ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ
Понятие функции. Способы задания.
Элементарные функции:
Степенная
Показательная
Логарифмическая
Тригонометрическая
Обратно тригонометрическая
Переменная Yназывается функцией от переменной X, если к каждому значению X, взятому из некоторого множества соответствует одно или несколько значений переменной Y.
Если одному значению X, соответствует одно значение Y, то функция называется однозначной. Если одному значению Х соответствует несколько значений Y, то функция многозначная.
Переменная Х называется независимой или аргументом: Y – зависимая или функция.
Способы задания:
Аналитический (с помощью формулы):
Явное задание функции
Y=f(x)
Пример: y=a*x^2+b*x+c
Неявное задание
F(x, y) =0
Пример: x^2+y^2-1=0
Параметрическое задание
{█(x=f1(t)@y=f2(t) )┤, где t - параметр

Графический (график)
Табличный
Основные свойства функции, её график.
Свойства функции:
Область определения, т.е. множество значений Х, при которых эта функция существует. Либо задаётся заказчиком, либо найдена из обычных условий существования этой функции
Область значения (изменения), т.е. множество значений, которые принимает Y.
Чётность/нечётность
Функция чётная, если выполняется условие f(x)=f(-x). График чётной функции симметричен относительно оси 0Y.
Функция нечётная, если выполняется условие f(-x)=-f(x). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Если условия чётности и нечётности не выполняются, то функцию называют функцией общего вида.
Периодичность
Функция f(x) называется периодической, если выполняется условие f(x+T)=f(x). Из всех элементарных функций периодическими являются только тригонометрические (sin, cos, tg, ctg)
Монотонность
Т.е. возрастание и убывание. Функция на интервале называется возрастающей, если f(x2)>f(x1); x2>x1




Свойства и графики основных элементарных функций.

Степенная функция с произвольным действительным показателем, её свойства и график.
Функция вида, где α–число, которое может быть любым действительным числом, т.е. натуральным, целым, дробным, иррациональным и т.д.
Рассмотрим степенные функции с натуральным показателем:
1) y=x
2) Y=x^2
3) Y=x^3
4) Y=x^4

y=x
О.О.Ф. x (-∞;+∞)
О.З.Ф. y (-∞;+∞)
Нечётная
Непериодическая
Y возрастает при x (-∞;+∞)



Y=x^2
О.О.Ф. x (-∞;+∞)
О.З.Ф. y (0;+∞)
Чётная
Непериодическая
Yвозрастает при x (о ;+∞); yубывает при x (-∞; 0)



Y=x^3
1)О.О.Ф. x (-∞;+∞)
О.З.Ф. y (0;+∞)
Нечётная, тк (-x)^3=-x^3
Непериодическая
У возрастает при х (-∞; +∞)




Y=x^-1
О.О.Ф. x (-∞;0) и (0;+∞)
О.З.Ф. y (-∞;0) и (0;+∞)
Нечётная
Непериодическая
У убывает при x (-∞;0) и (0; +∞)



Y=x^1/2=√x

О.О.Ф. x[0; +∞)
О.З.Ф. y [0; +∞)
Функция общего вида
Непериодическая
Y возрастает при x(0;+∞)






Показательная функция, её свойства и график.
Функция вида y=a^x называется показательной при условии a>0, a<>1
Свойства:
О.О.Ф. x(-∞;+∞)
О.О.З. y(0;+∞)
Функция общего вида
Непериодическая
А) a>1: y возрастает при x(-∞;+∞)
Б) 0<a<1:y убывает при x(-∞;+∞)

Логарифмическая функция, её свойства и график.
Функция вида y= 〖log〗_axназывается логарифмической. Она по отношению к показательной является обратной.
Свойства:
О.О.Ф. x(0;+∞)
О.З.Ф. y(-∞;+∞)
Функция общего вида
Непериодическая
A) 0>1 y возрастает при y(0;-∞)
Б) 0<a<1 y убывает при y(0;+∞)

