Вариант 5 Задание 1 Вероятности землетрясения в каждом из трех

Вариант 5

Задание 1
Вероятности землетрясения в каждом из трех городов соответственно равны 0,1; 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что землетрясение произойдет только в одном городе.
Обозначим события через A1, A2, A3 - Вероятности землетрясения в каждом из трех городов соответственно равны.
Обозначим C – событие «землетрясение произойдет только в одном городе».
Его вероятность равна
P(C) = 1-P(C) = 1 – P(A1*A2*A3) = 1 – 0,1*0,8*0,6 = 1-0,048 = 0,952


Задание 2
В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятности выполнить квалификационную норму соответственно равны 0,9, 0,8, 0,75. Найти вероятность того, что выбранный наудачу спортсмен выполнит норму.

Задача решается по формуле Бейеса.
Гипотезы:
Н1 – {изготовлен на первом заводе};
Н2 – {изготовлен на втором заводе};
Н3 – {изготовлен на третьем}.
По условию Р (Н1)=10/(10+6+4)=0,5; Р (Н2)=6/20=0,3; Р (Н3)=4/20=0,2.

Событие А {Работал безотказно }
Р (A|Н1)=0,9; Р (A|Н2)=0,8; Р (A|Н3)=0,7.

Р (Н1|A)=P(H1)•Р (A|Н1)/(Σ P(Hi)•Р (A|Нi))=
=0,5•0,9/[0,5•0,9+0,3•0,8+0,2•0,7]=0,45/0,83≈0,542.

Р (Н2|A)=P(H2)•Р (A|Н2)/(Σ P(Hi)•Р (A|Нi))=0,3•0,8/0,83≈0,289.


Задание 3
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные варианты , а во второй строке – соответственные частоты количественного признака . Требуется найти:
1) выборочную среднюю;
2) выборочное среднее квадратическое отклонение;
3) моду и медиану.


110 115 120 125 130 135 140

5 10 30 25 15 10 5


Задание 4
Решить методом Жордана–Гаусса систему линейных уравнений:


Запишем систему в виде:
1 32 0
1 22 32
21 2 43

= 5
-3
9



Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1 x2 x3 B
1 / 1 = 1 32 / 1 = 32 0 / 1 = 0 5 / 1 = 5




1 32 0
0 -10 32
0 -670 43

= 5
-8
-96



Разрешающий элемент равен (-10).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1 x2 x3 B

0 / -10 = 0 -10 / -10 = 1 32 / -10 = -3.2 -8 / -10 = 0.8



1 0 102,4
0 1 -3,2
0 0 -2101

= -20,6
0,8
440



Разрешающий элемент равен (-2101).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1 x2 x3 B


0 / -2101 = 0 0 / -2101 = 0 -2101 / -2101 = 1 440 / -2101 = -0.21


1 0 0
0 1 0
0 0 1

= 0,85
0,13
-0,21



x1 = 0.85
x2 = 0.13
x3 = -0.21


Задание 5
Решить графически задачу линейного программирования:


Необходимо найти минимальное значение целевой функции z = 3x1+x2 → min, при системе ограничений:
-2x1≤6 (1)
x1+x2≤3 (2)
x1+x2≤1 (3)
x1≥0 (4)
x2≥0 (5)
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Границы области допустимых решений
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.


Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x1+x2 → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x1+x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (3; 1). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.


Задание 6
Решить симплексным методом следующие задачи линейного программирования:

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 3x1 - 2x2 - 2x3 при следующих условиях-ограничений.
- 3x1 + x2 + x3≤1
- x1 + 2x2 + 2x3≤7
x1 + 3x2 + x3≤1
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6.
-3x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 1
-1x1 + 2x2 + 2x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 7
1x1 + 3x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 1
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x5, x6
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,1,7,1)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4 1 -3 1 1 1 0 0
x5 7 -1 2 2 0 1 0
x6 1 1 3 1 0 0 1
F(X0) 0 -3 2 2 0 0 0
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:
min (- , - , 1 : 1 ) = 1
Следовательно, 3-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 min
x4 1 -3 1 1 1 0 0 -
x5 7 -1 2 2 0 1 0 -
x6 1 1 3 1 0 0 1 1
F(X1) 0 -3 2 2 0 0 0 0
4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x6 в план 1 войдет переменная x1.
Строка, соответствующая переменной x1 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x6 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=1
На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.
В остальных клетках столбца x1 плана 1 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x1 и столбец x1.
Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
1-(1 • -3):1 -3-(1 • -3):1 1-(3 • -3):1 1-(1 • -3):1 1-(0 • -3):1 0-(0 • -3):1 0-(1 • -3):1
7-(1 • -1):1 -1-(1 • -1):1 2-(3 • -1):1 2-(1 • -1):1 0-(0 • -1):1 1-(0 • -1):1 0-(1 • -1):1
1 : 1 1 : 1 3 : 1 1 : 1 0 : 1 0 : 1 1 : 1
0-(1 • -3):1 -3-(1 • -3):1 2-(3 • -3):1 2-(1 • -3):1 0-(0 • -3):1 0-(0 • -3):1 0-(1 • -3):1

