Оглавление

Геометрический смысл определенного интеграла 8

Основные свойства определенного интеграла 9

Замена переменной в определенном интеграле 11

Примеры решения и применения определенного интеграла 14

Введение

Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала):

Пусть функция определена на отрезке , . Выполним следующие операции:

разобьем отрезок точками на n частичных отрезков ;

в каждом из частичных отрезков , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: ;

найдем произведения , где – длина частичного отрезка , ;

составим сумму

, (1)

которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки, а высоты равны соответственно (рис. 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ;

найдем предел интегральной суммы, когда .

Рис. 1

Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .

Таким образом, .

В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.

Историческая справка

Интегрирование берет свое начало ещё в древнем Египте примерно с 1800 года до н. э., о чем свидетельствует Московский математический папирус (или математический папирус Голенищева). Первым известным методом для расчёта интегралов является метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур - метод исчерпывания Евдокса (Евдокс Книдский (ок. 408 г. до н.э. - ок. 355 г. до н.э.) - древнегреческий математик, механик и астроном), который был предложен примерно в 370 до н. э. Суть этого метода заключается в следующем: фигура, площадь или объем которой пытались найти, разбивалась на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод получил свое дальнейшее развитие в работах древнегреческого математика, физика и инженера Архимеда (287 до н.э. - 212 до н.э.) для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны в Китае в третьем веке нашей эры китайским математиком Лю Хуэйем (ок. 220 - ок. 280), который с их помощью находил площадь круга. Для нахождения объёма шара этот метод использовали китайский математик, астроном, механик, писатель Цзу Чунчжи (429 - 500) вместе со своим сыном, также математиком и астрономом, правителем области и государственным казначеем, Цзу Гэном.

Далее большой шаг вперед в развитии интегрального исчисления был предпринят в 11 веке в Ираке арабским ученым-универсалом, математиком, механиком, физиком и астрономом Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хасан ибн аль-Хайсам аль-Басри (965-1039) (или Ибн ал-Хайсамом, в Европе известном как Alhazen), который в своей работе "Об измерении параболического тела" приводит формулы для суммы последовательных квадратов, кубов и четвёртых степеней, и ряд других формул для сумм рядов. С помощью этих формул он проводит вычисление, равносильное вычислению определённого интеграла:

Используя математическую индукцию, он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от полиномов не выше четвёртой степени.

Следующий значительный толчок в исчислении интегралов состоялся лишь в 16 веке в работах итальянского математика Бонавентура Франческо Кавальери (1598 - 1647), в которых описывался предложенный им метод неделимых, а также в работах французского математика Пьера де Ферма (1601 - 1665). Этими учеными были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшее развитие связано с деятельностью английского математика, физика и богослова Исаака Барроу (1630 - 1677) и итальянского математика и физика, ученика Галилея Эванджелиста Торричелли (1608 - 1647), которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

За время становления интегрального исчисления менялось и обозначение интеграла. Английский физик, механик, математик и астроном Исаак Ньютон (1643 - 1727) использовал, правда не во всех своих работах, в качестве символа интегрирования значок квадрата перед обозначением функции или вокруг него, а также вертикальную черту над функцией, но эти обозначения не получили широкого распространения. Современное обозначение неопределённого интеграла было введено немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646 - 1716) в 1675 году. Он образовал символ интеграла из буквы "длинная s" (от первой буквы слова Summa - сумма) Современное обозначение определённого интеграла, с указанием пределов интегрирования, было впервые предложено французским математиком и физиком Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768 - 1830) в 1819-20 годах. Сам термин "интеграл" придумал швейцарский математик Якоб Бернулли (1654 - 1705) в 1690 году.

