Самостійна робота 2
Розв’язування задач за темою «Паралельність та перпендикулярність прямих у просторі
Рекомендації до її виконання
- Відповісти на запитання для самоконтролю
- Розв’язати завдання свого варіанта
Запитання для самоконтролю
1. Що називається стереометрією?
2. Що називається аксіомою?
3. Що називається теоремою?
4. Аксіоми 1,2,3?
5. Теореми 1,2?
6. Наслідок 1
7. Властивості паралельного проектування.
8. Часні випадки зображення фігур
9. Чи завжди паралельною проекцією прямої є пряма?
10. Чи можуть бути паралельними проекції непаралельних прямих?
11. Чи може трапеція бути паралельною проекцією паралелограма?
12. Чи вірно, що фігура є відрізком, якщо її паралельна проекція — відрізок?
13. Чи можна один із двох відрізків, що мають спільний кінець, вважати проекцією другого?
14. Чи може прямокутник бути паралельною проекцією квадрата?
15. Чи може проекцією прямокутного трикутника бути тупокутний трикутник?
16. Чи можуть проекції мимобіжних прямих збігатися?
17. Якою фігурою є зображення: а) відрізка; б) трикутника; в) трапеції; г) паралелограма; д) 6-кутника?
18. Скільки площин можна провести через прямуа і точкуВ,яка не належить прямій а ?
19. Скільки площин можна провести через пряму а і точку А, яка належить прямій а ?
20. Скільки площин можна провести через три дані точки?
21. Як можуть розміщатися дві прямі на площині?
22. Як можуть розміщатися дві прямі в просторі?
23. Які прямі називаються паралельними?
24. Які прямі називаються мимобіжними?
25. Сформулюйте ознаку паралельності прямих.
26. Сформулюйте властивость паралельних прямих.
27. Сформулюйте ознаку паралельності прямої та площини.
28. Сформулюйте властивость паралельних прямої та площини .
29. Способи завдання площин
30. Взаємне розміщення площин
31. Теорема про перетин двох паралельних площин третьою
32. Ознаки паралельності площин
33. Які прямі у просторі називаються перпендикулярними?
34. Що таке перпендикуляр, опущений з даної точки на площину?
35. Що називають похилою, проведеною зданої точки на площину?
36. Що називається проекцією похилої?
37. Властивості перпендикуляра і похилої
38. Кут між прямимі, у просторі.
39. Кут між прямою та площиною у просторі.
40. Властивості кутів між прямою та площиною у просторі.
41. Відстань між фігурами простору.
42. Відстань від точки до площини
43. Відстань між прямою і паралельною до неї площиною Властивість
44. Відстань між паралельними площинами
45. Які прямі у просторі називаються перпендикулярними?
46. Ознака перпендикулярності прямих у просторі
47. Сформулюйте означення прямої, яка перпендикулярна площині.
48. Ознака перпендикулярності прямої та площини у просторі
49. Властивості прямої та площини, які перпендикулярні між собою.
50. Сформулюйте теорему про три перпендикуляри.
51. Прямі а і b перпендикулярні до площини. Яке взаємне розміщення цих прямих?
52. Площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих. Як розміщена друга з цих прямих відносно площини?
53. Скільки прямих, перпендикулярних даній площині, можна провести через точку поза даною площиною?
54. Прямі а і b не перетинаються. Яке взаємне розміщення цих прямих, якщо пряма а паралельна площині, а пряма b перетинає цю площину?
55. Площина α проходить через пряму, перпендикулярну до площини β. Як розміщені ці площинни?
56. Пряма, яка лежить в одній з двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину. Як розміщена ця пряма відносно другої площини?
57. Що таке двогранний кут (грань кута, ребро кута)?
58. Дайте означення лінійного кута двогранного кута.
59. Чому міра двогранного кута не залежить від вибору лінійного кута?
60. Які прийоми побудови лінійного кута двогранного кута вам відомі?
61. Чому дорівнює в кубі ABCDA1B1C1D1 двогранний кут, утворений: а) основою АВСD і перерізом A1B1CD; б) гранню CC1D1D і перерізом AA1C1C
62. Кутом між двома площинами називається …
63. Ортогональна проекція точки на площину – це …
64. Площа ортогональної проекції багатокутника – це
Таблиця варіантів
|
Варіант |
N |
N |
N |
N |
N |
|
1 |
1 |
16 |
31 |
46 |
39 |
|
2 |
2 |
17 |
32 |
47 |
40 |
|
3 |
3 |
18 |
33 |
48 |
41 |
|
4 |
4 |
19 |
34 |
49 |
42 |
|
5 |
5 |
20 |
35 |
50 |
43 |
|
6 |
6 |
21 |
36 |
51 |
44 |
|
7 |
7 |
22 |
37 |
52 |
45 |
|
8 |
8 |
23 |
38 |
53 |
46 |
|
9 |
9 |
24 |
39 |
54 |
47 |
|
10 |
10 |
25 |
40 |
55 |
48 |
|
11 |
11 |
26 |
41 |
56 |
49 |
|
12 |
12 |
27 |
42 |
57 |
50 |
|
13 |
13 |
28 |
43 |
58 |
51 |
|
14 |
14 |
29 |
44 |
37 |
52 |
|
15 |
15 |
30 |
45 |
38 |
53 |
1. Дві прямі а і bпаралельні прямій с. Які взаємні розміщення прямі aі b?
А) Перетинаються; Б) паралельні; В) мимобіжні.
2.Через три точки проведені дві різні площини. Як розташовані ці точки?
А) лежать на одній прямій; Б) не лежать на одній прямій.
3.Прямій а,bіcпопарні перетинаються. Скільки різних площин можна провести через ці прямі?
А) одну; Б) дві; В) три; Г) жодної; Д) інша відповідь.
4.Дані дві прямі а і b, що перетинаються . Через точку А, яка лежить на прямій а,проведенапряма с паралельна прямій b.Скільки різних площин можна провести через ціпрямі?
А) одну; Б) дві; В) три; Г) жодної; Д) безліч.
5. Скільки площин можна провести через три точки, якщо вони на одній прямій?
А) одну; Б) дві; В) безліч.
6.Скільки площин можна провести через пряму?
А) дві; Б) одну; В) безліч.
7.Дано площина а. Сторона АВ паралелограма ABCDлежить на ній. Як розташована пряма СDвідносно площини а?
А) перетинаються плоскості;
Б) лежить на площині;
В) паралельна площині;
Г) перпендикулярна площині.
8. Прямокутник ABCDі трапеція ADMN (AD- основа трапеції) не лежать в одній площині. Як розташовані прямі MNі ВС?
А) мимобіжні;
Б) прямі паралельні;
В) прямі що перетинаються.
9.Точка М не лежить у площі трикутника АВС. Яке взаємне розміщення прямих МА і ВС?
А) паралельні;
Б) мимобіжні;
В) перетинаються.
10.Точка М не належить площині чотирикутника ABCD.Яке взаємне розміщення прямих MD і BC?
А) мимобіжні;
Б) що перетинаються;
В) паралельні.
11.У просторі дана пряма а і точка М. Скільки існує різних прямих, які проходять через М і паралельні а?
А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або безліч; Д) одна або безліч.
12.Дана площина а і точка М поза нею. Скільки існує різних прямих, які проходять через М і паралельні к площині а?
А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або безліч; Д) одна або безліч.
13.Точки А,В,C і Dне лежать в одній площині. Яке взаємне розміщення прямих АВ і CD?
А) перетинаються; Б) паралельні; В) мимобіжні; Г) лежать в одній площині.
14.Дві вершини і точка перетину діагоналей паралелограма лежать в площині а. Як е взаємне розміщення інших вершин?
А) одна лежить, а друга не лежитьу площині; Б) обидві лежать в площині а або обидві не лежать у площині а; В) інша відповідь.
15.Точки А і В розташовані в одній із паралельних площинах, С і D– в другій. Відрізки АС і BD перетинаються в точці М. Як розташовані прямі АВ і CD?
А) перетинаються;
Б) паралельні;
В) мимобіжні.
16.Точка Sзнаходиться поза площиною трикутника АВС. Точки ,, відносно являються серединами відрізків SA,SВ,SC. Визначити взаємне розміщення площин АВС і
А) паралельні; Б) збігаються; В) перетинаються.
17. В тетраэдре SKMN, F- серединаMN, P- середина SN, О- середина KN. Визначити взаємне розміщення площин KSMі OPF.
А)перетинаються; Б) паралельні; В) співпадають.
18. Пряма а не лежить в площині А. Скільки всього різних прямих, перетинаються з прямою а, яка проходить через точку, взяту в площині А?
А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або безліч.
19.Три вершини паралелограма лежать в площині а. Як розташована четверта вершина відносно площини а?
А) лежить в площині а; Б) не лежить в площині а.
20.Діагональ і сторона трапеції паралельні площині а. Як розташовані площина а і площина, в якій лежить трапеція?
А) паралельні; Б) співпадають; В) перетинаються.
21.Дані мимобіжні прямі а і b.Точки А і В лежать на прямій а, точки CіD на прямій b. Яке взаємне розміщення прямих ACі BD?
А)паралельні; Б) мимобіжні; В) що перетинаються.
22.Дані мимобіжні прямі а і b. Скільки існує різних площин, які проходять через а і паралельні прямій b?
А) дві; Б) одна; В) жодної; Г) безліч; Д)жодної або безліч.
23.Дані дві площини а і β, які перетинаються. Точка М не належить жодній з них. Скільки існує прямих, які проходять через М і паралельні а і β?
А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або одна; Д) жодної або безліч.
24.Пряма а паралельна прямій b? Апряма bперетинається з площиною а. Яке взаємне розташування прямої а і площини а?
А) перетинаються; Б) паралельні; В) інша відповідь.
25.Площина а паралельна прямій b, а пряма b паралельна площині γ, відмінній від а. Яке взаємне розташування площин а і γ?
А) перетинаються; Б) паралельні; В) інша відповідь.
26.Площини а і β перетинаються по прямій с. В площині а проведена пряма а, паралельна прямій с. Яка взаємне розташування пряма а і площина β;
А) пряма а перетинає площину β; Б) пряма а лежить в площині β;
В) пряма а паралельна площині β.
27.Трикутники ABC іABDлежать в різних площинах. Точки М і N середини сторін АС і ВС трикутника АВС. Яке взаємне розташування прямої MN і площини трикутника АВС?
А) пряма MN паралельна площині АВС; Б) пряма MN перетинає площину АВС.
28.Скільки всього існує різних площин, які проходять через пряму і точку в просторі?
А) одна; Б) безліч; В) дві одна або безліч.
29.Дані площина а і пряма а, яка їй не належить. Скільки існує різних площин, які проходять через а і паралельні площині а?
А) безліч; Б) дві; В) одна або жодної.
30.Дані дві паралельні площини а і β. Точка М не лежить ні на одній з них. Скільки існує прямих, які проходять через М і паралельних площинам а і β?
А) одна; Б) дві; В) безліч.
31.Відомо, що пряма а паралельна прямий b, а пряма b паралельна площині γ. Пряма а не належить площині γ. Яке взаємне розташування прямої а і плоскості γ?
А) паралельні; Б) перетинаються; В) інша відповідь.
31.Скільки площин можна провести через три точки, які не лежать на одній прямій?
А) Безліч; Б) Дві; В) Жодної; Г) Одну; Д) Три.
32.Дві прямі а і b паралельні прямій с.
Яке взаємне розміщення прямих а і b?
А) Перетинаються; Б) Паралельні; В) Мимобіжні.
33.Відомо, що пряма а паралельна прямий b, а пряма b паралельна прямій с. Яке взаємне розташування прямої а і прямій с?
А) паралельні; Б) перетинаються; В) інша відповідь.
34.Через три точки проведено дві різні площини. Як розміщені ці точки?
А) Лежать на одній прямій; Б) Не лежать на одній прямій.
35.Дано паралельні прямі а і b. Скільки існує площин, які проходять через пряму а і паралельні прямій b?
А) Жодної; Б) Одна; В) Дві; Г) Безліч; Д) Три.
36.Дано мимобіжні прямі а і b. Скільки існує площин, які проходять через пряму а і паралельні прямій b?
А) Дві; Б) Жодної; В) Одна; Г) Безліч; Д) Три.
37.Вказати неправильне твердження:
А) Через точку поза даною прямою можна провести пряму, паралельну цій прямій, і до того ж тільки одну; Б) Якщо пряма в просторі перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона обов'язково перетинає і другу пряму; В) Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій; Г) Якщо дві точки прямої належать площині, то вен пряма належить цій площині.
38.Дві прямі не паралельніі не перетинаються. Скільки площин можна провчи через ці прямі?
А) Дві; Б) Жодної; В) Одну; Г) Безліч; Д) Три.
39.Трикутник лежить у площині α, яка паралельна площині β. Як розміщені сторони цього трикутника відносно площини β?
А) Перетинають площину; Б) Паралельні площині; В) Лежать на площині.
40.Скільки площин, паралельних даній площині, можна провести через точку поза даною площиною? А) Дві; Б) Безліч; В) Одну; Г) Три; Д) Жодної.
41.Паралельні прямі а, b і с не лежать в одній площині. Пряма d перетинає прямі а і b. Яке взаємне розміщення прямих d і с?
А) Перетинаються; Б) Паралельні; В) Мимобіжні;Г) Співпадають.
42.Дано прямокутний паралелепіпедАВСDА1В1С1D1.Довжина якого з відрізків є відстанню між мимобіжними прямими АD і А1D1?
А)А10;Б)АА,;В)ОВ1; Г)АВ1;Д)А,01.
43.Дві прямі перетинаються. Скільки площин можна провести через цi прямі?
А) Жодної; Б) Дві; В) Безліч; Г) Одну; Д) Три.
44.Як розміщені площини α і β, якщо пряма а перетинає площину α і паралельна площині β?
А) Паралельні; Б) Перетинаються; В) Співпадають.
45. Пряма а паралельна площині α. Скільки площин, паралельних площині α, можна провести через цю пряму?
А) Дві; Б) Жодної; В) Безліч; Г) Одну; Д) Три.
46.Площини α і β паралельні. Пряма а перетинає площину α. Як розміщена ця пряма відносно площини β?
А) Паралельна площині; Б) Перетинає площину; В)Лежить у площині.
47.Прямі а і b перпендикулярні до площини. Яке взаємне розміщення цих прямих?
А) Перетинаються; Б) Мимобіжні; В) Паралельні.
48.Площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих. Як розміщена друга з цих прямих відносно площини?
А) Паралельна площині; Б) Перпендикулярна до площини; В) Лежить у площині.
49.Кут між мимобіжними прямими дорівнює φ. Вказати неправильне значення кута φ:
А) φ =30°; Б) φ =90°; В) φ =0°; Г) φ =45°; Д) φ =20°.
50.Скільки прямих, перпендикулярних даній площині, можна провести через точку поза даною площиною?
А) Дві; Б) Безліч; В) Жодної; Г) Одну; Д) Три.
51.Прямі а і b не перетинаються. Яке взаємне розміщення цих прямих, якщо пряма а паралельна площині, а пряма b перетинає цю площину?
А) Паралельні; Б) Мимобіжні.
52.Площина α проходить через пряму, перпендикулярну до площини β. Як розміщені ці площинни?
А) Паралельні; Б) Перпендикулярні; В) Суміщаються.
53.Пряма, яка лежить в одній з двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину. Як розміщена ця пряма відносно другої площини?
А) Паралельна площині; Б) Перпендикулярна до площини; В) Лежить у площині.
54.АВСD — квадрат . Відрізок ВО перпендикулярний до площиниАВС. Укажіть відстань від точки О до прямої СD.
55.АВС — прямокутний трикутник (∟С = 90°, , Відрізок АР перпендикулярний до площини АВС. Укажіть відстань від точки Р до прямої СВ.
56.Через точку О — точку перетину діагоналей квадрата АВСD — проведено перпендикуляр МО до його площини. Відомо, що АВ= 6. Обчисліть відстань між прямими АВ і МО.
57.Двогранний кут дорівніює 60°. Задано точку на одній із граней кута. Відстань
від цієї точки до другої грані кута становить 4 см. Знайдіть відстань від
заданої точки до ребра двогранного кута.
58.Визначте лінійний кут двогранного кута з ребром ВС, якщо РА
перпендикулярний до площини АВС і у трикутнику АВС ∟С = 90°.