Окружность

ОКРУЖНОСТЬ

ЧАСТЬ А

1. Найдите длину окружности, если площадь ограниченного ею круга равна .

2. Вычислите площадь кругового сектора с центральным углом , если радиус круга равен 4.

3. Вычислите длину дуги кругового сектора с центральным углом , если радиус круга равен 3.

4. Радиус большей окружности и диаметр меньшей окружности равны 6. Найдите площадь кругового кольца.

5. Площадь сектора равна 49, а длина дуги равна 14. Найдите радиус сектора.

6. Точки C и D лежат на окружности по одну сторону от хорды AB, . Найдите градусную меру угла ADB.

7. Точки C и D лежат на окружности по разные стороны от хорды AB, . Найдите градусную меру угла ADB.

8. Точки B, D и N лежат на окружности с центром О. Найдите угол BOD, если .

9. Хорда АВ стягивает дугу в . Определить углы, которые образует хорда с касательными к окружности, проходящими через ее концы.

10. Из точки В к окружности с центром О проведена касательная. Найдите радиус окружности, если .

11. Из точки вне окружности проведены касательная и секущая. Известно, что касательная меньше секущей на 2, и что внешний отрезок секущей равен 6,4. Найти длину отрезка касательной.

ЧАСТЬ В

12. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, , . Боковые стороны АB и DC продолжены до пересечения в точке O. Найдите градусную меру угла AOD.

13. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, диагонали АС и ВD пересекаются в точке в точке O, ,. Найдите градусную меру угла COD.

14. Окружность касается стороны АС треугольника ABC в точке D, стороны BC – в точке B и пересекает AB в точке E, . Найдите градусную меру угла BAC.

15. Из одной точки окружности проведены две хорды длиной и . Найдите радиус окружности, если расстояние между серединами хорд равно 2,5.

16. В круге радиусом 9 проведена хорда. Расстояние от одного конца хорды до касательной к окружности, проведенной через другой конец хорды, равно 12,5. Найдите длину хорды.

17. Точка К делит хорду АР на отрезки 12 и 14, а расстояние от центра окружности до точки К равно 11. Найдите радиус данной окружности.

18. Из точки вне окружности проведены к ней две касательные, угол между которыми . Расстояние между точками касания равно . Найти радиус окружности.

19. Если в треугольнике ABC стороны AB, AC, BC имеют длины 10, 17 и 21 соответственно, то наименьшее из расстояний от вершины А до точек касания сторон треугольника с вписанной окружностью равно…

20. Продолжение общей хорды АВ двух окружностей пересекает их общую касательную MN в точке K. Если , то расстояние MN между точками касания равно…

21. В окружности хорды AB и CD пересекаются под прямым углом, AD = 6, BC = 8. Найдите радиус окружности.

22. В окружности радиусом из одного конца диаметра проведена касательная, а из другого – хорда, стягивающая дугу, равную . Хорда продолжена до пересечения с касательной. Найдите внешний отрезок секущей.

23. В треугольник с периметром 18 вписана окружность. Отрезок касательной, проведённой к окружности параллельно основанию, заключенный между сторонами треугольника, равен 2. Найти основание треугольника при условии, что оно больше 4.

24. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 5, большее основание равно 8. Найдите радиус круга, вписанного в трапецию.

25. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиусом 4. Найдите длину большего основания, если меньшее основание равно 6.

26. В равнобедренной трапеции основания равны 9 и 21, а высота равна 8. Найдите радиус описанного круга.

27. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 6. Найти среднюю линию трапеции, если точка касания делит боковую сторону на отрезки, разность между которыми равна 5.

28. Большее основание трапеции служит диаметром описанной около нее окружности радиуса . Острый угол при основании трапеции равен . Найти площадь трапеции.

29. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки 4 и 9. Найти площадь трапеции.

30. Стороны КN и LM трапеции KLMN параллельны. KN = 3, Прямые LM и MN являются касательными к окружности, описанной около треугольника KLN. Найти площадь треугольника KLN.

31. На стороне АВ треугольника АВС, как на диаметре, построена окружность, которая пересекает АС в точке М и ВС в точке Е. Найдите АС и ВС, если известно, что АВ = 3, АМ : МС = 1 : 1,

ВЕ : ЕС = 7 : 2.

32. Хорда АВ стягивает дугу окружности, равную . Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде АВ. При этом AD = 2, BD = 1, .Найдите площадь АВС.

33. В окружность вписан треугольник АВС. Расстояние от точек А и С до прямой, касающейся окружности в точке В, равны соответственно 4 и 9. Найти длину высоты, проведённой из вершины В.

34. Треугольник АВС вписан в окружность радиуса . Точка D лежит на дуге ВС, а хорды АD и ВС пересекаются в точке М, , АВ =, ВМ : МС = 2 : 3. Найти длину ВС.

35. Две окружности радиусами 4 и 9 касаются внешним образом в точке С. К ним проведена общая внешняя касательная. Найдите длину отрезка АВ, где А и В – точки касания окружности с касательной.

36. В угол вписаны две внешне касающиеся окружности. Найдите отношение радиуса большей к радиусу меньшей окружности.

37. В угол вписаны две внешнекасающиеся окружности. Хорды, соединяющие точки касания каждой окружности со сторонами угла, равны соответственно 4 и 12. Найдите градусную меру угла.

38. Общая хорда АВ двух пересекающихся окружностей равна 48. Радиусы двух окружностей, проведенные в точку А, взаимно перпендикулярны. Радиус большей окружности равен 40. найдите радиус меньшей окружности.

39. Две окружности радиусами 15 и 13 пересекаются в точках А и В так, что центры окружностей находятся по одну сторону от хорды АВ. Найдите длину хорды АВ, если расстояние между центрами окружностей равно 4.

40. Две окружности касаются внутренним образом. Через центр меньшей проходит прямая, которая пересекает большую окружность в точках и , а меньшую в точках и , причем . Найдите , где - радиус большей, а - радиус меньшей окружности.

ЧАСТЬ С

41. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС взяты точки D и E соответственно, причем

AD : ВD = 11, CE : EB = 2. Найдите отношение радиуса окружности, описанной около треугольника АВС, к радиусу окружности, вписанной в этот треугольник, если известно, что угол ВАЕ равен углу BCD, а угол АВС равен .

42. Отрезок АВ является диаметром окружности, точка С лежит вне этой окружности. Отрезки АС и ВС пересекаются с окружностью в точках D и M соответственно. Найдите косинус угла ACB, если площади треугольников DCM и ACB относятся как 1 : 4.

43. Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке О. Радиус АО перпендикулярен радиусу ВО, а радиус ОС перпендикулярен радиусу OD. Длина перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую AD, равна 9. Длина отрезка ВС в два раза меньше длины отрезка AD. Найдите площадь треугольника АОВ.

44. В равнобедренную трапецию с периметром 100 вписана окружность . Найти радиус окружности, если расстояние между точками касания окружности и боковых сторон равно 16.

45. В трапеции АВСD основание АD = 16. Боковая сторона СD равна Окружность, проходящая через точки А, В ,С пересекает АD в точке N, причем угол АNВ равен . Найти ВN.

46. В трапеции ABCD основания AB = 4 и CD = 12. Окружность проходит через вершины А, В, С и касается AD. Найти диагональ АС.

47. В трапеции ABCD основания и боковые стороны . Найдите радиус окружности проходящей через точки А и В и касающейся стороны CD.

48. Во вписанном четырёхугольнике АВСD, в котором АВ = ВС, К – точка пересечения диагоналей. Найдите АВ, если BK = 3, KD = 6.

49. Дан параллелограмм ABCD. Биссектриса угла D пересекает сторону AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке P и стороны AD в точке Q. Найти угол BAD, если AD = 6, PQ = 3.

50. Окружность касается сторон АВ и ВС треугольника АВС в точках А и С. На дуге, лежащей внутри треугольника взята точка М такая, что расстояние от неё до сторон АВ и ВС равны 6 и 24. Найти расстояние от М до стороны АС.

51. В треугольнике KLM проведены биссектрисы KN и LP, которые пересекаются в точке Q. Отрезок PN равен 1, а вершина М лежит на окружности, проходящей через точки N, P, Q. Найдите периметр треугольника NPQ.

52. Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, зная, что точка пересечения его высот лежит на вписанной окружности.

53. Центры вписанной и описанной окружностей треугольника симметричны относительно одной из его сторон. Найдите радиус описанной окружности, если радиус вписанной окружности равен .

54. Две окружности радиусами 3 и 1 касаются внешним образом. Найти расстояние от точки касания окружностей до их общих касательных.

55. Две окружности касаются внешним образом в точке А. Найти радиус большейокружности, если хорды, соединяющие точку А с точками касания одной из общих внешних касательных равны 6 и 8.

56. Две окружности радиусов 4 и 1 касаются внешним образом. Найти радиус окружности, которая касается данных окружностей и их общей внешней касательной.

57. В угол, величина которого равна , вписаны две пересекающиеся окружности. Касательные к окружностям, проходящие через их общую точку образуют прямой угол. Найти радиус меньшей окружности, если длина их общей хорды равна 3.

ОКРУЖНОСТЬ

ОТВЕТЫ