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4 4 0 10 4 1 0 3
x5 8 0 5 3 0 1 1
x1 1 1 3 1 0 0 1
F(X1) 3 0 11 5 0 0 3
1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4 4 0 10 4 1 0 3
x5 8 0 5 3 0 1 1
x1 1 1 3 1 0 0 1
F(X2) 3 0 11 5 0 0 3
Оптимальный план можно записать так:
x1 = 1
F(X) = 3•1 = 3


Задание 7
Решить транспортную задачу. Имеются четыре пункта поставки однородного груза , , , , в каждом из которых находится груз соответственно в количестве , , , тонн и пять пунктов потребления этого груза , , , , . В пункты , , , , требуется доставить соответственно , , , , тонн груза. Транспортные расходы при перевозке единицы груза из пункта в пункт равны , где i=1, 2, 3, 4, j=1, 2, 3, 4, 5. Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками, чтобы затраты по перевозкам были минимальными, учитывая: ,
,
.


ПРИМЕРНОЕ РЕШЕНИЕ
Решение транспортной задачи
Имеются три пункта поставки однородного груза и пять пунктов потребления этого груза . На пунктах поставки , находится груз соответственно в количествах и тонн. В пункты потребления требуется доставить соответственно и тонн груза. Расходы на перевозку единицы груза между пунктами поставки и пунктами потребления приведены в таблице.
Найти такой план закрепления потребителей за поставками однородного груза , чтобы общие затраты по перевозкам были минимальными.

Пункты
поставки В1 В2 В3 В4 В5 Запасы
16 7 10 9 14 220
А1 11 5 3 8 15 180
А2 9 20 15 11 6 200
Потребности 80 140 200 60 120 600
Решение:
Стандартная транспортная задача разрешима только в том случае, когда выполняется условие баланса:

В нашем случае:

Модель транспортной задачи закрытая.
Заполняем таблицу по правилу минимального элемента.
Просматривая таблицу замечаем, что наименьшие затраты соответствуют маршруту , поэтому в клетку помещаем . В этом случае 3-й столбец в расчет не принимается. Просматриваем оставшиеся таблицы клетки. Наименьший тариф имеет клетка

Далее действуя по аналогичной схеме:




Так как число занятых клеток должно быть , то

Решать задачу будем методом потенциалов. Потенциал 1-й строки принимаем равным нулю. После этого мы можем вычислить остальные потенциалы (если известны потенциал и тариф занятой клетки, то из соотношения v + u =c легко определить неизвестный потенциал).

Найдем оценки свободных клеток:
S ( 1, 1)= 16-( 0+ 18)= -2 S ( 1, 5)= 14-( 0+ 15)= -1
S ( 2, 2)= 5-(-7+ 7)= 5 S ( 2, 4)= 8-(-7+ 9)= 6
S ( 2, 5)= 15-(-7+ 15)= 7 S ( 3, 2)= 20-(-9+ 7)= 22
S ( 3, 3)= 15-(-9+ 10)= 14 S ( 3, 4)= 11-(-9+ 9)= 11

Для клетки ( 1, 1) строим цикл.

Найдем оценки свободных клеток:
S ( 1, 5)= 14-( 0+ 13)= 1 S ( 2, 1)= 11-(-7+ 16)= 2
S ( 2, 2)= 5-(-7+ 7)= 5 S ( 2, 4)= 8-(-7+ 9)= 6
S ( 2, 5)= 15-(-7+ 13)= 9 S ( 3, 2)= 20-(-7+ 7)= 20
S ( 3, 3)= 15-(-7+ 10)= 12 S ( 3, 4)= 11-(-7+ 9)= 9

Оценки свободных клеток не отрицательны, следовательно, полученный план является оптимальным:

Пункт поставляет 140 единиц груза в пункт , 20 единиц груза в пункт и 60 единиц груза в пункт
Пункт поставляет 180 единиц груза в пункт
Пункт поставляет 80 единиц груза в пункт и 120 единиц груза в пункт
Минимальные транспортные издержки оптимального плана: