Четырехугольник

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

ЧАСТЬ А

1. Внутренние углы выпуклого четырехугольника относятся как 2:2,5:9,5:10. Найдите меньший угол.

2. Одна из сторон прямоугольника равна 4, а вторая – в пять раз больше. Найдите площадь прямоугольника.

3. В ромбе ABCD проведена диагональ BD. Найдите угол ADC, если .

4. Диагональ ромба, лежащая против угла , равна 11,2. Найдите периметр ромба.

5. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла А делит сторону ВС на отрезки ВК = 4, КС = 6. Найдите периметр прямоугольника.

6. Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна .

7. Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ равна , а одна из его сторон равна 15.

8. В равнобочной трапеции боковая сторона равна средней линии, а периметр равен 48. Определите боковую сторону трапеции.

9. Площадь ромба равна 96, а диагонали относятся как 3:4. Найдите сторону ромба.

10. Одна из диагоналей параллелограмма, равная , составляет с основанием угол . Найдите длину второй диагонали, если она составляет с тем же основанием угол .

11. Боковые стороны и меньшее основание прямоугольной трапеции равны соответственно 8, 10 и 10. Найдите большее основание.

12. Острый угол равнобедренной трапеции равен . Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 5 и 11.

13. В трапеции ABCD , диагонали пересекаются в точке К, основания BC и AD равны соответственно 6 и 8, а диагональ АС = 35. Найдите длину отрезка АК.

14. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна , а высота равна 2.

ЧАСТЬ В

15. В прямоугольнике ABCD сторона AD вдвое длиннее стороны АВ. Внутри прямоугольника взята точка М так, что . Найдите длину стороны АВ.

16. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, площади треугольников AOB, BOC, COD равны соответственно 12, 18 и 24. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

17. Периметр параллелограмма ABCD равен 24. Найдите площадь параллелограмма, если высота BH, проведенная к стороне AD, равна 2, а величина угла А равна .

18. В параллелограмме ABCD из вершины тупого угла В проведены высота ВН и отрезок ВК, где

К – середина стороны AD. Найдите площадь параллелограмма, если , .

19. Одна из сторон параллелограмма равна диагонали и равна 5. Найдите площадь параллелограмма, если вторая диагональ равна .

20. Острый угол параллелограмма равен , а диагонали и . Найдите периметр параллелограмма.

21. Стороны параллелограмма равны 3 и 5, а угол между диагоналями равен . Найдите площадь параллелограмма.

22. Перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к его диагонали, делит эту диагональ на отрезки длиной 6 и 15. Разность длин сторон равна 7. Найдите периметр параллелограмма.

23. Из вершины В параллелограмма ABCD проведены высоты ВК и ВН к сторонам AD и CD соответственно. Угол КВН равен , ВК : ВН = 1 : 4, AD = 4. Найдите площадь параллелограмма.

24. В параллелограмме даны острый угол, равный , и расстояние от точки пересечения диагоналей до неравных сторон, равных соответственно 2 и 3. Найдите площадь параллелограмма.

25. Высота ромба равна 12, а одна из диагоналей равна 15. Найдите площадь ромба.

26. Высота ВН ромба ABCD, проведенная из вершины тупого угла В, делит сторону AD на отрезки АН = 17, HD = 8. Найдите большую диагональ ромба.

27. ABCD – ромб, , M – середина стороны BC, точка N лежит на стороне DC, причем 2DN = NC. Найдите тангенс угла NAM.

28. Точка М делит диагональ квадрата ABCD со стороной, равной 24, в отношении

АМ : МС = 3 : 1, точка N лежит на стороне AD, причем угол NMD прямой. Найдите длину отрезка AN.

29. Длины оснований трапеции равны 25 и 39, а длины боковых сторон равны 13 и 15. Найдите высоту трапеции.

30. В трапеции диагонали являются биссектрисами острых углов. Определить периметр трапеции, площадь трапеции с если диагональ делит среднюю линию на отрезки 10 и 18.

31. Найдите площадь трапеции с основаниями 3 и 6 и диагоналями 7 и 8.

32. В прямоугольной трапеции средняя линия равна 13,5. Меньшая диагональ является биссектрисой тупого угла и имеет длину 12. Найдите периметр трапеции.

33. В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Большая диагональ составляет с меньшей боковой стороной угол . Найдите длину средней линии трапеции, если длина меньшей диагонали равна 10.

34. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 5, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

35. В равнобедренной трапеции большее основание равно 44, боковая сторона равна 17, а диагональ равна 39. Найти площадь трапеции.

36. В равнобедренной трапеции биссектриса острого угла делит боковую сторону в отношении

19 : 14. Верхнее основание равно 3. Найти площадь трапеции, если боковая сторона равна 17.

ЧАСТЬ С

37. Площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD, равна 24. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

38. На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD, площадь которого равна 1, взяты точки K на AB, L на BC, M на CD, N на AD так , что AK : BK = CL : BL = 3:1; AN : ND = CM :MD = 5:1. Найдите площадь многоугольника KBLMDN.

39. В четырехугольнике ABCD известно, что . Найдите величину угла АВС.

40. В квадрат площадью 24 вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника. Длины сторон прямоугольника относятся как 1:3. Найти площадь прямоугольника.

41. В параллелограмме со сторонами 3 и 5 и острым углом проведены биссектрисы четырех углов. Найдите площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

42. В параллелограмме ABCD биссектрисы AE и DF делят сторону BC на три равные части и пересекаются в точке О внутри параллелограмма. Найдите площадь параллелограмма, если площадь треугольника AOD равна 18.

43. Из вершины острого угла ромба проведены две высоты расстояние между концами, которых в 1,5 раза больше меньшей диагонали ромба. Определите больший угол ромба.

44. Большее основание трапеции равно 8. Прямая параллельная основаниям, делит трапецию на две равновеликие фигуры. Отрезок этой прямой внутри трапеции равен . Найти меньшее основание трапеции.

45. В трапеции углы при одном из оснований равны , а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 2. Найдите большее основание трапеции, если длина её средней линии равна 4.

46. В трапеции диагонали равны 3 и 5 , а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найти площадь трапеции.

47. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее боковой стороны AD и вдвое длиннее основания CD. Длина диагонали АС равна 10, длина боковой стороны ВС равна 8. Найти площадь трапеции.

48. Найти высоту трапеции с основаниями 10 и 15, у которой диагонали взаимно перпендикулярны, а угол, образованный продолжением боковых сторон, равен .

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК

ОТВЕТЫ