Билеты: Теорема о свойстве касательной к окружности

Билет№1

Теорема о свойстве касательной к окружности
Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, прове-
дённому в точку касания.
Дано: окр (О; ОА)
р – касательная к окружности,
А – точка касания.
Доказать: р перпендикулярна ОА.
Доказательство (методом от противного)
Предположим, что р не перпендикулярна ОА
В этом случае радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки, т. е. р – секущая. Но это противоречит условию теоремы, что р - касательная к окружности. Так как получили противоречие, то предположение, что р не перпендикулярно ОА было неверным, значит, р перпендикулярна ОА. Итак, касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Ч. т. д.
Верна и теорема, обратная теореме о свойстве касательной - признак касательной.
Теорема. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Дано: окр (О; ОА) , р, А принадлежит р, р перпендикулярна ОА
Доказать: р – касательная к окр (О; ОА) .
Доказательство
По условию р принадлежит ОА, ОА – радиус окружности, поэтому расстояние от центра окружности до прямой р равно радиусу ОА. Следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. А это означает, что данная прямая р является касательной к окружности. Итак, если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. Ч. т. д.

Вопрос к первому билету
2х+х+х=90 - это углы. одна больше на 2, потому что имеется сторона треугольника, равная 2радиусам, т. е. диаметр.
4х=90
х=22,5
угол между ними равен 22,5=)



Блиет№2
Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон

треугольника равно радиусу этой окружности.
Вопрос к билету №2

Билет№3

Определение . Параллелограммом называется четырехугольник, у которго противоположные стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых

Свойства
Противоположные стороны параллелограмма равны
| AB | = | CD | , | AD | = | BC | .
Противоположные углы параллелограмма равны

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
| AO | = | OC | , | BA | = | OD | .
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180

.
Сумма всех углов равна 360°
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон:

пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, d1 и d2 — длины диагоналей; тогда d1^2+d2^2=2(a^2+b^2)

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:
1Противоположные стороны попарно равны: AB = CD, AD = BC.
2Противоположные углы попарно равны: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
3Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: AO = OC, BO = OD.
4Сумма соседних углов равна 180 градусов: ∠A + ∠B = 180, ∠B + ∠C = 180, ∠C + ∠D = 180, ∠D + ∠A = 180.
5Противоположные стороны попарно равны и параллельны: AB = CD, AB || CD.
6Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
7 Противоположные стороны попарно параллельны: AB || CD, AD || BC.

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники (см. рис.).
Вопрос к билету№3

Выразим длины сторон в одних и тех же единицах длины.

MO=7 см, МК=14 см, NO=5 см , OP=5 см.

OK=MK - MO=14 см - 7 см=7 см, следовательно, MO=OK, NO=OP, т.е. диагонали четырехугольника в точке О делятся пополам.

Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.

Что и требовалось доказать
Билет№4
Противоположные стороны параллелограмма равны.
left|AB
ight| = left|CD
ight|, left|AD
ight| = left|BC
ight|.
Противоположные углы параллелограмма равны.
angle A = angle C, angle B = angle D.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точка пересечения делит их пополам.
left|AO
ight| = left|OC
ight|, left|BO
ight| = left|OD
ight|.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°( по признаку параллельных прямых).
Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
Сумма всех углов равна 360°( сумма углов многоугольника = 180( n - 2), где n кол-во углов).
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:
Вопрос к билету №4
Противоположные углы в параллелограмме попарно равны, два угла равны по 180:4*3=135, два других 180-135=45.
Билет№5
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
Свойства
Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны попарно параллельны.
Стороны прямоугольника являются его высотами.
Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (по теореме Пифагора).
Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности
Вывод особого свойства прямоугольника
Все угля равны 90 градусам
Вопрос к билету №5
Билет№6
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Доказательство.
Пусть ABCD – данный ромб. Диагонали ромба пересекаются в точке O.
По свойству параллелограмма AO = OC, значит BO – медиана Δ ABC. А так как треугольник ABC - равнобедренный, то по свойствам медианы равнобедренного треугольника проведенной к основанию, BO является также высотой и биссектрисой. Значит прямая BO ⊥ AC и ∠ ABO = ∠ CBO. Теорема доказана.
Вопрос к билету №6
1 - т. к. абсд-ромб => угол а =углу с а угол б= углу д
а угол а+угол д=180градусов (внутренние односторонние) =>
угол д = 180градусов - угол а => угол д=144градуса
а по св-ву ромба угол бдс (при диагонали бд) = 12угла д =>
угол бсд = 72градуса
ответ: угол бдс = 72градуса
Билет№7
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Перечислим свойства квадрата:

Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
Диагонали квадрата делят его углы пополам.
Вопрос к билету №7
Если у четырехсторонней фигуры 4 угла по 90 градусов, тоесть равны - это квадрат. (Иного не может быть дано, т. к. у параллелограмма равны только противоположные углы, но не все 4, а только 2). Если диагонали перпендикулярны, то угол в их пересечении равен 90 градусам, это одно из доказательств квадрата. Следовательно, из этих 2-х доказательств следует, что параллелограмм является квадратом.
билет №8

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки.
Билет№9
Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон этой фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырехугольник, трапеция
средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.
при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четвертой площади исходного треугольника.
Вопрос к билету№9
Второй острый угол треугольника равен 60 градусов. Меньший катет лежит против меньшего угла. - > катет в шесть сантиметров лежит против угла 30 градусов - > гипотенуза равна 12.
Второй катет по теореме Пифагора =sqrt(12^2-6^2)=6*sqrt(3).
Периметр треугольника Р=18+6*sqrt(3). Длина средней линии треугольника равна половине длины параллельной ей стороны треугольника. - > Периметр треугольника образованного средними линиями Р1=Р/2=9+3*sqrt(3).
Билет№10
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований

Доказательство:
Доказательство:
1)Пусть дана трапеция АВСD и средняя линия КМ. Через точки В и М проведем прямую. Продолжим сторону AD через точку D до пересечения с ВМ. Треугольники ВС M и МРD равны по стороне и двум углам (СМ=МD, РВСМ=РМDР - накрестлежащие, РВМС=РDМР - вертикальные) , поэтому ВМ=МР или точка М - середина ВР.
2) КМ является средней линией в треугольнике АВР. По свойству средней линии треугольника КМ параллельна АР и в частности АD и равна половине АР: Дано: трапеция ABCD Средняя линия KM назад
Билет№11
Пифагора теорема, теорема геометрии, устанавливающая связь между сторонами прямоугольного треугольника. П. т. была, по-видимому, известна до Пифагора (6 в. до н. э.), но ему приписывается её доказательство в общем виде. Первоначально теорема устанавливала соотношения между площадями квадратов, построенных на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника: квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах. Обычно П. т. принято кратко формулировать так: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Верна и теорема, обратная П. т.: если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник прямоугольный.
Вопрос к билету №12
Сумма углов треугольника - 180 градусов, один угол прямой, т. е. 90, второй 35 - значит, третий будет 55 градусов.
Катеты - один (напротив угла 35) равен 13sin35, второй (напротив угла 55) равен 13сos35.
Билет№13
Синус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (рис.1):
sin t = b/c.
- Косинус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе (рис.1):
cos t = a/c.
Эти определения относятся к прямоугольному треугольнику и являются частными случаями тех определений, которые представлены в данном разделе.
Поместим тот же прямоугольный треугольник в числовую окружность (рис.2).
Мы видим, что катет b равен определенной величине y на оси Y (оси ординат), катет а равен определенной величине x на оси X (оси абсцисс). А гипотенуза с равна радиусу окружности (R).
Таким образом, наши формулы обретают иной вид.
Так как b = y, a = x, c = R, то:
y x
sin t = —— , cos t = ——.
R R
Кстати, тогда иной вид обретают, естественно, и формулы тангенса и котангенса.
Так как tg t = b/a, ctg t = a/b, то, верны и другие уравнения:
tgt = y/x,
ctg = x/y.
Но вернемся к синусу и косинусу. Мы имеем дело с числовой окружностью, в которой радиус равен 1. Значит, получается:
y
sin t = —— = y,
1