Основные логарифмические тождества и свойства логарифмов.
Логарифм положительного числа b – показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получилось число b.
a^(〖log〗_ab )=b
〖log〗_a a=1, т.к. a^1=a
〖log〗_a 1=0, т.к. a^0=1

Свойства и графики тригонометрических функций.
Y=sinX
О.О.Ф. x(-∞;+∞)
О.З.Ф. y[-1;1]
Нечётная
Периодическая Т=2пК
X -п -5/6п -3/4п -2/3п -п/2 -п/3 -п/4 -п/6 0 п/6 п/4 п/3 п/2 2/3п 3/4п 5/6п п
Y=sinX -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 -√3/2 -√2/2 -1/2 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0

Yвозрастает при x(-п/2+2пк; п/2+2пк)
Y убывает при x (-п+2пк; -п/2+2пк)
(п/2+2пк; п+2пк)
(п/2+2пк; 3/2п+2пк)
Y=cosX
О.О.Ф.x(-∞;+∞)
О.З.Ф y[-1;1]
Чётная
Периодическая Т=2п
X -п -5/6п -3/4п -2/3п -п/2 -п/3 -п/4 -п/6 0 п/6 п/4 п/3 п/2 2/3п 3/4п 5/6п п
Y=cosX -1 -√3/2 -√2/2 -1/2 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1

Yвозрастает при x(-п+2п;0+2п)
Y убывает при x(0+2п; п+2п)
Y=tgX
О.О.Ф. x(-∞;+∞) кромеx=п/2+ПК
О.З.Ф. y(-∞;+∞)
Нечётная
Периодическая, Т=п

х -п/2 _-п/3 -п/4 -п/6 0 п/6 п/4 п/3 п/2
Y=tgx - -√3 -1 -√3/3 0 √3/3 1 √3 -


Тангенсоида постепенно по мере удаления от начала координат приближается к вертикальным прямым, проходящим через точки п/2+ПК. Но никогда их не достигает.
Y возрастает при x(-п/2+ПК; п/2+ПК)
Y=сtgX
О.О.Ф. x<>ПК
О.З.Ф. y (-∞;+∞)
Нечётная
Периодическая , Т=ПК
X 0 п/6 п/4 п/3 п/2 23п 3/4п 5/6п п
Y=ctgx - √3 1 √3/3 0 -√3/3 -1 -√3 -


Основные тождества и соотношения между тригонометрическими функциями, формулу приведения.
Основные тригонометрические тождества:
1=〖sin〗^2 α+〖cos〗^2 α
Написание этого тождества не зависит от того каким образом обозначен угол
Tg*ctg = 1 (только есть sinиcos<>0)
1/〖cos〗^2 α=1+〖tg〗^2 α (если cos<>0)
1/〖sin〗^2 α=1+〖ctg〗^2 α(если sin<>0)
Эти соотношения позволяют по одной известной тригонометрической функции вычислять все остальные. Кроме того необходимо знать при вычислении функции какой четверти принадлежит угол.
Sin α cos α tg α ctg α
Sin α - ∓√(1-cos^2⁡α ) tan⁡α/(∓√(1+〖tan〗^2 α)) 1/(∓√(1+〖ctg〗^2 α))
cos α ∓√(1-〖sin〗^2 α) - 1/(∓√(1+〖tg〗^2 α)) ctgα/(∓√(1+〖ctg〗^2 α))
tg α sinα/cosα (∓√(1-〖cos〗^2 a))/cosα - 1/ctgα
ctg α (∓√(1-〖sin〗^2 α))/(〖sin〗^2 α) cosα/(∓√(1-〖cos〗^2 α)) 1/tgα -

Формулы приведения:
Они позволяют найти тригонометрические функции аргумента (90;360) через тригонометрические функции от аргумента (0;90).
Свойства и графики обратных тригонометрических функций.
Свойства y=arcsin(x)
ООФ: х∈[-1;1]
О.З.Ф: y∈ [-π/2;π/2]
Функция нечетная
не периодическая
Функция является возрастающей при xϵ[-1;1]
x -1 -√3/2 -√2/2 -1/2 0 1/2 √2/2 √3/2 1
Y=arcsin(x) -π/2 -π/3 -π/4 -π/6 0 π/6 π/4 π/3 π/2





