Проверка наличия линейной связи случайных величин

Введение. 2
Задание курсовую работу. 3
Расчетная часть. 4
Ввод исходных данных 4
Расчет числовых характеристик выборок 6
a) выборка Ф1 6
a) выборка Ф24 7
Построение гистограммы плотности эмпирического распределения. 8
Проверка нормальности законов распределения выборок 11
a) проверка нормальности входной величины Ф1 11
б) проверка нормальности входной величины Ф24 12
Проверка наличия линейной связи случайных величин 14
Регрессионный анализ взаимосвязи величин Ф1 и Ф24 15
а) Получение уравнения регрессии 15
б) Проверка надежности уравнения регрессии 15
Заключение. 17
Использованная литература 18



Введение.
При изучении технических объектов важную роль играет математическая статистика. Ее целью является формирование обоснованных выводов с учетом воздействия непредсказуемого случайного воздействия на ход изучаемых процессов. Для повышения надежности и точности статистических выводов экспериментальным путем или путем наблюдения за ходом процесса формируются статистические выборки. Эти выборки обрабатываются с использованием математических методов и математических вычислительных пакетов, таких, как пакет Mathcad. В ходе обработки выборок рассчитываются точечные и интервальные оценки параметров, проверяются статистические гипотезы о виде распределений, рассчитываются коэффициенты регрессионных моделей и проверяются гипотезы о значимости этих коэффициентов и об адекватности самой модели. Построенная по экспериментальным данным модель в дальнейшем используется на практике для решения задач прогнозирования и управления.
Задание курсовую работу.

Задача 1. Пусть на входе линейной электрической цепи действует источник гармонического тока , задающий ток которого имеет постоянные частоту и амплитуду, но случайную начальную фазу. Результаты измерении начальных фаз задающего тока Ф1 и тока в некоторой ветви линейной электрической цепи Ф2 измерителем разности фаз представлены выборкой.
Определить числовые характеристики указанных случайных величин . Построить гистограмму плотности распределения. Показать, что эти случайные величины распределены по нормальному закону. Проверить наличие линейной связи между ними и составить уравнение регрессии.
Вариант 4. Взять для анализа столбцы Ф1 и Ф24.
Исходные данные.







Расчетная часть.

Природа исходных данных – случайные начальные фазы, вещественные числа в диапазоне , измеренные с точностью 0.01.
Ввод исходных данных
Вводим данные порциями по 10 в отдельные массивы, которые затем объединяем в массивы Ф1 и Ф24 размерности 50×1.





















Расчет числовых характеристик выборок

a) выборка Ф1







a) выборка Ф24







Построение гистограммы плотности эмпирического распределения.




















Проверка нормальности законов распределения выборок

Нулевая гипотеза: Н0- Распределение нормальное;
Альтернативная гипотеза: Н1- Распределение отлично от нормального
a) проверка нормальности входной величины Ф1











Вывод: Так как отвергается нулевая гипотеза, с надежностью 95% входная величина не имеет нормального распределения.

б) проверка нормальности входной величины Ф24
















Вывод: Так как отвергается нулевая гипотеза, с надежностью 95% входная величина не имеет нормального распределения.
Проверка наличия линейной связи случайных величин

Нулевая гипотеза r(Ф1,Ф24)=0
Альтернативная гипотеза r(Ф1,Ф24)≠0




Вывод: Так как расчетное значение критерии превышает критическое, то нулевая гипотеза о равенстве нулю корреляции величин Ф1,Ф24 отвергается, принимается альтернативная гипотеза о неравенстве нулю указанной корреляции, тем самым, на уровне доверии 0.95 подтверждается наличие линейной связи величин Ф1,Ф24.



Регрессионный анализ взаимосвязи величин Ф1 и Ф24

а) Получение уравнения регрессии









б) Проверка надежности уравнения регрессии


Н0- нулевая гипотеза, уравнение надежно;
Н1- альтернативная гипотеза, уравнение ненадежно;



Вывод: Так как расчетное значение критерия Фишера превышает критическое, нулевая гипотеза о ненадежности модели отвергается, с 95% степенью доверии доказана надежность построенной регрессионной модели.


Следовательно, при увеличении входной величины Ф1 на 1% выходная величина Ф24 увеличивается на 0.266%.



Вывод: На 98.7% выходная величина Ф24 зависит от входной величины Ф1 и на 2.3% от случайных факторов.









Заключение.

Проведена статистическая обработка данных наблюдений о входном и выходном сигнале идеального усилителя. Найдены числовые характеристики этих случайных величин, построены гистограммы плотностей эмпирических функций распределения указанных величин, доказана отсутствие нормальности их распределений, методами корреляционного анализа доказано наличие линейной связи между данными величинами, для выявленной линейной связи построено регрессионное уравнение, по критерию Фишера доказана его надежность, рассчитаны коэффициенты эластичности и детерминации.



 



Использованная литература


Айвазян С. А., Енюков И .С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика. – М.: Финансы и статистика. 1983.
Ивановский Р. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. — СПб.: БХВ-Петербург, 2008.— 528 с.: ил. + CD-ROM — (Учебное пособие)
Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. Задачи и упражнения. – М.: Наука, 1969.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. – М.:.ГИТТЛ, 1954.
Гурский Е. И. Теория вероятностей с элементами математической статистики. – М.: Высшая школа, 1971.
Захаров В. К., Севастьянов В. А., Чистяков В. Н. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1983.
Иванова В. М. и др. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1982.
Ивченко Г. И., Медведев Ю. Н. Математическая статистика. – М.: Высшая школа,1984.
Кибзун А. И. и др. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами: Учеб. пособие. – М.: Физматлит, 2002.