x
cos t = —— = x.
1
Так мы приходим к третьему, более простому виду тригонометрических формул.
Эти формулы применимы не только к острому, но и к любому другому углу (тупому или развернутому)
Определения и формулы cos t, sin t, tg t, ctg t.
Косинусом числа t числовой окружности называют абсциссу этого числа:
cos t = x
Синус числа t – это его ордината:
sin t = y
Тангенс числа t – это отношение синуса к косинусу:
sin t π
tg t = ———, где t ≠ — + πk
cos t 2

Котангенс числа t – это отношение косинуса к синусу:
cos t
ctg t = ———, где t ≠ πk
sin t

Из формул тангенса и котангенса следует еще одна формула:
sin t cos t πk
tg t • ctg t = ——— • ——— = 1, при t ≠ ——
cos t sin t 2
Уравнения числовой окружности.
Из предыдущего раздела мы знаем одно уравнение числовой окружности:
x2 + y2 = 1
Но поскольку x = cos t, а y = sin t, то получается новое уравнение:
cos2 t + sin2 t = 1
Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в четвертях окружности
cos t
tg t, ctg t
Косинус и синус основных точек числовой окружности
Как запомнить значения косинусов и синусов основных точек числовой окружности.

Прежде всего надо знать, что в каждой паре чисел значения косинуса стоят первыми, значения синуса – вторыми.

1) Обратите внимание: при всем множестве точек числовой окружности мы имеем дело лишь с пятью числами (в модуле):

1 √2 √3
0; —; ——; ——; 1.
2 2 2

Сделайте для себя это «открытие» - и вы снимете психологический страх перед обилием чисел: их на самом деле всего-то пять.
2) Начнем с целых чисел 0 и 1. Они находятся только на осях координат.
Не надо учить наизусть, где, к примеру, косинус в модуле имеет единицу, а где 0.
На концах оси косинусов (оси х), разумеется, косинусы равны модулю 1, а синусы равны 0.
На концах оси синусов (оси у) синусы равны модулю 1, а косинусы равны 0.
Теперь о знаках. Ноль знака не имеет. Что касается 1 – тут просто надо вспомнить самую простую вещь: из курса 7 класса вы знаете, что на оси х справа от центра координатной плоскости – положительные числа, слева – отрицательные; на оси у вверх от центра идут положительные числа, вниз – отрицательные. И тогда вы не ошибетесь со знаком 1.
3) Теперь перейдем к дробным значениям.
- Во всех знаменателях дробей – одно и то же число 2. Уже не ошибемся, что писать в знаменателе.
- В серединах четвертей косинус и синус имеют абсолютно одинаковое значение по модулю: √2/2. В каком случае они со знаком плюс или минус – см.таблицу выше. Но вряд ли вам нужна такая таблица: вы знаете это из того же курса 7 класса.
- Все ближайшие к оси х точки имеют абсолютно одинаковые по модулю значения косинуса и синуса: (√3/2; 1/2).
- Значения всех ближайших к оси у точек тоже абсолютно идентичны по модулю – причем в них те же числа, только они «поменялись» местами: (1/2; √3/2).
Теперь о знаках – тут свое интересное чередование (хотя со знаками, полагаем, вы должны легко разобраться и так).
Если в первой четверти значения и косинуса, и синуса со знаком плюс, то в диаметрально противоположной (третьей) они со знаком минус.
Если во второй четверти со знаком минус только косинусы, то в диаметрально противоположной (четвертой) – только синусы.
Осталось только напомнить, что в каждом сочетании значений косинуса и синуса первое число – это значение косинуса, второе число – значение синуса.
- Обратите внимание еще на одну закономерность: синус и косинус всех диаметрально противоположных точек окружности абсолютно равны по модулю. Возьмем, к примеру, противоположные точки π/3 и 4π/3:
cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2, sin 4π/3 = -√3/2
Различаются значения косинусов и синусов двух противоположных точек только по знаку. Но и здесь есть своя закономерность: синусы и косинусы диаметрально противоположных точек всегда имеют противоположные знаки
Важно знать:
Значения косинусов и синусов точек числовой окружности последовательно возрастают или убывают в строго определенном порядке: от самого малого значения до самого большого и наоборот (см. раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций» - впрочем, в этом легко убедиться, лишь просто посмотрев на числовую окружность выше).
В порядке убывания получается такое чередование значений:

√3 √2 1 1 √2 √3
1; ——; ——; —; 0; – —; – ——; – ——; –1
2 2 2 2 2 2

Возрастают они строго в обратном порядке.
Поняв эту простую закономерность, вы научитесь довольно легко определять значения синуса и косинуса.
Тангенс и котангенс основных точек числовой окружности.
Зная косинус и синус точек числовой окружности, легко можно вычислить их тангенс и котангенс. Делим синус на косинус - получаем тангенс. Делим косинус на синус - получаем котангенс. Результаты этого деления - на рисунке.
ПРИМЕЧАНИЕ: В некоторых таблицах значения тангенса и котангенса, равные модулю √3/3, указаны как 1/√3. Ошибки тут нет, так как это равнозначные числа. Если числитель и знаменатель чила 1/√3 умножить на √3, то получим √3/3
Как запомнить значение тангенсов и котангенсов основных точек числовой окружности.
Здесь такие же закономерности, что и с синусами и косинусами. И чисел тут всего четыре (в модуле): 0, √3/3, 1, √3.
На концах осей координат – прочерки и нули. Прочерки означают, что в данных точках тангенс или котангенс не имеют смысла.
Как запомнить, где прочерки, а где нули? Поможет правило.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу. На концах оси синусов (ось у) тангенс не существует.
Котангенс – это отношение косинуса к синусу. На концах оси косинусов (ось х) котангенс не существует.
В остальных точках идет чередование всего лишь трех чисел: 1, √3 и √3/3 со знаками плюс или минус. Как с ними разобраться? Запомните (а лучше представьте) три обстоятельства:
1) тангенсы и котангенсы всех середин четвертей имеют в модуле 1.
2) тангенсы и котангенсы ближайших к оси х точек имеют в модуле √3/3; √3.
3) тангенсы и котангенсы ближайших к оси у точек имеют в модуле √3; √3/3.
Нелишне будет запомнить, как возрастают и убывают тангенс и котангенс на числовой окружности (см.числовую окружность выше или раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций»). Тогда еще лучше будет понятен и порядок чередования значений тангенса и котангенса.
Тригонометрические свойства чисел числовой окружности.
Представим, что определенная точка М имеет значение t.
Свойство 1:
sin (–t) = –sin
cos (–t) = cos t
tg (–t) = –tg t
ctg (–t) = –ctg
Пояснение. Пусть t = –60º и t = –210º.
cos –60º равен 1/2. Но cos 60º тоже равен 1/2. То есть косинусы –60º и 60º равны как по модулю, так и по знаку: cos –60º = cos 60º.
cos –210º равен –√3/2. Но cos 210º тоже равен –√3/2. То есть: cos –210º = cos 210º.
Таким образом, мы доказали, что cos (–t) = cos t.
sin –60º равен –√3/2. А sin 60º равен √3/2. То есть sin –60º и sin 60º равны по модулю, но противоположны по знаку.
sin –210º равен 1/2. А sin 210º равен –1/2. То есть sin –210º и sin 210º равны по модулю, но противоположны по знаку.
Таким образом, мы доказали, что sin (–t) = –sin t.
Посмотрите, что происходит с тангенсами и котангенсами этих углов – и вы сами легко докажете себе верность двух других тождеств, приведенных в таблице.
Вывод: косинус – четная функция, синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.
Свойство 2: Так как t = t + 2πk, то:
sin (t + 2πk) = sin t
cos (t + 2πk) = cos t
Пояснение: t и t + 2πk – это одна и та же точка на числовой окружности. Просто в случае с 2πk мы совершаем определенное количество полных оборотов по окружности, прежде чем приходим к точке t. Значит, и равенства, изложенные в этой таблице, очевидны.
Свойство 3: Если две точки окружности находятся друг против друга относительно центра О, то их синусы и косинусы равны по модулю, но противоположны по знаку, а их тангенсы и котангенсы одинаковы как по модулю, так и по знаку.
sin (t + π) = –sin t
cs (t + π) = –cos
tg (t + π) = tg t
ctg (t + π) = ctg t
Пояснение: Пусть точка М находится в первой четверти. Она имеет положительное значение синуса и косинуса. Проведем от этой точки диаметр – то есть отрезок, проходящий через центр оси координат и заканчивающийся в точке окружности напротив. Обозначим эту точку буквой N. Как видите, дуга MN равна половине окружности. Вы уже знаете, что половина окружности – это величина, равная π. Значит, точка N находится на расстоянии π от точки М. Говоря иначе, если к точке М прибавить расстояние π, то мы получим точку N, находящуюся напротив. Она находится в третьей четверти. Проверьте, и увидите: косинус и синус точки N – со знаком «минус» (x и y имеют отрицательные значения).
Тангенс и котангенс точки М имеют положительное значение. А тангенс и котангенс точки N? Ответ простой: ведь тангенс и котангенс – это отношение синуса и косинуса. В нашем примере синус и косинус точки N – со знаком «минус». Значит:
–sin t
tg (t + π) = ———— = tg t
–cos t
–cos t
ctg (t + π) = ———— = ctg t
–sin t
Мы доказали, что тангенс и котангенс диаметрально противоположных точек окружности имеют не только одинаковое значение, но и одинаковый знак.
Свойство 4: Если две точки окружности находятся в соседних четвертях, а расстояние между точками равно одной четверти окружности, то синус одной точки равен косинусу другой с тем же знаком, а косинус одной точки равен синусу второй с противоположным знаком.
π
sin (t + —) = cos t
2
π
cos (t + —) = –sin t
2
Вопрос к билту№13
Пусть, АС=х
АС -сторона (катет), лежащая против 30 градусов, значит, равна половине гипотенузы. Тогда гипотенуза 2 раза больше АС, значит,
ВС=2АС=2х
По теореме Пифагора ВС^2=АС^2+АВ^
(2x)^2=x^2+6^2
4x^2-x^2=36
3x^2=36
x^2=36:2
x^2=12
x=V12= V4*3= 2V3
AC=x=2V3, BC=2x=4V3
Вопрос к Билету №14
это прямоугольник. потому что противолежащие стороны равны выходят если находить длину отрезков по формуле нахождения длины отрезка по формуле определенной.
Билет№15
У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор.
Ве́ктор (от лат. vector, «несущий») — в простейшем случае математический объект, характеризующийся величиной и направлением. Например, в геометрии и в естественных науках вектор есть направленный отрезок прямой в евклидовом пространстве (или на плоскости)[1].
Примеры: радиус-вектор, скорость, момент силы. Если в пространстве задана система координат, то вектор однозначно задаётся набором своих координат. Поэтому в математике, информатике и других науках упорядоченный набор чисел часто тоже называют вектором. В более общем смысле вектор в математике рассматривается как элемент некоторого векторного (линейного) пространства.
Является одним из основополагающих понятий линейной алгебры. При использовании наиболее общего определения векторами оказываются практически все изучаемые в линейной алгебре объекты, в том числе матрицы, тензоры, однако, при наличии в окружающем контексте этих объектов, под вектором понимаются соответственно вектор-строка или вектор-столбец, тензор первого ранга. Свойства операций над векторами изучаются в векторном исчислении
Вектор, представленный набором n элементов (компонент) a_1, a_2, ldots, a_n обозначают следующим способами:

langle a_1, a_2, ldots, a_n,
angle, left ( a_1, a_2, ldots, a_n,
ight ), { a_1, a_2, ldots, a_n, } .
Для того, чтобы подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр), используют черту сверху, стрелочку сверху, жирный или готический шрифт:
ar a, vec a, mathbf a, mathfrak A, mathfrak a.
Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс:
vec{a} + vec{b}.
Умножение на число — просто написанием рядом, без
k vec{b},
причём число при этом обычно пишут слева.
Умножение на матрицу также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие линейного оператора на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака.
Билет№16
Сложение векторов подчиняется закону ассоциативности, т. е. верно равенство:
Доказательство. Воспользуемся правилом треугольника сложения векторов. Пусть , .Тогда . Отложим вектор от точки С и обозначим его конец буквой D, так что .
Тогда по правилу треугольника . С другой стороны, отложим вектор и, ч. т. д. См. также рис. 9.
2. Существует нулевой элемент относительно сложения векторов, т. е. нулевой вектор:
верны равенства .
3. Для любого вектора существует противоположный ему вектор, такой, что .
4. Сложение векторов подчиняется закону коммутативности, т. е. верно равенство:
Последнее свойство сразу же следует из правила параллелограмма сложения векторов.
Таким образом, мы видим, что множество всех векторов относительно операции сложения является абелевой группой, очевидно, бесконечной.
Пример 1. (Правило параллелограмма) Покажем, что суммой векторов, приведенных к одному началу, является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, проведенная из общего начала, т. е. AB + AD = AC (рис. 1).
Решение. По определению операции сложения (правило треугольника) :
AB + BC = AC. Так как векторы AD и BC равны по длине и одинаково направлены, т. е. AD = BC, и, следовательно, AB + AD = AC.

Пример 2. Покажем, что разность векторов AB и AD = AC, т. е. сумма векторов AB + (−AD) есть вторая диагональ параллелограмма: AB − AD = DB (рис. 1).
Решение. Так как операция вычитания является обратной по отношению к сложению, то по правилу треугольника AD + DB = AB, что и доказывает наше утверждение.
Пример 3. Даны два неколлинеарных вектора →a и →b. Покажем, что любой вектор →x, лежащий в плоскости векторов →a и →b может быть единственным образом представлен в виде
→x = α•→a + β•→b.
Решение. Представим вектор →x как диагональ параллелограмма, построенного на векторах, коллинеарных векторам →a и →b, т. е. →x = →с + →d (рис. 2).
Так как →c || →a и →d || →b, существуют числа α и β такие, что →c = α•→a и →d = β•→b. Таким образом,
→x = α•→a + β•→b(1)
Докажем теперь, что α и β определяются однозначно. Предположим противное:
→x = α1•→a + β1•→b(2)
причем α1 ≠ α или (и) β1≠β. Вычитая из равенства (1) равенство (2), получаем
→0 = (α−α1)•→a + (β−β1)•→b.
Пусть для определенности α1 ≠ α. Тогда

→a = β−β1 ——– α−α1 →b,
что противоречит условию неколлинеарности векторов →a и →b. Наше утверждение полностью доказано.
Вопрос к билету №16
ab+ad=ac
2) ba+bc=bd
3) ab+dc=2ab
Билет№17
Произведение ненулевого вектора на число - это вектор, коллинеарный данному (сонаправленный данному, если число положительное, имеющий противоположное направление, если число отрицательное), а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.
Формула умножения вектора на число для плоских задач
В случае плоской задачи произведение вектора a = {ax ; ay} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:
k • a = {k • ax; k • ay}
Вопрос к билету №17
Билет№18