Y=arccos(x)
Свойства:
О.О.Ф: x∈[-1;1];
О.З.Ф: y∈(0;π);
Функция общего вида
Непериодическая
Убывающая при x∈[-1;1]

x -1 -√3/2 -√2/2 -1/2 0 1/2 √2/2 √3/2 1
Y=Arcos(x) π 5/6π 3/4π 2/3π π/2 π/3 π/4 π/6 0




Y=arctg(x)
Свойства:
О.О.Ф x∈(-∞;+∞);
О.З.Ф: y∈(-π/2;π/2);
Функция нечетная
Непериодическая
Возрастающая при xϵ(-∞;+∞); График функции приближается к горизонтальным прямым, по мере удаления на ∞, но никогда не пересекает их и не касается
x - -√3 -1 -√3/3 0 √3/3 1 √3 -
Y=arctg(x) -π/2 -π/3 -π/4 -π/6 0 π/6 π/4 π/3 π/2



Y=arcctg(x)
Свойства:
О.О.Ф: x∈(-∞;+∞);
О.З.Ф: y∈(0;π);
Функция общего вида
Непериодическая
Функция убывающая (-∞;+∞);

x -√3 -1 -√3/3 0 √3/3 1 √3
Y=arctg(x) 5/6π 3/4π 2/3π π/2 -π/3 π/4 π/6


Определение предела функции в точке. Теорема о существовании предела функции
Под пределом функции в точке будем понимать значение функции на бесконечно-малом расстоянии от этой точки.
lim┬(x→a)⁡〖f(x)〗=A

Основные теоремы о пределах.
Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.
 .
Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x)в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x), то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).
 .
Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.
.
Доказательство. f(x)=с, докажем, что .
Возьмем произвольное >0. В качестве  можно взять любое
положительное число. Тогда при
.
Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в
одной точке.
Доказательство. Предположим противное. Пусть
и .
По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:
f(x)-A= - б.м. при ,
f(x)-B= - б.м. при .
Вычитая эти равенства, получим:
B-A= - .
Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:
B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.
Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.
.
Доказательство. Пусть , , .
Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:
где - б.м. при .
Сложим алгебраически эти равенства:
f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)= ,
где б.м. при .
По теореме о связи предела и б.м. функции:
А+В-С= .
Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
.
Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,
причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.
, .

Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
Примеры.
Функция f(x)=(x-1)2 является бесконечно малой при x→1, так как (см. рис.).
Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.
f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.
f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.
Установим следующее важное соотношение:
Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числаb и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .
Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.
Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
Первый и второй замечательные пределы. Правила вычисления пределов.
Рассмотрим следующий предел:
Согласно нашему правилу нахождения пределов пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:

Данный математический факт носит название Первого замечательного предела.
– тот же самый первый замечательный предел.
Пример1
Найти предел
Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.
Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):


Итак, у нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .
В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ».
А делается это очень просто:

То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания.
Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:

Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:

Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:


Второй замечательный предел
В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела.
Справка: – это иррациональное число.
Найти предел
Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.
Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :

, значит, в показателе нам тоже нужно организовать . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень :



Непрерывность функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть .
Следствие.
ЗНАЧЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКАХ НЕПРЕРЫВНОСТИ СОВПАДАЕТ СО ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ В ЭТИХ ТОЧКАХ.
Определение устранимого разрыва первого рода.
В точке функция имеет устранимый разрыв первого рода, если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке ,то есть

Определение неустранимого разрыва первого рода (точка скачка функции).
В точке функция имеет неустранимый разрыв первого рода, если пределы слева и справа НЕ равны, то есть . Точку в этом случае называют точкой скачка функции.
Определение разрыва второго рода (бесконечный разрыв).
В точке функция имеет разрыв второго рода, если либо предел слева , либо предел справа , не существует или бесконечен.

Определение производной функции в точке. Геометрический смысл. Механический смысл. Непосредственное вычисление производной.
Определение производной функции в точке.
Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b), и - точки этого промежутка.Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается
Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке , когда она имеет в ней конечную производную.
(Механический смысл производной)
Пусть задан путь движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени :

Геометрический смысл производной
Производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой :


Замечание
Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .


Производная суммы, разности, произведения и частного двух функций.
Производная суммы (разности) функций
Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.
Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

Производная произведения функций.
Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функцийu(x)v(x) также дифференцируемо и

Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.
Производная частного функций.
Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле


Производная степенной, логарифмической и тригонометрической функции.
Производные степеннойфункции.
(a^u )^=a^u ln⁡a*u

Производная логарифмической функции.
(〖log〗_a u)^=u/(u*ln a)
(ln u)^=u/u
Производные основных тригонометрических функций
(sin⁡x )^=cos x
(cos x)^=-sin x
(tg x)^=1/(〖cos〗^2 x)
(ctg x)^=-1/(〖sin〗^2 x)

Производная сложной функции, производная показательной функции.
(√u)^=u/(2*√u)
(u^n )^=〖nu〗^(n-1)*u
(e^u )^=e^u*u
Производная обратных тригонометрических функций.
(arcsin⁡x )^=1/√(1-x^2 )
(arccos⁡x )^=-1/√(1-x^2 )
(arctg x)^=1/√(1+x^2 )
(arcctg x)^=-1/√(1+x^2 )
Производная неявной функции.
Производная неявной функции

Если функция описывается уравнением y = f(x), где переменная y находится в левой части, а правая часть зависит только от аргумента x, то говорят, что функция задана в явном виде. Например, следующие функции заданы явно:

порядок решения.
Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по переменной x, предполагая,
что y - это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции. При этом производная нуля (в правой части) также будет равна нулю.

Решить полученное уравнение относительно производной y(x)
Производная параметрически заданной функции.
Функция вида{█(y=y(t)@x=x(t))┤ называется параметрически заданной функцией, переменная t называется параметром.
Производная функции, заданной параметрически, находится по следующей формуле:y_x^=dy/dx=y_t/x_t
Вторая производная и её физический смысл.
Если – уравнение движения точки по ее траектории, то, как мы знаем, ее производная (производная первого порядка) представляет собой скорость V(X) движения точки (мгновенную скорость движения) . Но тогда производная второго порядка будет иметь смысл «скорость изменения скорости» движения точки. В физике такая величина называется ускорением. Поэтому

– ускорение движения точки в момент X. В этом и состоит физический смысл производной второго порядка.

Уравнение касательной и нормали к графику функции.
Уравнение касательной
Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнение касательной в точке x0. Из определения производной: y^ (x)=limΔx→0ΔxΔy

Δy=f(x+Δx)−f(x).

Уравнение касательной к графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из геометрического смысла производной: f ’(x0)=tgα=k

Т.к. x0 и f(x0)∈ прямой, то уравнение касательной записывается в виде: y-f(x_0)=f(x_0)(x-x_0) , илиy=f^ (x_0 )•x+f(x_0 )-f(x_0)•x_0.




Уравнение нормали
Нормаль -- это перпендикуляр к касательной (см. рисунок). Исходя из этого:
tgβ=tg(2π-α)=ctgα=1tgα=1f(x_0)

Т.к. угол наклона нормали -- это угол β1, то имеем:
tgβ1=tg(π-β)=-tgβ=-1f(x).

Точка (x0,f(x0))∈ нормали, уравнение примет вид:
y-f(x0)=-1f(x0)(x-x0).

Необходимое и достаточное условие возрастания и убывания функции.
Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)
Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f (x)≥ 0.
Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f (x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[a, b].
Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то на этом отрезке. Если на (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].
Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Oxили горизонтальна, т.е. tga≥0, а значит f (x)≥0.
Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.
Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f (x)>0 – для возрастания илиf (x)<0 – для убывания.

Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие существования экстремума.
Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство: .
Точка называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности .
(Необходимое условие экстремума)
Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная равна нулю: , называются стационарными точками функции.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То естькритические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует.
Замечание
Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.
Первое достаточное условие экстремума
Теорема
(Первое достаточное условие экстремума)
Пусть для функции выполнены следующие условия:
функция непрерывна в окрестности точки ;
или не существует;
производная при переходе через точку меняет свой знак.
Тогда в точке функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.
Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет.
Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:
найти производную ;
найти критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует;
исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
найти значение функции в экстремальных точках.
Второе достаточное условие экстремума
Теорема
(Второе достаточное условие экстремума)
Пусть для функции выполнены следующие условия:
она непрерывна в окрестности точки ;
первая производная в точке ;
в точке .
Тогда в точке достигается экстремум, причем, если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум.


Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке.
Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Если свое наибольшее значение функция принимает в точке , то будет локальным максимумом функции , так как в этом случае существует окрестность точки , такая, что .
Однако свое наибольшее значение функция может принимать и на концах отрезка . Поэтому, чтобы найти наибольшее значение непрерывной на отрезке функции , надо найти все максимумы функции на интервале и значения на концах отрезка , то есть и , и выбрать среди них наибольшее. Вместо исследования на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках.
Наименьшим значением непрерывной на отрезке функции будет наименьший минимум среди всех минимумов функции на интервале и значений и .

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точка перегиба. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба.
График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).
График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба
Теорема
(Об условиях выпуклости или вогнутости графика функции)
Пусть функция определена на интервале и имеет непрерывную, не равную нулю в точке вторую производную. Тогда, если всюду на интервале , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость.
Определение
Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.
Теорема
(О необходимом условии существования точки перегиба)
Если функция имеет перегиб в точке , то или не существует.
Теорема
(О достаточном условии существования точки перегиба)
Если:
первая производная непрерывна в окрестности точки ;
вторая производная или не существует в точке ;
при переходе через точку меняет свой знак,
тогда в точке функция имеет перегиб.

Асимптоты графиков функции. Виды асимптот. Условия существования асимптот.
Виды асимптот
Определение
Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .
Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.
Определение
Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно .
Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.
Определение
Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если
Нахождение наклонной асимптоты
Теорема
(условиях существования наклонной асимптоты)
Если для функции существуют пределы и , то функция имеет наклонную асимптоту при .
Замечание
Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при .
Замечание
Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что , то функция может иметь наклонную асимптоту.
Замечание
Кривая может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.

Общая схема исследования свойств функции и построение её графика.
При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:
Область определения и область допустимых значений функции.
Четность, нечетность функции.
Точки пересечения с осями.
Асимптоты функции.
Экстремумы и интервалы монотонности.
Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
Сводная таблица.

Дифференциал функции, его геометрический смысл.
Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):
dy=ƒ(х)•∆х. (24.1)
Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.
Так как у=х=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.
Поэтому формулу (24.1) можно записать так:
dy=ƒ(х)dх, (24.2)
иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ(х). Теперь обозначение
производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.
Геометрический смысл дифференциала функции
Выясним геометрический смысл дифференциала.
Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM1|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ(х). Поэтому АВ=ƒ(х)•∆х.
Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.
Определение первообразной функции. Неопределенный интеграл его свойства.
Определение первообразной и неопределенного интеграла
Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если

Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функцииf(x) и обозначается как

Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

где С - произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла
В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,
а, k, C - постоянные величины.





Таблица интегралов. Метод непосредственного интегрирования.

Метод интегрирования, при котором интеграл с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называетсянепосредственным интегрированием.
Таким образом, алгоритм действий следующий:
тождественное преобразование подынтегральной функции;
применение свойств неопределенного интеграла: вынесение константы за знак интеграла, представление интеграла от суммы функций в вид суммы интегралов;
использование таблицы интегралов.
В простейших примерах для применения непосредственного интегрирования достаточно разложить подынтегральную функцию на слагаемые и постоянные величины вынести за знак интеграла.
При определенной практике интегрирования обычно эти действия проводят устно, записывая лишь результат интегрирования.
Основные формулы



Интегрирование методом замены переменных (метод подстановки).
Если в неопределенноминтеграле сделать подстановку , где функция - функция с непрерывной первой производной, то тогда и согласно свойству 6 неопределенногоинтегралаимеем, что:

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Метод интегрирования по частям.
Рассмотрим функции и , которые имеют непрерывныепроизводные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:

Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:

Полученное равенство перепишем в виде:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью интеграл можно свести к нахождению интеграла , который может быть более простым.
Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида:
1) ; ;
Здесь - многочлен степени , - некоторая константа. В данном случае в качестве функции берется многочлен, а в качестве - оставшиеся сомножители. Для интегралов такого типа формула интегрирования по частям применяется раз.

Интегрирование рациональных дробей.
ациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, т.е. . Если же , то дробь называется неправильной.
Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, можно получить многочлен плюс правильную дробь.
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.
Изначальный вид∫▒1/(〖ax〗^2±bx±c) и 1/√(〖ax〗^2±bx±c) .Раскладываем трехчлен по формуле a*(x-b/2a)^2-b^2/〖4a〗^2 +c/a
сводится к одному из двух интегралов


или:


Определенный интеграл, его геометрический смысл, основные формулы.
Неформально говоря, определённый интеграл является площадью криволинейной трапеции.
Геометрический смысл определенного интеграла
Определённый интеграл ∫abf(x)dx численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком функции y=f(x).


Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.



Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F- первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).

Вычисление площадей плоских фигур, объемов и поверхностей тел вращения, длина дуги плоской кривой.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР

Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [a ; b].
Если при этом f (х) ≥ 0 на [a ; b], то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями
,
выразится с помощью интеграла: (1)
Если же f (х) ≤ 0 на [a ; b], то −f (х) ≥ 0 на [a ; b].
Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле
или
(2)
Наконец, если линия у = f (х) пересекает ось Ох, то отрезок [a ; b] надо разбить на части, в пределах которых f (х) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул (1) или (2), которая ей соответствует.
Вычисление длины дуги плоской кривой
Если функция y = f(x) непрерывна вместе с её производной f(x) на отрезке [a, b], то длина дуги AB, где A(a,f(a)), B(b, f(b)), выражается формулой

. (28)

3.2. Если кривая задана параметрическими уравнениями , гдеx(t), y(t) - дифференцируемые функции, то длина дуги

. (29)

3.3. Если дуга задана в полярных координатах , , то длина дуги

. (30)

Вычисление объемов. Нахождение объемов некоторых тел можно свести к вычислению определенных интегралов.
4.1. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикулярными оси OX, т. е., зная х,мы можем вычислить площадь сечения S = S (x). Тогда объем тела в предположении, что S(x) - интегрируемая функция.
4.2. Вычисление объема тела вращения:
а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривойy = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела ;
б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми y=c, y=d (c<d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем ;
в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f(x), прямыми x = a, x = b и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле ;
г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами и , то объем полученного тела может быть вычислен по формуле .
Вычисление площади поверхности вращения
5.1. Поверхность, образованная вращением кривой , a < x < b вокруг осиOX, имеет площадь

.

5.2. Если кривая задана параметрическими уравнениями

,

причем , то

.

5.3. Если дуга , , задана в полярной системе координат кривой, и вращается вокруг полярной оси, то площадь поверхности вращения можно вычислить по формуле
.










Уравнения и геометрические свойства окружности, эллипса, параболы и гиперболы.
Эллипс – геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1,F2 (фокусы) есть величина постоянная, равная 2a.

