Исследование искажений сигналов на выходе фильтра нижних частот

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И.Ульянова (Ленина)» (СПбГЭТУ)



кафедра ТОЭ







Курсовая работа
по дисциплине
«Теоретические основы электротехники»

на тему
«Исследование искажений сигналов на выходе
фильтра нижних частот»

вариант №7







Выполнил:
Группа:
Факультет:

Проверил:







Санкт-Петербург 2014
Оглавление:

Задание к курсовой работе: 3
1. Нормирование параметров и переменных цепи: 4
2. Определение передаточной функции цепи: 4
3. Расчёт частотных характеристик цепи: 6
4. Составление уравнений состояния цепи: 8
5. Определение переходной и импульсной характеристик: 10
6. Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе: 13
7. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия: 16
8. Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе: 18
9. Приближённый расчёт реакции по спектру при одиночном импульсе воздействия: 19
10. Определение спектра периодического входного сигнала: 20
11. Приближённый расчёт реакции при периодическом воздействии: 21
12. Определение в «замкнутой» форме вынужденной составляющей реакции при периодическом входном сигнале: 23
Выводы: 25
Список используемой литературы: 26












Задание к курсовой работе:

Цель курсовой работы: Практическое освоение и сравнение различных методов расчета цепей.
Задание: На вход электрической цепи с момента времени t=0 подается импульс напряжения u1. Реакцией цепи является напряжение u2=uR2. График импульса:
Закон изменения воздействия u1(t):
tи=31,4 мкс; T=31,4 мкс; Um=100 В;

Параметры цепи:
R1= R2=0,36 кОм; L1=0,45 мГн; L2=0,8 мГн; C1=6180 пФ;


 
1. Нормирование параметров и переменных цепи:

Базисные параметры: R_Б=R_2=0,36∙〖10〗^3 (Ом), w_Б=〖10〗^6 (с-1), u_б=U_m=100 (В)
R_1^*=R_1/R_Б =(0,36∙〖10〗^3)/(0,36∙〖10〗^3 )=1
R_2^*=R_2/R_Б =(0,36∙〖10〗^3)/(0,36∙〖10〗^3 )=1
L_1^*=(L_1∙w_Б)/R_Б =(0,45∙〖10〗^(-3)∙〖10〗^6)/(0,36∙〖10〗^3 )=1,25
L_2^*=(L_2∙w_Б)/R_Б =(0,8∙〖10〗^(-3)∙〖10〗^6)/(0,36∙〖10〗^3 )=20/9=2,222
C_1^*=C_1∙R_Б∙w_Б=〖6180∙10〗^(-12)∙0,36∙〖10〗^3 〖∙10〗^6=2,2248
t_и^* 〖=T〗^*=t_и∙w_Б=31,4∙〖10〗^(-6) 〖∙10〗^6=31,4
U_m^*=U_m/u_Б =1
Для простоты записи знак нормировки "*" в дальнейшем опускается
2. Определение передаточной функции цепи:


Передаточная функция по напряжению: H_U (s)=(U_2 (s))/(U_вх (s)) . Используем операторную схему замещения цепи при нулевых начальных условиях;
R_2=R_1=1; z_L1=sL_1=1,25s; z_L2=sL_2=2,222s; z_C1=1/(sC_1 )=1/2,2248s
Для нахождения H(s) используем метод пропорциональных величин:
Пусть, I_R2^ (s)=1 □(⇒┴ ) U_R2^ (s)=1 □(⇒┴ ) I_L2^ (s)=1 □(⇒┴ ) U_L2^ (s)=2,222s □(⇒┴ ) U_L1^+U_C1^=U_L2^+U_R2^ ⇒┴
□(⇒┴ ) I_L1^∙(z_L1+z_C1 )=U_L2^+U_R2^ □(⇒┴ ) I_L1^=(U_L2^+U_R2^)/(z_L1+z_C1 )=(2,222s+1)/(1,25s+1⁄2,2248s)=(4,944s^2+2,2248s)/(2,781s^2+1)=I_C1^ □(⇒┴ )
□(⇒┴ ) I_R1^=I_L2^+I_L1^=1+(4,944s^2+2,2248s)/(2,781s^2+1)=(7,725s^2+2,2248s+1)/(2,781s^2+1)=(U_R1^)/R_1 =U_R1^ □(⇒┴ )
U_вх^=U_R1^+U_L2^+U_R2^=(7,725s^2+2,2248s+1)/(2,781s^2+1)+2,222s+1=(6,179s^3+10,506s^2+4,4468s+2)/(2,781s^2+1)
H_U (s)=(U_R2^ (s))/(U_вх^ (s) )=(2,781s^2+1)/(6,179s^3+10,506s^2+4,4468s+2)=(0,45s^2+0,162)/(s^3+1,7s^2+0,72s+0,324)
Проверка:
1) H(0)=0,5; Схема замещения цепи при w=0:

u_R2=(u_вх R_2)/(R_1+R_2 )=0,5
2) H(∞)=0; Схема замещения цепи при w→∞:

u_R2=0
3) Нули функции: s_1,2^0=±0,6j и при s→∞. Напряжение u_R2=0 когда L_2≡ХХ, т.е когда s→∞; также напряжение на нагрузке u_R2=0 когда в последовательном соединении L_1 С_1 при s_1,2^ =±0,6j наблюдается резонанс напряжений (КЗ участка L_1 С_1).
Полюсы H(s): s_1=-1,34; s_2,3=-0,178±0,457j
Изобразим нули и полюсы на плоскости комплексной частоты s:
Практическая длительность переходного процесса:
t_пп≈3τ_max=3/min⁡{|Re s_1 |;|Re s_2 |;|Re s_3 | } =3/0,178=16,85
3. Расчёт частотных характеристик цепи:

Амплитудно-фазовая характеристика:
H(jw)=├ H(s)┤|_(s=jw)^ =(0,45(jw)^2+0,162)/((jw)^3+1,7(jw)^2+0,72(jw)+0,324)=(0,162-0,45w^2)/((0,324-1,7w^2 )+j(0,72w-w^3))
АЧХ:
A(w)=|H(jw) |=|0,162-0,45w^2 |/√((0,324-1,7w^2 )^2+(0,72w-w^3 )^2 )
ФЧХ:
Ф_H (w)=arg (H(jw) )=arg⁡(0,162-0,45w^2)-arctg⁡〖w/1,34-〗 arctg⁡〖(w-0,457)/0,178-arctg⁡〖(w+0,457)/0,178〗 〗, где
arg⁡(0,162-0,45w^2 )={■(0,если w<0,6@π,если w>0,6)┤
Полосу пропускания определяем на уровне 0,707∙|H(jw)|_max=0,707∙0,5=0,354
Частота среза: w_(〖ср〗_ )=0,423
Полоса пропускания: ∆w_ПП=[0; 0,423], что соответствует фильтру нижних частот
Графики АЧХ, ФЧХ и АФХ:



Оценка ожидаемых изменений амплитуды, времени запаздывания сигналов в предположении, что спектр входного сигнала попадёт в полосу пропускания:
Амплитуда выходного сигнала будет примерно равна половине амплитуды входного сигнала. ФЧХ в полосе пропускания близка к линейной, следовательно, искажение сигнала будет не существенным.
Время запаздывания определяется по наклону ФЧХ в области низких частот:
t_з=|∆Ф|/∆w=|-0,227-0|/(0,1-0)=2,27
Значение A(0)=0,5 □(⇒┴ ) площадь выходного сигнала равна половине площади входного сигнала
Значение A(∞)=0 □(⇒┴ ) сигнал на выходе будет непрерывным
4. Составление уравнений состояния цепи:

Используем метод вспомогательных источников: L≡ИТ;C≡ИН

1) i_C1=i_L1
2) i_R1=i_L1+i_L2=u_R1/R_1 =u_R1
i_R2=i_L2=u_R2/R_2 =u_R2
u_L2=u_вх-u_R1-u_R2=u_вх-i_L1-i_L2-i_L2=u_вх-i_L1-〖2i〗_L2
3) u_L1=u_вх-u_R1-u_C1=u_вх-i_L1-i_L2-u_c1
Используя соотношения u_L=Li_L^,i_C=Cu_C^ , получаем уравнения состояния:
{■(i_L1^=〖0,8u〗_вх-〖0,8i〗_L1-0,8i_L2-0,8u_c1@i_L2^=〖0,45u〗_вх-0,45i_L1-0,9i_L2@u_C1^=0,449i_L1 )┤
Для расчёта реакции u_R2 напишем уравнение связи: u_R2 (t)=i_R2 (t)=i_L2 (t)
Уравнения состояния в матричной форме:
[■(i_L1^@i_L2^@u_C1^ )]=[■(-0,8&-0,8&-0,8@-0,45&-0,9&0@0,449&0&0)][■(i_L1@i_L2@u_C1 )]+[■(0,8@0,45@0)]∙u_вх (1)
Проверка:
Для контроля уравнений (1) рассмотрим схемы замещения цепи при единичном ступенчатом воздействии u_вх=δ_1 (t):
1) При t=0+: L≡ХХ; C≡КЗ Получаем схему замещения цепи:

Схема 1
{■(u_L1 (0+)=1@u_L2 (0+)=1@i_C1 (0+)=0) □(⇒┴ ) {■(i_L1^ (0+)=(u_L1 (0+))/L_1 =0,8@i_L2^ (0+)=(u_L2 (0+))/L_2 =0,45@u_C1^ (0+)=(i_C1 (0+))/C_1 =0)┤ ┤ Из (1) при t=0+ : {■(i_L1^ (0+)=0,8@i_L2^ (0+)=0,45@u_C1^ (0+)=0)┤
2) При t→∞: C≡ХХ; L≡КЗ Получаем схему замещения цепи:

Схема 2
{■(i_L1 (∞)=0@i_L2 (∞)=0,5@u_C1 (∞)=0,5)┤ По уравнениям (1) приравняв их левую часть к 0 получаем: {■(i_L1 (∞)=0@i_L2 (∞)=0,5@u_C1 (∞)=0,5)┤
Находим характеристический полином:
det[(A)-p∙(E) ]=|■(-0,8-p&-0,8&-0,8@-0,45&-0,9-p&0@0,449&0&-p)|=〖-p〗^3-〖1,7p〗^2-0,719p-0,323=0
Корни характеристического полинома: p_1=-1,344; p_2,3=-0,178±0,457j
Корни характеристического полинома совпали с полюсами передаточной функции.
5. Определение переходной и импульсной характеристик:

1. Аналитический метод:
Входное воздействие u_вх=δ_1 (t), начальные условия – нулевые. Рассчитаем по уравнениям состояния ток i_L2, а затем, зная его, найдём переходную характеристику.
Общий вид решения: i_L2 (t)=i_(〖L2〗_СВ ) (t)+i_(〖L2〗_ВЫН ) (t)
Вынужденную составляющую решения находим из системы (1), приравняв левую часть к нулю:
{■(0=-〖0,8i〗_(〖L1〗_ВЫН )-0,8i_(〖L2〗_ВЫН )-0,8u_(〖C1〗_ВЫН )+0,8@0=-0,45i_(〖L1〗_ВЫН )-0,9i_(〖L2〗_ВЫН )+0,45@0=0,449i_(〖L1〗_ВЫН ) ) □(⇒┴ ) i_(〖L2〗_ВЫН ) (t)=0,5┤
Свободная составляющая решения: i_(〖L2〗_СВ ) (t)=〖A_1∙e〗^(p_1 t)+A_2∙e^(p_2 t)+A_3∙e^(p_3 t)
Для нахождения постоянных интегрирования A_k определим начальные значения i_L2 (0+),i_L2^ (0+) и
i_L2^ (0+).
Начальное значение тока i_L2 (0+)=i_L2 (0-)=0
Начальное значение первой производной i_L2^ (0+) находим по второму уравнению системы (1): i_L2^ (0+)=0,45-0,9i_L2 (0+)-0,45i_L1 (0+)=0,45
Начальное значение второй производной i_L2^ (0+) находим, продифференцировав второе уравнение системы (1): i_L2^ (0+)=-0,45i_L1^ (0+)-0,9i_L2^ (0+)=-0,45(0,8-0,8i_L1 (0+)-
-0,8i_L2 (0+)-0,8u_C1 (0+))-0,9∙0,45=-0,45∙0,8-0,9∙0,45=-0,765
Получаем систему для определения постоянных интегрирования A_k:
{■(i_L2 (0+)=A_1+A_2+A_3+i_(〖L2〗_ВЫН )@i_L2^ (0+)=p_1 A_1+p_2 A_2+p_3 A_3@i_L2^ (0+)=p_1^2 A_1+p_2^2 A_2+p_3^2 A_3 )┤или{■(0=A_1+A_2+A_3+0,5@0,45=-1,34A_1+(-0,178+0,457j) A_2+(-0,178-0,457j) A_3@-0,765=(-1,34)^2 A_1+(-0,178+0,457j)^2 A_2+(-0,178-0,457j)^2 A_3 )┤
Решая систему, получаем: A_1=-0,462; A_2,3=-0,0188±0,195j=0,196〖∙e〗^(±j∙1,667)
Реакцию u_R2 (t) найдём по уравнению связи:
h_1 (t)=u_2 (t)=i_L2 (t)=[0,5-0,462∙e^(-1,344t)+0,392∙e^(-0,178t) cos⁡〖(0,457t+1,667)〗 ]∙δ_1 (t)
Значения h_1 (0+)≅0 и h_1 (∞)=0,5, полученные по этому выражению и по схемам замещения цепи (см. прошлый пункт, схема 1 и схема 2) совпадают.
Находим импульсную характеристику h(t):
h(t)=h_1^ (t)=[0,621∙e^(-1,344t)-0,069∙e^(-0,178t) cos⁡(0,457t+1,667)-0,179∙e^(-0,178t)∙
∙sin⁡(0,457t+1,667)]δ_1 (t)=[0,621∙e^(-1,344t)+0,192∙e^(-0,178t) cos⁡(0,457t+3,605) ] δ_1 (t)
Графики переходной и импульсной характеристик:


2) Численный метод:
Уравнения состояния в матричной форме:
[■(i_L1^@i_L2^@u_C1^ )]=[■(-0,8&-0,8&-0,8@-0,45&-0,9&0@0,449&0&0)][■(i_L1@i_L2@u_C1 )]+[■(0,8@0,45@0)]∙u_вх
Входное воздействие u_вх=δ_1 (t), начальные условия – нулевые.
Для нахождения переходной характеристики используем явную форму алгоритма Эйлера:
[f_2k ]=[f_(2(k-1)) ]+∆t[A][f_(2(k-1)) ]+∆t[B][f_(1(k-1)) ]
Шаг расчёта: ∆t≤1/5 min{τ_min; T_min/4}
τ_min=1/min⁡{|Re s_1 |;|Re s_2 |;|Re s_3 | } =1/1,344=0,744 ; T_min/4=1/4∙2π/w=1/4∙2π/0,457=3,437
∆t≤0,744/5=0,1488; Выбираем ∆t=1/50=0,02

Оценка точности численного расчёта: для переходной характеристики:
1) k=50; ∆t∙k=1;h_(1_аналитически )=0,206107; h_(1_числ )=0,208679;ошибка:0,002572
2) k=200; ∆t∙k=4;h_(1_аналитически )=0,316374; h_(1_числ )=0,317278;ошибка:0,000904
3) k=500; ∆t∙k=10;h_(1_аналитически )=0,566386; h_(1_числ )=0,56703;ошибка:0,000643
Точность численного метода высока. Точность численного метода повышается с уменьшением ∆t.
6. Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе:

Для упрощения записи примем, что t_и=T=31,4≈10π
1) Аналитический метод:
Для нахождения изображения по Лапласу U_1 (s) входного одиночного сигнала используем метод двойного дифференцирования:





Вторая производная входного сигнала:
u_1^ (t)=1/5π δ(t)-2/5π δ(t-5π)+1/5π δ(t-10π)
Изображение второй производной входного сигнала:
U_1^ (s)=1/5π-2/5π e^(-5πs)+1/5π e^(-10πs)
Изображение входного сигнала:
U_1 (s)=1/(5πs^2 )-2/(5πs^2 ) e^(-5πs)+1/(5πs^2 ) e^(-10πs)=
=1/(5πs^2 ) (1-e^(-5πs) )^2

Изображение реакции:
U_2 (s)=H(s)∙U_1 (s)=(0,45s^2+0,126)/(s^3+1,7s^2+0,72s+0,324)∙1/(5πs^2 ) (1-2e^(-5πs)+e^(-10πs) )^ =
=((0,45s^2+0,126)∙1⁄5π)/(s^2 (s+1,344)(s+0,178-0,457j)(s+0,178+0,457j))∙(1-2e^(-5πs)+e^(-10πs) )^
(U_2 ) ̃(s)=((0,45s^2+0,126)∙1⁄5π)/(s^2 (s+1,344)(s+0,178-0,457j)(s+0,178+0,457j))=A_1/s^2 +A_2/s+A_3/(s+1,344)+
+A_4/(s+0,178-0,457j)+A_5/(s+0,178+0,457j)
Находим коэффициенты разложения A_k:
A_1=├ ((0,45s^2+0,126)∙1⁄5π)/((s+1,344)(s+0,178-0,457j)(s+0,178+0,457j))┤|_(s=0)=0,032
A_2=├ (((0,45s^2+0,126)∙1⁄5π)/((s+1,344)(s+0,178-0,457j)(s+0,178+0,457j)))^ ┤|_(s=0)=-0,071
A_3=├ ((0,45s^2+0,126)∙1⁄5π)/(s^2 (s+0,178-0,457j)(s+0,178+0,457j))┤|_(s=-1,344)=0,022
A_4=├ ((0,45s^2+0,126)∙1⁄5π)/(s^2 (s+1,344)(s+0,178+0,457j))┤|_(s=-0,178+0,457j)=0,025-0,007j=0,026∙e^(-j∙0,273)
A_5=A_4^*=0,025+0,007j
(u_2 ) ̃(t)=(0,032t-0,071+0,022e^(-1,344t)+0,052e^(-0,178t)∙cos⁡(0,457t-0,273))∙δ_1 (t)
Выходной сигнал:
u_2 (t)=(u_2 ) ̃(t)∙δ_1 (t)-2(u_2 ) ̃(t-5π)∙δ_1 (t-5π)+(u_2 ) ̃(t-10π)∙δ_1 (t-10π)
u_2 (t)=(0,032t-0,071+0,022e^(-1,344t)+0,052e^(-0,178t)∙cos⁡(0,457t-0,273))∙δ_1 (t)-
-2∙[0,032(t-5π)-0,071+0,022e^(-1,344(t-5π))+0,052e^(-0,178(t-5π))∙cos⁡(0,457(t-5π)-0,273)]∙
∙δ_1 (t-5π)+[0,032(t-10π)-0,071+0,022e^(-1,344(t-10π))+┤
├ +0,052e^(-0,178(t-10π))∙cos⁡(0,457(t-10π)-0,273)]∙δ_1 (t-10π)
График реакции и изменённого в A(0) раз воздействия:

2) Численный метод:
Для нахождения реакции численным методом найдём сначала аналитическое выражение для входного воздействия:
u_1 (t)=1/5π t∙δ_1 (t)-2/5π (t-5π)∙δ_1 (t-5π)+1/5π(t-10π)∙δ_1 (t-10π)
Воспользуемся численным методом расчёта по уравнениям состояния, аналогично п.5:



Графики реакции, полученные численным и аналитическим методами, в выбранном масштабе практически совпадают.
Амплитуда выходного сигнала примерно равна половине амплитуды входного сигнала. Время задержки равно 2,5.
Площадь выходного сигнала: S_вых=∫_0^∞▒〖u_2 (t) 〗 dt=7,896≅1/2 S_вх=1/2∙1/2∙10π=7,854, сигнал на выходе непрерывен. Оценки, сделанные в п.3. корректны.

7. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия:

Спектральная плотность входного одиночного сигнала:
U_1 (jw)=├ U_1 (s) ┤|_(s=jw)=1/(5π〖(jw)〗^2 ) (1-e^(-5π(jw)) )^2=-1/(5πw^2 ) (e^2,5πjw/e^2,5πjw -e^(-2,5πjw)/e^2,5πjw )^2=
=(4∙(sin⁡2,5πw )^2)/(5πw^2 )∙e^(-5πjw)
Амплитудный спектр: A(w)=|U_1 (jw)|=(4∙(sin⁡2,5πw )^2)/(5πw^2 )
Фазовый спектр: Ф_1 (w)=-5πw
Найдём узлы амплитудного спектра: sin⁡2,5πw=0 □(⇒┴ ) w_УК=0,4k; k=±1;±2;±3…
При k=0, т.е. при w_ =0 получается неопределённость вида [0/0]. Для определения значения A(0) используем первый замечательный предел:
A(0)=[0/0]=lim┬(w→0)⁡〖(4∙(sin⁡2,5πw )^2)/(5πw^2 )〗=lim┬(w→0)⁡(sin⁡2,5πw/2,5πw┤∙├ sin⁡2,5πw/2,5πw∙5π)=5π
Значение A(0) равно площади входного сигнала: S_вх=5π=15,708
Графики амплитудного и фазового спектров:


Ширину спектра входного одиночного сигнала определяем по критерию первого лепестка: 〖∆w〗_СП=[0 ; 0,4]
├ ■(Полоса пропускания: 〖∆w〗_ПП=[0 ;0,423]@Ширина спектра: 〖∆w〗_СП=[0 ;0,4] )┤| □(⇒┴ ) первый лепесток спектра сигнала попадает в
полосу пропускания. Сигнал на выходе будет c незначительными искажениями. Т.к. значение АЧХ при w→0 равно 0,5, то площадь выходного сигнала равна половине площади входного сигнала. Т.к. значение АЧХ при w→∞ равно нулю, то сигнал на выходе непрерывен. Это подтверждает график выходного сигнала из п.6.
8. Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе:

Спектр реакции можно найти как:
U_2 (jw)=H(jw)∙U_1 (jw)
Амплитудный спектр реакции:
|U_2 (jw)|=|H(jw)|∙|U_1 (jw)|=|0,162-0,45w^2 |/√((0,324-1,7w^2 )^2+(0,72w-w^3 )^2 )∙(4∙(sin⁡2,5πw )^2)/(5πw^2 )
Фазовый спектр: Ф_2 (w)=Ф_H (w)+Ф_1 (w)=arg⁡(0,162-0,45w^2 )-arctg⁡〖w/1,344-〗 arctg⁡〖(w-0,457)/0,178〗-
-arctg⁡〖(w+0,457)/0,178〗-5πw
Графики амплитудного и фазового спектров:


9. Приближённый расчёт реакции по спектру при одиночном импульсе воздействия:

Будем искать реакцию по амплитудному и фазовому спектру. Для этого используем формулы связи спектра одиночного импульса u_2 с дискретным спектром периодического сигнала u_2п, составленного из периодической последовательности импульсов u_2:
U_2mk=2/T∙├ |U_2 (jw)| ┤|_(w=k∙w_1 )=2/T∙|0,162-0,45(kw_1 )^2 |/√((0,324-1,7(kw_1 )^2 )^2+(0,72kw_1-(kw_1 )^3 )^2 )∙(4∙(sin⁡〖2,5π∙〖kw〗_1 〗 )^2)/(5π〖(kw_1)〗^2 )
Ф_2k=├ Ф_2 (w)┤|_(w=k∙w_1 )=arg(0,162-0,45(kw_1 )^2)-arctg⁡〖(kw_1)/1,344-〗 arctg⁡〖(kw_1-0,457)/0,178〗-
-arctg⁡〖(kw_1+0,457)/0,178〗-5πkw_1
Для более точного расчёта, период T=2π/w_1 надо выбрать достаточно большим: возьмём T=40π.
Запишем ряд Фурье для сигнала u_2п:
u_2п (t)=U_20/2+∑_(k=1)^50▒〖U_2mk cos⁡(kw_1 t+Ф_2k ) 〗=0,063+0,119∙cos⁡(0,05t-0,897)+
+0,101∙ cos⁡(0,1t-1,798)+0,077∙cos⁡(0,15t-2,707)+0,05∙cos⁡(0,2t-3,63)+
+0,027∙cos⁡(0,25t-4,574)+...
Строим график суммы ряда Фурье в пределах периода – это приближённый график u_2 (t) и график реакции, рассчитанной операторным методом в п.6.:
u2 – реакция, рассчитанная операторным методом в п.6; u2pr – приближённый расчёт реакции


Из графика видно, что приближённый расчёт реакции по спектру достаточно точен. Точность увеличивается при увеличении числа гармоник и увеличении периода.
10. Определение спектра периодического входного сигнала:

Для получения спектральных характеристик входного периодического сигнала используем связь спектральных характеристик одиночного и периодического сигналов:
Амплитудный спектр: U_1mk=2/T∙├ |U_1 (jw)| ┤|_(w=k∙w_1 )=4/〖π^2 k〗^2 (sin⁡〖πk/2〗 )^2
Фазовый спектр: Ф_1k=├ Ф_1 (w)┤|_(w=k∙w_1 )=-πk , где k=0,1,…K_ф ; K_ф – число гармоник ряда Фурье, определяется по ширине спектра: K_ф=w_сп/w_1 =0,4/0,2=2; w_1=2π/T=2π/10π=0,2 – частота основной гармоники. Для увеличения точности аппроксимации возьмём три слагаемые ряда, не считая постоянной составляющей: k=0,1,…5
Запишем отрезок ряда Фурье для входного периодического сигнала:
u_1 (t)≈U_10/2+∑_(k=1)^5▒〖U_1mk∙cos⁡〖(kw_1 t+Ф_1k )=〗 〗 1/2+0,405cos⁡〖(0,2t-π)+0,045 cos⁡〖(0,6t-π)+〗 〗 0,016 cos⁡(t-π)
Амплитудный и фазовый дискретные спектры воздействия:


Графики исходного входного периодического сигнала (u1(t)) и после аппроксимации его отрезком ряда Фурье (u1k(t)), а также графики отдельных составляющих:

11. Приближённый расчёт реакции при периодическом воздействии:

Выходной сигнал u_2 (t) представляем в виде отрезка ряда Фурье:
u_2 (t)=U_20/2+∑_(k=1)^5▒〖U_2mk cos⁡(kw_1 t+Ф_2k ) 〗,где w_1=2π/T=0,2
Амплитудный дискретный спектр реакции:
U_2mk=|H(jkw_1)|∙U_1mk=|0,162-0,45(0,2k)^2 |/√((0,324-1,7(0,2k)^2 )^2+(0,72∙0,2k-(0,2k)^3 )^2 )∙4/〖π^2 k〗^2 (sin⁡〖πk/2〗 )^2
Фазовый дискретный спектр реакции:
Ф_2k=Ф_H (kw_1 )+Ф_1k=arg⁡(0,162-0,45(0,2k)^2 )-arctg⁡〖0,2k/1,34-〗 arctg⁡〖(0,2k-0,457)/0,178-〗 arctg⁡〖(0,2k+0,457)/0,178〗-πk
Отрезок ряда Фурье реакции имеет вид:
u_2 (t)=U_20/2+∑_(k=1)^5▒〖U_2mk cos⁡(kw_1 t+Ф_2k ) 〗=0,5/2+0,201cos⁡(0,2t-3,63)+2,347∙〖10〗^(-5) cos⁡〖(0,6t-2,499)+〗
+2,347∙〖10〗^(-3) cos⁡(t-3,344)
Амплитудный и фазовый дискретные спектры реакции:

График ряда Фурье реакции:

Из графика видно, что периодический сигнал при его прохождении через цепь искажается не значительно. Выходной сигнал запаздывает на t_з=2,356 по отношению к входному сигналу.
12. Определение в «замкнутой» форме вынужденной составляющей реакции при периодическом входном сигнале:
Для t>0 запишем изображение входного сигнала u_1 (t) в предположении что u_1=0 при t<0: U_1 (s)=(U_11 (s))/(1-e^(-10πs) ),где U_11 (s)=1/(5πs^2 ) (1-2e^(-5πs)+e^(-10πs) )^ ÷u_1 (t) в интервале 0<t<T=10π - изображение условного первого периода входного сигнала.
Найдём изображение реакции цепи:
U_2 (s)=H(s)∙U_1 (s)=U_2св (s)+U_2вын (s)=((0,45s^2+0,162)∙1⁄5π∙(1-2e^(-5πs)+e^(-10πs) )^ )/(s^2 (s+1,34)(s+0,178-0,457j)(s+0,178+0,457j)(1-e^(-10πs) ) )=
=A_1/(s+1,34)+A_2/(s+0,178-0,457j)+A_3/(s+0,178+0,457j)+(U_21 (s))/(1-e^(-10πs) ),где U_21 (s)-
изображение условного первого периода искомой установившейся реакции. Свободная составляющая равна: U_2св (s)=A_1/(s+1,34)+A_2/(s+0,178-0,457j)+A_3/(s+0,178+0,457j) , вынужденная составляющая равна: U_2вын (s)=(U_21 (s))/(1-e^(-10πs) )
A_1=-0,022; A_2=-0,021+0,01j=0,023e^2,697j; A_3=A_2^*=-0,021-0,01j
Отделим свободную составляющую от полной реакции и найдём U_21 (s). Слагаемые содержащие множитель e^(-10πs) в расчёт принимать не будем. По изображению U_21 (s) найдём оригинал, т.е. точное описание искомой периодической реакции в интервале 0<t<T=10π
U_21 (s)=(U_2 (s)-U_2св (s) )∙(1-e^(-10πs) )=((0,45s^2+0,162)∙1⁄5π∙(1-2e^(-5πs)+e^(-10πs) ))/(s^2 (s+1,34)(s+0,178-0,457j)(s+0,178+0,457j))+
+0,022/(s+1,34) (1-e^(-10πs) )-((0,023e^2,697j)/(s+0,178-0,457j)+(0,023e^(-2,697j))/(s+0,178+0,457j))(1-e^(-10πs) )=
=(A_1/s^2 +A_2/s+A_3/(s+1,34)+A_4/(s+0,178-0,457j)+A_5/(s+0,178+0,457j))(1-2e^(-5πs) )+0,022/(s+1,34)-
-((0,023e^2,697j)/(s+0,178-0,457j)+(0,023e^(-2,697j))/(s+0,178+0,457j))
A_1=0,032;
A_2=-0,071
A_3=0,022; A_4=0,025-0,007j=0,025e^(-0,275j); A_5=A_4^*=0,025+0,007j
Вычислим для 0<t<T=10π точное описание периодической реакции (ряд Фурье в «замкнутой» форме), т.е. всю сумму ряда Фурье:
u_2уст (t)=u_2вын (t)=u_21 (t)=(0,032t-0,071+0,022e^(-1,34t)+0,05e^(-0,178t)∙cos⁡(0,457t-0,275))∙δ_1 (t)-
-2[0,032(t-5π)-0,071+0,022e^(-1,34(t-5π) )+0,05e^(-0,178(t-5π) )∙cos⁡(0,457(t-5π)-0,275)]∙δ_1 (t-5π)+
+(0,022e^(-1,34t)-0,046e^(-0,178t) cos⁡(0,457t+2,697) ) δ_1 (t) для 0<t<T=10π
Этот результат можно периодически продолжить для -∞<t<+∞
Построим график реакции, продолженной на несколько периодов, и сравним его с данными п.11:

u_21 (t) - график реакции найденной в «замкнутой» форме; u_2 (t) - график реакции найденной в п.11
Как видно из графика, выходной сигнал, найденный разными методами, совпал, следовательно, он найден правильно. Некоторые отличия графиков вызваны тем, что при нахождении реакции в п. 11 мы учли только 3 гармоники.

Выводы:

В результате выполнения курсовой работы для заданной цепи была определена реакция при воздействиях вида:
а) сигнала вида единичной ступенчатой и импульсной функции
б) одиночного треугольного импульса
в) периодической последовательности треугольных импульсов

Собственные частоты цепи: p_1=-1,344; p_2,3=-0,178±0,457j , следовательно переходный процесс в цепи носит затухающий колебательный характер. Время переходного процесса: t_ПП=16,85.
Значение A(0)=0,5 □(⇒┴ ) площадь реакции равна половине площади входного воздействия
Значение A(∞)=0 □(⇒┴ ) сигнал на выходе непрерывен
Результат, полученный операторным методом в п.6 совпадает с этими предположениями: площадь выходного сигнала примерно равна половине площади входного, выходной сигнал непрерывен.
├ ■(Полоса пропускания: 〖∆w〗_ПП=[0 ;423]@Ширина спектра: 〖∆w〗_СП=[0 ;0,4] )┤| □(⇒┴ ) первый лепесток спектра сигнала попадает в
полосу пропускания цепи. Сигнал на выходе цепи имеет небольшие искажения. Время задержки выходного сигнала: t_з=2,4 
Список используемой литературы:

Учебное пособие «Курсовое проектирование по теории электрических цепей».
Ю.А. Бычков, В.М. Золотницкий, Э.П. Чернышёв «Сборник задач и практикум по основам ТЭЦ».
Ю.А. Бычков, В.М. Золотницкий, Э.П. Чернышёв «Основы теоретической электротехники».