Вариант 10 Решить методом Жордана–Гаусса систему линейных уравнений

Задание 4
Решить методом Жордана–Гаусса систему линейных уравнений:



Запишем систему в виде:

-2 3 -1 0
4 -2 5 1
3 -4 0 10
Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (-2). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
РЭ - разрешающий элемент (-2), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

1 -1.5 0.5 0
0 4 3 1
0 0.5 -1.5 10
Разрешающий элемент равен (4). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

1 0 1.63 0.38
0 1 0.75 0.25
0 0 -1.88 9.88
Разрешающий элемент равен (-1.88). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

1 0 0 8.93
0 1 0 4.2
0 0 1 -5.27

x1 = 8.93
x2 = 4.2
x3 = -5.27


Задание 5
Решить графически задачу линейного программирования:





Необходимо найти минимальное значение целевой функции F = 3x1-2x2 → min, при системе ограничений:
-x1+x2≤4 (1)
-3x1+x2≥-6 (2)
x1+x2≥6 (3)
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Границы области допустимых решений
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.


Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x1-2x2 → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x1-2x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление минимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (3; -2). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.


Область допустимых решений представляет собой линию.
Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
-x1+x2=4
x1+x2=6

Решив систему уравнений, получим: x1 = 1, x2 = 5
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 3*1 - 2*5 = -7





Задание 6
Решить симплексным методом следующие задачи линейного программирования:




Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 2x1 + 3x2 - 3x3 при следующих условиях-ограничений.
2x1 - 3x2 + x3≤8
x1 + 2x2 + 2x3≤4
3x1 - 2x2 + x3≤12
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6.
2x1-3x2 + 1x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 8
1x1 + 2x2 + 2x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 4
3x1-2x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 12
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
A = 2 -3 1 1 0 0
1 2 2 0 1 0
3 -2 1 0 0 1



Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x5, x6
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,8,4,12)
Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4 8 2 -3 1 1 0 0
x5 4 1 2 2 0 1 0
x6 12 3 -2 1 0 0 1
F(X0) 0 -2 -3 3 0 0 0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
1. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
2. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент .
3. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3
и из них выберем наименьшее:
min (8 : 1 , 4 : 2 , 12 : 1 ) = 2
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 min
x4 8 2 -3 1 1 0 0 8
x5 4 1 2 2 0 1 0 2
x6 12 3 -2 1 0 0 1 12
F(X1) 0 -2 -3 3 0 0 0 0

4. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x5 в план 1 войдет переменная x3.
Строка, соответствующая переменной x3 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x5 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=2
На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.
В остальных клетках столбца x3 плана 1 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x3 и столбец x3.
Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (2), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
8-(4 • 1):2 2-(1 • 1):2 -3-(2 • 1):2 1-(2 • 1):2 1-(0 • 1):2 0-(1 • 1):2 0-(0 • 1):2
4 : 2 1 : 2 2 : 2 2 : 2 0 : 2 1 : 2 0 : 2
12-(4 • 1):2 3-(1 • 1):2 -2-(2 • 1):2 1-(2 • 1):2 0-(0 • 1):2 0-(1 • 1):2 1-(0 • 1):2
0-(4 • 3):2 -2-(1 • 3):2 -3-(2 • 3):2 3-(2 • 3):2 0-(0 • 3):2 0-(1 • 3):2 0-(0 • 3):2


Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4 6 3/2 -4 0 1 -1/2 0
x3 2 1/2 1 1 0 1/2 0
x6 10 5/2 -3 0 0 -1/2 1
F(X1) -6 -7/2 -6 0 0 -3/2 0

1. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6
x4 6 3/2 -4 0 1 -1/2 0
x3 2 1/2 1 1 0 1/2 0
x6 10 5/2 -3 0 0 -1/2 1
F(X2) -6 -7/2 -6 0 0 -3/2 0

Оптимальный план можно записать так:
x3 = 2
F(X) = -3•2 = -6



Задание 7
Решить транспортную задачу. Имеются четыре пункта поставки однородного груза , , , , в каждом из которых находится груз соответственно в количестве , , , тонн и пять пунктов потребления этого груза , , , , . В пункты , , , , требуется доставить соответственно , , , , тонн груза. Транспортные расходы при перевозке единицы груза из пункта в пункт равны , где i=1, 2, 3, 4, j=1, 2, 3, 4, 5. Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками, чтобы затраты по перевозкам были минимальными, учитывая: ,
,
.