Титульник
С О Д Е Р Ж А Н И Е
I. Введение 3
II. Общие понятия 4
III. Сравнение интервалов 6
Сравнение по максимальному или минимальному значению 6
Сравнение интервалов по совокупности значений границ 6
Сравнение по среднему значению 7
IV. Приложения 8
V. Заключение 15
VI. Список литературы 16
Введение
В математическом моделировании интервальные методы и модели применяются для анализа неопределенности, возникающей при использовании данных сошибками, при отсутствии знаний о вероятностных свойствах объекта, при возникновении ошибок округления в расчетах с конечной точностью. Результатом применения интервальных моделей является оценка решения или область возможных решений. Математический аппарат интервальных вычислений позволяет формулировать интервальные уравнения, интервальные оптимизационныезадачи и анализировать интервальные функции. В последние годы интервальные методы моделирования начинают использоваться в микроэкономическоманализе, можно также отметить теорию интервальных предпочтений и интервальные вероятностные модели.Отметим, что интервалы действительно являются наиболее просто устроенными и наиболее просто описываемыми множествами в R. Именно их следует прежде всего рассмотреть в качестве средства представления ограниченных неопределённостей.
Основной вопрос, возникающий в отношении интервальных оптимизационных задач, касается определения решения, в частности понятия экстремума интервальнозначной функции и выполнения интервального неравенства. Применительно к последним известны прямое теоретико-множественное сравнение интервалов, а также «сильное», «слабое» и «центральное» определения. Всевозможные сочетания данных определенийпозволяют перейти от интервальной постановки оптимизационных задач к решению различных детерминированных линейных и нелинейных задач оптимизации.
1 Общие понятия
В данном пункте вводятся основные определения и понятия для работы с интервальными величинами и операции над ними.
Замечание 1.1. Здесь и далее жирным шрифтом будем выделять интервальные величины.
Определение 1.1.Интерваломa вещественной оси Rназовём множество
При этом и называются границами интервала , левой и правой соответственно. Множество всех вещественных интервалов обозначим символом IR.
В противоположность интервалам и интервальным величинам будем называть точечными те величины, значениями которых являются отдельные точки вещественной оси, плоскости или какого-либо пространства.
Арифметические операции – сложение, вычитание, умножение и деление – над интервалами определим в соответствии со следующим фундаментальным принципом:
(1)
для интервалов a и b таких, что выполнение точечной операции имеет смысл для любых . При этом вещественные числа aотождествляются с интервалами нулевой ширины называемыми также вырожденными интервалами. Через ( ) условимся обозначать интервал так что
Утверждение 1.1. Для интервальных арифметических операций развёрнутое определение, равносильное (1), задаётся следующими формулами:
(2)
(3)
(4)
(5)
Алгебраическая система образованная множеством всех вещественных интервалов с бинарными операциями сложения, вычитания, умножения и деления, которые определены формулами (2)–(5), называется классической интервальной арифметикой.
Специального комментария требует тот факт, что в классической интервальной арифметике отдельно вводятся действия вычитания и деления интервалов. В поле вещественных чисел R, к примеру, они определяются не самостоятельно, а как операции, обратные сложению и умножению. Но для действий над интервалами таким путём идти уже нельзя, поскольку интервальное вычитание не обратно сложению, а интервальное деление не обратно умножению: в общем случае
Так как интервалы – это множества, то для них определяется частичное упорядочение по отношению включения:
(6)
Имеет место свойство монотонностипо включению: для любых интервалов и любой операции
(7)
которое вытекает непосредственно из (1).
Любой интервал полностью задаётся двумя числами — своими концами, но на практике часто используются и другие характеристики интервалов. Важнейшими из них являются середина (центр) интервала
mida = 1/2(a_1 + a_2), (8)
ирадиус
rada = 1/2(a_1- a_2). (9)
2 Сравнение интервалов
Рассмотрим два интервалаa=[a_1,a_2 ] и b=[b_1,b_2 ] и реализуем сравнение этих интервалов на теоретико-множественном уровне, рассматривая их как единое целое, не подлежащее дроблению на более мелкие части.
Операцию взятия максимума и минимума двух произвольных интервалов a=[a_1,a_2 ] и b=[b_1,b_2 ] введём в виде следующих теоретико-множественных конструкций
a ̃⋁b ̃=[a_1,a_2 ]⋁[b_1,b_2 ]=[a_1⋁b_1,a_2⋁b_2 ];
a ̃⋀b ̃=[a_1,a_2 ]⋀[b_1,b_2 ]=[a_1⋀b_1,a_2⋀b_2 ]; (10)
Согласно (10) взятие максимума (минимума ) двух интервалов и определяется как взятие максимума (минимума ) двух точечных величии и , при условии, что конкретные значения этих величин пробегают все возможные значения соответственно из интервалов и .
Теперь для того чтобы интервалы и можно было сравнить по величине, установив их отношение или , необходимо, во-первых, чтобы введенные операции и над этими интервалами существовали, во-вторых, чтобы эти две операции давали в результате один из операндов или .
Усло¬вие существовании операции взятия максимума и минимума двух интервалов очевидно выполняется всегда, причем результатом операции оказывается некоторый, вообще говоря, новый интервал. Таким образом, необходимым и доста¬точным условием сравнимости двух интервалов и оказывается условие, по которому операции и должны иметь своим результатом один из интервалов или .
2.1 Сравнение по максимальному или минимальному значению
Пусть даны интервалы a =[a_1,a_2],b = [b_1,b_2]
Будем считать, что интервал a не меньше интервала b(a≥b), если левая граница интервала a не меньше левой границы интервала b(a_1≥b_1). Данный осторожный подход к сравнению интервалов называется пессимистическим.
Сравнение по правым границам (a_2≥b_2) называется оптимистическим или максимальным подходом.(также написать его словами)кого?
Перепечатать в наших обозначениях (в программу можно не добавлять)
хз какие они - ваши
Достоинства такого метода — простота интерпретации полученного решение, простая реализация самого сравнения.
Недостаток —ориентировка на какое-то одно определенное сочетание значений параметров, что может обернуться некорректным решением более сложных задач, включающих в себя интервальное сравнение.
Привести примеры!(Даны два интервала и сравнить их тремя методами).??!!
В приложении 1 приведены результаты работы программы, реализующей данный подход, и ее листинг.
2.2 Сравнение интервалов по совокупности значений границ
Пусть даны интервалы a = [a_1,a_2 ], b = [b_1,b_2].
Теорема 1. Для того чтобы два интервала a = [a_1,a_2 ] и b = [b_1,b_2] были сравнимы по величине (отношению ≥) и находились в отношении a ≥ b, необходимо и достаточно, чтобы границы этих интервалов подчинялись условиям a_1≥b_1, a_2 ≥ b_2, а для того чтобы они были сравнимы по величине (отношению ≤) и находились в отношении a ≤ b, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия a_1 ≤ b_1,a_2 ≤ b_2.
Теорема 1 показывает, что интервалы a и b сравнимы по отношению ≥ и ≤ (и находятся именно в этом отношении) только в случае, когда в таком же отношении находятся их одноименные границы a_1, b_1 и a_2, b_2. Таким образом, интервалы a и b находятся в отношении a ≥ b только когда a сдвинут обеими границами вправо относительно b и находятся в отношении a ≤ b только когда a сдвинут обеими границамивлево относительно b. Значение теоремы 1 состоит в том, что она сводит сравнение двух интервалов и выбор большего (меньшего) из них к сравнению границ этих интервалов, являющихся обычными вещественными числами, тем самым разрешается проблема сравнения интервалов.
Теорема 2. Для того чтобы два интервала a ̃ = [a_1,a_2] и b ̃ = [b_1,b_2] были несравнимы по величине (по отношению ≥ и ≤), т. е. не находились в отношении a ̃ ≥ b ̃ или a ̃ ≤ b ̃, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (a_1<b_1, a_2>b_2) или (b_1<a_1, b_2>a_2).
Теорема 2 показывает, что интервалы a и b несравнимы по отношению ≥ и ≤ только в том случае, когда один из них полностью “накрывает” другой.
В соответствии с теоремами 1 и 2 составлена программа сравнения двух интервалов и получены следующие результаты, с которыми можно ознакомиться в приложении 2.
Достоинством такого метода, как и в прошлом случае, является простота реализации и представления полученного результата. Но невозможность сравнивать вложенные интервалы — существенный недостаток сравнения, и он ставит под сомнение целесообразность использования этого подхода.
Пример!!!??!![2] (один пример без вложенных интервалов, другой – с ними).
В приложении 1 приведены результаты работы программы, реализующей данный подход, и ее листинг.
2.3 Сравнение с использованием меры удалённости интервалов
Как показывают теоремы 1, 2, подход, основанный только на общих принципах интервaльной математики, не позволяет сравнивать интервалы, накрывающие друг друга, ни по одному из отношений >,≥ , = . Это приводит к невозможности получения в указанных случаях решений задач оптимизации систем с неточно известными (интервальными) параметрами. С практической точки зрения это нежелательно. Возникает задача разработки разумных правил сравнения накрывающих друг друга интервалов по отношениям >, ≥, =. Эти правила должны быть совместимы с полученными ранее (см. теоремы 1, 2) и в совокупности давать возможность сравнения любых интервалов по набору отношений >, ≥, =. В результате решение за-дач оптимизации систем с интервальными параметрами окажется возможным во всех, без исключения, случаях.
Пусть даны интервалы a = [a_1,a_2], b = [b_1,b_2]. В п.1 введены операции взятия максимума и минимума для интервалов по формулам (10).
Рассмотрим два случая
1) сдвиг по одной или обеим границам, или полный сдвиг;
2) накрытие одного интервала другим
2) накрытие одним интервалом a другого b (рис. 2). Из рис. 1 хорошо видно, что в случае сдвига интервалов операция взятия максимума (дизъюнкция V НЛ), определяемая согласно (1), (2), дает сдвинутый вправо интервал а ̃ , а операция взятия минимума (конъюнкция ⋀ НЛ), определяемая там же, дает сдвинутый влево интервал b ̃ . Таким образом, в этом случае есть все основания для того, чтобы, принять интервал а ̃ за больший, а интервалb ̃– за меньший, т. е. выполнить сравнение интервалов по отношениям ≥, > . Однако из рис. 2 также хорошо видно, что в случае накрытия одним интервалом а ̃ другого b ̃ операция взятия максимума (дизъюнкция V НЛ) и операция взятия минимума (конъюнкция ⋀ НЛ) этих интервалов дают новые интервалы, отличные как от а ̃ , так и от b ̃ . В связи с этим сравнение интервалов а ̃ и b ̃ на основании определения (3) с целью выделения большего и меньшего из них оказывается в этом случае невозможным.
Немного переработать текст
Добавить второй рисунокхз что перерабатывать, хз какой рисунок
Сказанное означает, что общие принципы интервальной математики, позволяющие распространять любые операциинад вещественными числами на случай интервальных чисел (пример распространения операций max, min дает формула (1)), недостаточны для придания новым операциям тех же полезных свойств, которыми обладают исходные операции над вещественными числами. Поэтому указанные принципы следует дополнить новыми, позволяющими получать нужные свойства. В нашем случае несравнимость накрывающих друг друга интервалов а ̃ ,b ̃ по отношениям >,≥ ,= (рис. 2) в качестве нового естественно взять принцип близости интервалов. Действительно, если выполненные в точном соответствии с определениями (1), (2) операции взятия максимума а ̃Vb ̃ и минимума а ̃∧b ̃интервалов а ̃ ,b ̃не дают ни а ̃, ниb ̃ , тем самым не позволяя сравнить эти интервалы, то можно в качестве максимального принять тот из интервалов а ̃ ,b ̃, который находится ближе к а ̃Vb ̃, а в качестве минимального - тот из а ̃ ,b ̃ , который находится ближе к а ̃∧b ̃6 . Таким образом, для решения нашей задачи остается лишь определить логически, математически и содержательно обоснованную меру близости интервалов или двойственную ей меру удаленности.
Определим меру удаленности U двух интервалов a и b как суммарную длину всех подинтервалов, которыми различаются a и b, включая подинтервалP– промежуток между a и b, присутствующий в случаях, когда a и b не пересекаются. Таким образомU выражается как U=|a|+ |ba|+ |P|. В соответствии с формулой, удаленность для случаев 1-5 равна:
1.U=a_1-b_1
2.U=a_2-b_2
3.U=a_1-b_1+a_2-b_2
4.〖U=a〗_2-b_1
5. U=0
а удалённость интервалов а ̃ иb ̃ на рис. 2 равна
U=b_1-a_1+a_2-b_2
Так как мы вводим меру, обязательно нужно обосновывать свойства меры!??!![4]
Мера U(a,b) удаленности двух интервалов а и b обладает всеми свойствами обычного расстояния между объектами. А именно, справедливо следующее утверждение.
Т е о р е м а З. Мера U(a,b) удаленности интервалов а и b обладает следующими свойствами:
U(a,а) =0,U(a,b)>0 при а≠b (6)
(Удаленность совпадающих интервалов равна нулю, для несовпадающих интервалов она положительна),
U(a,b) =U(b,а) ,
(перестановочное свойство функции U, измеряющей удаленность интервалов, т. е. удаленность а от b равна удаленности b от а ),
U(a,b)+U(b,c)≥U(a,c) (8)
(неравенство треугольника).
Без доказательства??!![5]
U(a,av b) ≤U(b,аv b)↔U(a,a ⋀ b)≥U(b,a ⋀ b)
Свойство (10) означает, что если один из интервалов а ближе к дизъюнкции v (максимуму) интервалов avb , чем другой b , то он дальше от конъюнкции⋀ (минимума) интервалов а ⋀b , чем b , и обратно – если а дальше от a⋀b , чем b , то он ближе к а vb , чем b . Знаки = в (10) показывают, что при одинаковой удаленности интервалов aиb
от а vb оба они одинаково удалены и от а ⋀b, и обратно – при одинаковой удаленностиa и b от a⋀b оба одинаково удалены и от а vb.
просто текст с двух картинок. там так же было. какой-то он несвязный
Доказанное свойство интервалов (10) обобщает их свойство (9), но, в отличие от (9), не требует, чтобы операция v взятия максимума согласно (1) двух интервалов давала один из них, а операция ⋀ взятии их минимума – другой, что возможио только для сдвинутых один относительно другого интервалов. Благодаря этому свойство (10) позволяет ввести понятие сравнимости по отношениям >, ≥, = для произвольных интервалов, независимо от их расположения друг относительно друга. В этом общем случае различные возможные отношения между интервалами определяются в виде
этими словами картинка заканчивается
Немного переработать текст – на (9) не ссылаемся (Как-то так: Доказанное свойство интервалов не требует, чтобы… далее по тексту)??!![6]
Таким образом, с помощью выведенной меры можно перейти к сравнению вложенных отрезков. В этом общем случае различные возможные отношения между интервалами определяются в виде:
a≥b↔[U(a,a∨b)≤U(b,a∨b),U(a,a∧b)≥U(b,a∧b)]
a>b↔[U(a,a∨b)<U(b,a∨b),U(a,a∧b)>U(b,a∧b) ]
a=b↔[U(a,a∨b)=U(b,a∨b),U(a,a∧b)=U(b,a∧b)]
Как видно из (14), для того чтобы некоторый интервал а был большим (большим или равным) из двух интервалов а и b , нужно чтобы интервал а был ближе (ближе или равноудален) к результату операции v = max (l) над а и b и дальше (дальше или равноудален) от результата операции ∧ = min (1) над а и b , чем интервал b . Из (14) также видно, что для равенства двух интервалов а и b нужно, чтобы они были равноудалены от результата операции v (1) над a и b и равноудалены от результата операции ∧ (1) надa иb. Нижеследующее основное предложение полностью описывает условия, при которых произвольные интервалы, независимо от их расположения друг относительно друга, находятся в одном из отношений>, ≥, =.
Теорема 4. Для того чтобы два произвольных интервала a = [a_1,a_2], и b = [b_1,b_2] находились в одном из тношений >, ≥, = в смысле (14), необходимо и достаточно, чтобы их центры M_a = ((a_1+a_2 ))/2 и M_b = ((b_1+b_2 ))/2 находились в том же отношении как вещественные числа, т. е.
(a⊡b) ↔ (M_a⊡M_b ),⊡∈ {>,≥,=} (15)
Пример!!!??!![7]
В приложении 3 приведены результат работы программы и ее листинг, основанные на данном подходе.
Достоинство данного метода — возможность сравнения двух любых интервальных величин. Однако, в случае равенства (совпадающие центры) мы не можем судить о величине разброса значений в самих интервалах.
Всё делать в единых обозначениях либо через индексы a = [a1, a2], b = [b1, b2], либо через подчёркивания
Обязательно всё должно быть набрано формулами! (а не вот так a = [a1, a2],)
Текст с картинок, если не поймёшь как изменить/отредактировать оставь как есть, а я сам подредактирую. Главное – сделай текст из картинок.
Обязательно разберись в этом материале! Я думаю, что этот пункт уже выполнен. Если есть вопросы обязательно(!!!) спрашивай, по интернету буду отвечать.
В соответствии с новым текстом нужно делать раздатку и текст
3 Программное обеспечение
Приложение 1. Результат работы программы сравнения по максимальному или минимальному значению и ее листинг.
Листинг программы:
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
usingnamespace std;
double a1, a2, b1, b2;
void input();
void output();
void main()
{
input();
output();
system("pause");
}
void input()
{
setlocale(LC_ALL, "Russian");
cout<< "Введитепервыйинтервал a
";
cin>> a1 >> a2;
cout<< "Введите второй интервал b
";
cin>> b1 >> b2;
cout<<endl;
}
voidoutput()
{
if (a1 >b1)
cout<< "Первый интервал больше второго по пессимистическому критерию
";
else
cout<< "Первый интервал меньше второго по пессимистическому критерию
";
if (a2 > b2)
cout<< "Первый интервал больше второго по оптимистическому критерию
";
else
cout<< "Первый интервал меньше второго по оптимистическому критерию
";
}
Приложение 2. Результат работы программы сравнения интервалов по совокупности значений границ и ее листинг.
Листинг программы:
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
usingnamespace std;
double a1, a2, b1, b2;
void input();
int output();
void main()
{
do
input();
while (output());
}
void input()
{
setlocale(LC_ALL, "Russian");
cout<< "Введитепервыйинтервал a
";
cin>> a1 >> a2;
cout<< "Введите второй интервал b
";
cin>> b1 >> b2;
cout<<endl;
}
int output()
{
if (a1 >b1)
if (a2 >b2)
cout<< "Первый интервал больше второго
";
else
cout<< "Эти интервалы не сравнимы (вложенность)
";
if (a1 < b1)
if (a2 < b2)
cout<< "Второй интервал больше первого
";
else
cout<< "Эти интервалы не сравнимы (вложенность)
";
intuserChoice;
cout<< "Длявыходанажмите 0";
cin>>userChoice;
returnuserChoice;
}
Приложение 3. Результат работы программы сравнения по среднему значению и ее листинг.
Листинг программы:
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;
double a1, a2, b1, b2;
void input()
{
setlocale(LC_ALL, "Russian");
cout<< "Введитепервыйинтервал a
";
cin>> a1 >> a2;
cout<< "Введите второй интервал b
";
cin>> b1 >> b2;
cout<<endl;
}
// Мераудаленности
doublemeasureOfDistance(double a1, double a2, double b1, double b2)
{
if (a1 >= b2)
return a2 - b1;
if (b1 >= a2)
return b2 - a1;
if (a1 >= b1 && a2 >= b2)
return a1 - b1 + a2 - b2;
if (b1 >= a1 && b2 >= a2)
return b1 - a1 + b2 - a2;
if (a1 < b1 && b2 < a2)
return b1 - a1 + a2 - b2;
if (b1 < a1 && a2 < b2)
return a1 - b1 + b2 - a2;
}
double min(double a, double b)
{
if (a < b)
return a;
return b;
}
int output()
{
if (measureOfDistance(a1, a2, min(a1, b1), min(a2, b2)) >measureOfDistance(b1, b2, min(a1, b1), min(a2, b2)))
{
cout<< "Центр первого интервала " << (a2 + a1) / 2 <<endl;
cout<< "Центр второго интервала " << (b2 + b1) / 2 <<endl;
cout<< "Первый интервал больше второго
";
}
else
if (measureOfDistance(a1, a2, min(a1, b1), min(a2, b2)) <measureOfDistance(b1, b2, min(a1, b1), min(a2, b2)))
{
cout<< "Центр первого интервала " << (a2 + a1) / 2 <<endl;
cout<< "Центр второго интервала " << (b2 + b1) / 2 <<endl;
cout<< "Первый интервал меньше второго
";
}
else
{
cout<< "Центр первого интервала " << (a2 + a1) / 2 <<endl;
cout<< "Центр второго интервала " << (b2 + b1) / 2 <<endl;
cout<< "Интервалы равны
";
}
cout<<endl;
intuserChoice;
cout<< "Длявыходанажмите 0
";
cin>>userChoice;
returnuserChoice;
}
void main()
{
do
input();
while (output());
}
Заключение
Согласно одному из популярных определений, «...математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира» В свою очередь, эти количественные отношения выражаются через те или иные величины, которые часто бывают неточны, имеют неопределённость, неоднозначность и т.п. Важно иметь в виду, что, хотя термин «неопределённость» выражает отрицание «определённости», он в большинстве случаев означает не полное незнание (когда любое исследование до чрезвычайности затруднилось бы, либо стало совсем невозможным), а состояние частичного знания, когда мы всё-таки располагаем какой-то информацией об интересующей нас величине.
Простейшей и наиболее распространённой ситуацией является знание множества возможных значений неизвестной величины. Например, «x∈{1,2,3,5,7}», или «1 ≤x ≤5», или даже «x∈R». Нередко кроме множества возможных значений имеется дополнительная информация о том, что эти возможные значения неизвестной величины имеют различную степень возможности (вероятности и пр.), так что на множестве возможных значений задаётся некоторая дополнительная структура. Например, это может быть вероятностное распределение при теоретико-вероятностном описании, функция принадлежности при использовании теории нечётких множеств и т.п. Тем не менее, наиболее «скупое» описание неопределённости, когда кроме множества возможных значений нам ничего не задано, нередко оказывается наиболее адекватным потребностям практики, и именно оно лежит в основе интервального анализа.
Наша цель — развитие инструмента для работы с приближёнными числами, границами ошибок и даже с целыми множествами значений рассматриваемых величин.
Vl. Список литературы
Левин В. И. «Моделирование задач оптимизации в условиях интервальной неопределенности», Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского, 2011, № 26.
Шарый С. П. «Конечномерный интервальный анализ», Институт вычислительных технологий СО РАН, Издательство «XYZ», 2013
Работа с интервальными величинами
Курсовая работа по предмету «Математика»