Элементы эллипса:
A1A2=2a - большая ось
B1B2=2b - большая ось
A1 ,A2 , B1 ,B2 , - вершины
F1(c ; 0), F2(-c ; 0) - фокусы
F1F2=2c - фокальное расстояние
c2=a2-b2

- эксцентриситет. Эксцентриситет эллипса можно рассматривать, как меру его «вытянутости»: чем больше эксцентриситет, тем меньше отношение
r1=a-εx, r2= a+εx - фокальные радиусы
- директрисы
Каноническое уравнение эллипса (координатные оси совпадают с осями эллипса):


Параметрические уравнения:

Окружность
В частном случае, когда a=b (c=0, ε=0, фокусы сливаются в одной точке - центре), эллипсвырождается в окружность.
Каноническое уравнение:
x2+y2=R2

Параметрические уравнения:

Гипербола
Гипербола - геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разности расстояний от нее до двух данных точек F1,F2 (фокусы) есть величина постоянная, равная 2a.


Элементы гиперболы:
A1A2=2a - действительная ось
B1B2=2b - мнимая ось
A1 ,A2 - вершины
F1(c ; 0), F2(-c ; 0) - фокусы
F1F2=2c - фокальное расстояние
c2=a2-b2

- асимптоты
- эксцентриситет. Его можно рассматривать, как числовую характеристику величины раствора угла между асимптотами.
r1=±(εx-a), r1=±(εx+a), - фокальные радиусы (верхний знак соответствует правой, нижний – левой ветви)
- директрисы
Каноническое уравнение гиперболы (координатные оси совпадают с осями гиперболы):


Параметрические уравнения:


Уравнение гиперболы, сопряженной данной:

Парабола

Парабола –геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от данной точки (фокус) и от данной прямой (директриса)


Элементы параболы:
0F - фокальная ось
0 - вершина
- фокус
ε=1 - эксцентриситет
- фокальный радиус
- директриса
- фокальный параметр
Каноническое уравнение параболы (ось Ox совпадает с фокальной осью, начало координат – с вершиной параболы):
y2=2px

При p<0 ветви параболы направлены влево.
Если фокальная ось совпадает с осью Oy, то уравнение параболы имеет вид:
x2=2py

При p>0 ветви параболы направлены вверх, при p<0 -вниз.
Действительная ось этой гиперболы равна мнимой оси другой.

Прямая в пространстве. Уравнение прямой в пространстве.
Существуют такие формы записи уравнения прямой в пространстве:
1) {A1x+B1y+C1z+D1=0(P1)A2x+B2y+C2z+D2=0(P2)−общее уравнение прямой L в пространстве, как линии пересечения двух плоскостей P1 и P2.

2) x−x0m=y−y0n=z−z0p− каноническое уравнение прямой L, которая проходит через точку M(x0,y0,z0) параллельно вектору S¯¯¯=(m,n,p).Вектор S¯¯¯ является направляющим вектором прямойL.

3) x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1− уравнение прямой, которая проходит через две точки A(x1,y1,z1) и B(x2,y2,z2).
4) Приравнивая каждую из частей канонического уравнения 2 к прараметру t, получаем параметрическое уравнение прямой:
⎧⎩⎨⎪⎪x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt


Плоскость. Уравнение плоскости. Угол между плоскостями.

Двугранный угол между плоскостями равен углу, образованному нормальными векторами этих плоскостей.

Определение.
Двугранный угол между плоскостями равен углу, образованному прямыми l1 иl2, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения плоскостей.


Формула для вычисления угла между плоскостями
Если заданы уравнения плоскостей A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу
cos α = |A1•A2 + B1•B2 + C1•C2|
√A12 + B12 + C12√A22 + B22 + C22

Понятие о поверхностях второго порядка.
Поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида
a11х2 + а22у2 + a33z2+ 2a12xy + 2a23уz + 2a13xz + 2а14 x + 2а24у+2а34z +а44 = 0 (1)
в котором по крайней мере один из коэффициентов a11 , а22 , a33 , a12 , a23 , a13отличен от нуля.
Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка.
Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.


Скалярное и векторное произведение двух векторов.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующихкоординат.