&1))
Найдем собственные значения в точке (0,0)
|■(ω^2-λ&0@0&1-λ)|=0, λ^2-λ(ω^2+1)+ω^2=0
ω=1: λ^2-2λ+1=0,λ_1,2=1;
ω=2: λ^2-5λ+4=0,λ_1=4,λ_2=1;
ω=3: λ^2-10λ+9=0,λ_1=9,λ_2=1;
При всех ω собственные значения положительные, следовательно, особая точка является локальным минимумом. Если особая точка функции является локальным минимумом, то кривые уровня функции замкнуты в окрестности точки равновесия. Таким образом, развязки нелинейной системы также образуют замкнутые кривые вокруг точки равновесия, и точка равновесия является нелинейным центром и нейтрально устойчива.













ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ
Отсюда видим, что у обоих уравнений в точке (0,0) центр. Построим их фазовые портреты при ω=1,ω=2,ω=3
Фазовые портреты x ̈+ω^2 sinx=0 в окрестности точки (0,0):
ω=1 ω=2 ω=3

Фазовые портреты x ̈+ω^2 (x-x^3/6)=0 в окрестности точки (0,0):
ω=1 ω=2 ω=3

Из фазовых портретов можно сделать вывод, что чем больше ω, тем фазовый портрет более вытянут вдоль оси ОУ.





СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Д. Эрроусмит, К.Плейс Обыкновенные дифференциальные уравнения, М:"Мир", 1986.
2. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление, М:"Наука", 1971.