Архимед, в свою очередь, предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления. Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме S = бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму. На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки). Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы). В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y =, где - целое (т. е. вывел формулу ), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов. Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное и интегральное исчисление создано.Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Использование этого способа позволяет получить более точные результаты вычисления влияния факторов по сравнению со способами цепной подстановки, абсолютных и относительных разниц и избежать неоднозначной оценки влияния: в данном случае результаты не зависят от местоположения факторов в модели, а дополнительный прирост результативного показателя, возникающий из-за взаимодействия факторов, распределяется между ними поровну. Для распределения дополнительного прироста недостаточно взять его часть, соответствующую количеству факторов, т.Pк. факторы могут действовать в разных направлениях. Поэтому изменение результативного показателя измеряется на бесконечно малых отрезках времени, т.Pе. производится суммирование приращения результата, определяемого как частные произведения, умноженные на приращения факторов на бесконечно малых промежутках. Операция вычисления определенного интеграла решается с помощью ПЭВМ и сводится к построению подынтегральных выражений, которые зависят от вида функции или модели факторной системы

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).

Рис. 2

Определенный интеграл от неотрицательной функции с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых и , снизу – отрезком оси Ох.

Основные свойства определенного интеграла

Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

Если , то, по определению, полагаем

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

Если функция интегрируема на и , то

(теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка , такая, что:

Формула Ньютона–Лейбница

Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Если функция непрерывна на отрезке и – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

, (2)

которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность принято записывать следующим образом:

где символ называется знаком двойной подстановки.

Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:

Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором – находится разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда, если: 1) функция и ее производная непрерывны при ; 2) множеством значений функции при является отрезок ; 3) , , то справедлива формула

, (3)

которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования и (для этого надо решить относительно переменной t уравнения и )).

На практике часто вместо подстановки используют подстановку . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: , .

Интегрирование по частям

Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:

. (4)

Доказательство

Так как , то функция является первообразной для функции . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница получаем

откуда

Несобственные интегралы

Площадь криволинейной трапеции

Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью , слева и справа – прямыми и (см. рис. 2) вычисляется по формуле

. (5)

Примеры решения и применения определенного интеграла

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Для подынтегральной функции произвольная первообразная имеет вид . Так как в формуле Ньютона-Лейбни-ца можно использовать любую первообразную, то для вычисления ин-
теграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: . Тогда .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Введем новую переменную по формуле . Определим и . Возведя в квадрат обе части равенства , получим , откуда . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы и . Получим: , откуда и, следовательно, ; , откуда и, следовательно, . Таким образом:

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим , откуда , . Найдем новые пределы интегрирования: если , то ; если , то . Значит,. Следовательно:

Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение. Положим , тогда , откуда . Находим новые пределы интегрирования: ; . Имеем: . Следовательно:

Пример 6. Вычислить .

Решение. Положим , отсюда . По формуле (4) находим

Пример 7. Вычислить .

Решение. Пусть , тогда . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

Пример 8. Вычислить .

Решение. Полагая , определяем . Следовательно:

[к полученному интегра-лу снова применяем формулу интегрирования по частям: ; следовательно: ] = =

Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и осью .

Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой ). Для этого решаем систему уравнений

Получаем: , откуда , ; следовательно, , .

Рис. 3

Площадь фигуры находим по формуле (5):

(кв. ед.).

Если функция неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле

. (6)

В случае если функция непрерывна на отрезке и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:

Вычисление объема тела вращения

Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, образованную прямыми , , осью и функцией .

Требуется найти объем тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси .

Объем данного тела вычисляется по формуле, содержащей определенный интеграл:

Если криволинейная трапеция прилежит к оси (прямые , , ось и функция ), тогда объем тела также определяется по формуле, содержащей интеграл:

Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть известна функция и требуется найти длину дуги, заданной функцией , где .

Для определения длины дуги необходимо вычислить определенный интеграл:

Рассмотрим случай параметрического задания кривой:

где . В этом случае для определения длина дуги вычисляется определенный интеграл:

Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах где . Тогда для определения длины дуги вычисляется следующий определенный интеграл:

Вычисление площади поверхности вращения

Найдем площадь поверхности, которая образуется вращением кривой вокруг оси , где .

Указанную площадь можно получить вычислением определенного интеграла:

Теперь рассмотрим случай, когда вращаем кривую вокруг оси , где

В этом случае площадь определяется вычислением следующего определенного интеграла:

С помощью определенного интеграла можно найти доходы, издержки, объем продукции (выпуск) и т.д., интегрируя предельные доходы, издержки и производственную функцию.

Задача. Найти суммарный доход R(Q), зная предельный доход .

Решение: Суммарный доход находится как интеграл от предельного дохода

Неопределенный множитель C = 0, т.к. R(0) = 0.

Задача. Найти объем продукции производства за 4 года, если производственная функция имеет вид .

Решение: Объем продукции Q определяется как

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры.

усть дана материальная плоская фигура (пластинка), 37ограничен кривой у = f(х) ≥ 0 и прямыми у = 0, х = а, х = b) (рис. 17).

Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна ( = const). Тогда масса всей пластинки равна т. Е. . Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.

Тогда масса его равна . Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка отстоит от оси Охна ½y, а от оси Оу на x (приближенно; точнее на расстоянии х+ ½Δx ). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оувыполнены соотношения

Следовательно, , По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С(x;y), что .

Отсюда и

или x,.

Пример 7. Найдем координаты центра тяжести полукруга ( = const) (рис. 18).

ешение: Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Oy), что . Площадь полукруга равна . Находим Sx:

Стало быть,

Итак, центр тяжести имеет координаты С (0;).

Пример 9. Экспериментально установлено, что зависимость расхода бензина автомобиля от скорости на 100км пути выражается по формуле:Q=18 – 0,3v+0,003v2, где Определить средний расход бензина, если скорость движения 50-60км/час.

Решение: Средний расход бензина составляет :

Применение определенного интеграла в биологии

1. Численность популяции.

Число особей в популяции (численность популяции) меняется со временем. Если условия существования популяции благоприятны, то рождаемость превышает смертность и общее число особей в популяции растет со временем. Назовем скоростью роста популяции прирост числа особей в единицу времени. Обозначим эту скорость v = v(t). В “старых”, установившихся популяциях, давно обитающих в данной местности, скорость роста v (t) мала и медленно стремится к нулю. Но если популяция молода, ее взаимоотношения с другими местными популяциями еще не установились или существуют внешние причины, изменяющие эти взаимоотношения, например сознательное вмешательство человека, то v (t) может значительно колебаться, уменьшаясь или увеличиваясь.

Если известна скорость роста популяции, то мы можем найти прирост численности популяции за промежуток времени от tо до Т. В самом деле, из определения v(t) следует, что эта функция является производной от численности популяции N (t) в момент t, и, следовательно, численность популяции N (t) является первообразной для v (t). Поэтому

N(t) – N(t) = .

Известно, что в условиях неограниченных ресурсов питания

скорость роста многих популяций экспоненциальна, т. е. v(t) = ае.Популяция в этом случае как бы “не стареет”. Такие условия можно создать, например, для микроорганизмов, пересаживая время от времени развивающуюся культуру в новые емкости с питательной средой. Применяя формулу (1), в этом случае получим:

N(t) = N(t) + a = N(t) + e = N(t) + (e - e)

По формуле, N(t) = N(t) + a = N(t) + e = N(t) + (e - e) подсчитывают, в частности, численность культивируемых плесневых грибков, выделяющих пенициллин.

Применение определенного интеграла в экономике

В курсе микроэкономики часто рассматривают так называемые предельные величины, т.е. для данной величины, представляемой некоторой функцией у =f(x), рассматривают ее производную f'x. Например, если дана функция издержек С в зависимости от объема q выпускаемого товара С = С(q), то предельные издержки будут задаваться производной этой функции МС = С'(q). Ее экономический смысл - это издержки на производство дополнительной единицы выпускаемого товара. Поэтому часто приходится находить функцию издержек по данной функции предельных издержек.

ри прогнозировании материальных затрат часто возникает необходимость вычисления площадей сложных фигур. Приведем соответствующий пример, для решения которого используется определенный интеграл.

Пример 1. Палуба корабля напоминает две пересекающиеся параболы. Сколько необходимо краски для ее покрытия, если длина корабля 80 м, ширина в центре – 20 м, а на каждый квадратный метр необходимо 0,25 кг краски.

Решение: Введем систему координат следующим образом: начало координат поместим в центре корабля, а ось x вдоль палубы (рис. 20). Чтобы найти площадь палубы, определим уравнение одной из парабол.

Общее уравнение параболы имеет вид.